考慮鎖相環角頻率變化的單相車網系統動態穩定性分析

喻文倩，劉志剛，張友剛，劉靜偉

（西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756）

0 引言

近年來，AC-DC-AC 結構的四象限電壓源變流器動車組已被廣泛采用［1］，一般將動車組與牽引網組成的系統，簡稱為“車網系統”。通常認為，造成車網系統低頻振蕩LFO（Low-Frequency Oscillation）現象的主要原因是牽引網和動車組之間參數不匹配［2?4］。為揭示LFO 機理，學者進行了大量的研究。文獻［3］針對車網系統主導極點的阻尼比進行了分析，提出了欠阻尼機理來解釋牽引網電壓出現持續大幅振蕩的原因。文獻［4］針對多車接入牽引供電系統引發的電壓波動現象，推導了間諧波在牽引負載牽引傳動系統的傳播機理。為了避免LFO現象的發生，確保系統可靠運行，研究參數對車網系統穩定性的影響十分必要。

目前，大多文獻主要通過建立dq域下的小信號阻抗模型［2，5］對車網系統的穩定性進行分析。雖然此方法的計算步驟并不復雜，但在建模過程中忽略了頻率耦合過程，導致其分析結果只在低頻段有效，并且存在誤差。更進一步，文獻［6］采用基于諧波線性化的建模方式，考慮了部分頻率的耦合過程，但是忽略了ωp±nω0（ωp、n、ω0分別為擾動角頻率、諧波次數以及額定角頻率）的頻率耦合項。文獻［7］基于dq阻抗模型，推導出了αβ阻抗模型，并分析了變換器在整流和逆變2 種工作模式之間切換時，各種參數的臨界值變化情況。阻抗模型的本質是對車網系統的輸入輸出阻抗進行計算，運算過程繁瑣復雜。文獻［8?11］建立了單相整流器的諧波狀態空間HSS（Harmonic State-Space）模型，并采用特征值分析了諧波傳遞函數的動態特性。文獻［12］忽略了源側對負載側的諧波影響，導致所得模型在工頻周圍的誤差較大。針對HSS 建模過程，所考慮的諧波次數越高，得到的模型才會越精確。假設考慮的諧波次數為n，則每一個對應的頻率f，都需要建立一個階數為2n+1 的方陣，再計算其特征值。假設模型計算時特征值的對應頻率為1、2、…、1 000 Hz，則完成整個計算過程需進行1 000 次計算，花費數小時，并占用大量的電腦內存。同時值得注意的是，由于單相整流器的不對稱性，與三相整流器相比，單相整流器的阻抗建模過程更加困難，計算也更加復雜［12］。

為了避免輸入輸出阻抗的復雜計算，本文采用根軌跡法對車網系統進行穩定性分析。該方法無需建立阻抗模型，并且可以縮短程序運行的時間。根軌跡分析法常用于研究參數變化下的系統動態響應［13?14］，已被廣泛用于電力系統穩定性分析［15］。文獻［16］利用根軌跡法分析了基于同步逆變器的微電網非線性模型，得到了影響系統穩定的主要參數。文獻［17］建立了三相整流器的狀態空間平均SSA（State-Space Average）模型，利用根軌跡分析電路和電網參數對系統穩定性的影響以及公共耦合節點PCC（Point of Common Coupling）電壓降落對系統的影響。利用design-oriented 方法［18］對參數的穩定區域進行了繪制。文獻［19］雖然建立了單相車網系統的SSA 模型，但是沒有將鎖相環PLL（Phase-Locked Loop）的角頻率的動態響應以及控制中的時間延遲納入建模過程中。與其相比，本文在建模過程中將PLL 的角頻率和時間延遲作為狀態變量納入考慮，使模型更加精確，計算結果更貼近仿真和實驗結果。

本文首先建立了更精確的車網系統SSA 模型。然后，采用根軌跡和design-oriented 分析方法對車網系統的動態穩定性進行了分析，獲得LFO 的各種參數的臨界值、振蕩頻率以及穩定邊界，為實際系統中參數的設置提供參考依據。最后將軟件仿真和實驗測試的結果與理論分析結果進行比較和驗證。

1 車網系統的建模過程

本文采用的單相車網系統模型由車載單相整流器等效電路和簡化的牽引網絡等效電路兩部分組成，如圖1 所示。圖中：us為牽引網側的等效電源；Ls、Rs分別為牽引網側的等效電感、電阻；en為PCC 處的電壓；in為網側電流；Ln、Rn分別為車載側的等效電感、電阻；Cd為直流側的電容；Rd為直流側的等效電阻。

圖1 單相車網系統的模型Fig.1 Model of single-phase vehicle-grid system

1.1 單相整流器等效電路建模

為了統一表達式，將整流器系統的所有變量都轉換到參考的旋轉坐標系中［16］。假設PCC處電壓鎖定在d軸上，則RL和RC電路的狀態方程可描述為：

式中：ed和eq分別為PCC 處電壓的d、q軸分量；id、iq分別為電網側電流的d、q軸分量；udc為輸出的直流電壓；ωPLL為PLL 的輸出角頻率；、分別為電流內環控制器輸出調制比的d、q軸分量。

PLL、電壓外環和電流內環的控制結構如附錄A圖A1所示。值得注意的是，現有研究（如文獻［19］）大多在理論分析時將PLL 輸出的角頻率ωPLL視為常數，以簡化計算。實際上從圖A1 中可以看出，基于二階通用積分器SOGI（Second Order Generalized Integrator）的PLL 在輸出時存在一個小的擾動ωk。如果將輸出角度視為一個常數，則無法分析該部分的動態變化，因此，為了獲得接近于實際情況的準確模型，本文將此處的動態變化納入建模過程之中。

PLL和雙環控制的表達式為：

式中：Udcref為直流側電壓的參考值；Idref、Iqref分別為網側電流d、q軸分量參考值；kup和kui分別為電壓外環比例積分PI（Proportional Integral）控制器的比例增益和積分系數；kip和kii分別為電流內環PI 控制器的比例增益和積分系數；kupll和kipll分別為鎖相環中PI控制器的比例增益和積分系數；dd、dq分別為電流內環輸出的d、q軸分量；mid、miq和mdc為輔助變量，分別滿足式（6）—（8）所示的關系。

包含一個采樣周期Ts和0.5Ts的脈寬調制PWM（Pulse Width Modulation）零階保持器的計算延遲的影響，都被考慮到控制環路中，如式（9）所示［15］。

式中：τ=1.5Ts為總時間延遲。通常使用3 階Pade 逼近來簡化式（9），然后將近似的傳遞函數轉換為狀態方程的形式，可以表示為：

式中：xx=［x1，x2，x3，x4，x5，x6］T為新的輔助狀態變量；yx=［］T為輸出變量；ux=［dd，dq］T為輸入變量；Ax—Dx為與時間延遲相關的參數矩陣，如式（11）所示。

式中：I為單位陣。圖A1 中的PLL 和控制回路的模型可以通過式（2）—（8）表達，后續考慮時間延遲方程則可以通過式（9）—（11）獲得，由此可以得到車載側單相整流器的非線性模型。

1.2 牽引網等效電路建模

考慮到整流器控制系統的復雜性，選擇車載側單相整流器所在坐標系作為整個車網系統的參考坐標系。因此，所有其他變量都需要轉換到該dq參考坐標系下進行計算［16］。如附錄A 圖A2 所示，2 個坐標系之間的轉換關系為：

式中：nd和nq為dq參考坐標系中的狀態變量；nD和nQ為在原本DQ坐標系中表示的狀態變量；θ為車載側整流器控制中的dq參考坐標系與電網電壓所在DQ坐標系之間的相角差，且滿足式（13）。

從電源到PCC的動態方程可以表示為：

式中：下標D和Q表示電氣量在DQ坐標系中的變量，需要轉換到dq參考坐標系中，參與后續的計算過程。從圖1 可以看出，由于牽引網絡與車載整流器連接處的電流是相同的［17］，故可推導出轉換到參考坐標系后PCC處電壓的d、q軸分量分別為：

基于上面定義的微分方程，圖1 所示的單相車載電網系統和圖A1所示的控制系統可表示為：

式中：X=［id，iq，udc，mid，miq，mdc，θ，ωPLL，］T為狀態變量；v=［udc，udc］T為控制變量；u=［usD，usQ，Udcre］fT為輸入變量。

2 車網系統的穩定性分析

單相車網系統參數見附錄A表A1。采用牛頓迭代法求出狀態變量的平衡點，如附錄A 表A2 所示。為研究系統的穩定性，可以通過線性化穩態點附近的非線性模型來獲得雅可比矩陣。進而，可以通過相應的特征多項式獲得特征值。如果最大特征值的實部從負值變為正值，則系統將出現不穩定現象。

考慮到電網側電感Ls是牽引網的等效電感，具有實際意義。采樣時間Ts也會影響系統的穩定性。直流側電容Cd不僅可以過濾直流電壓，還可以穩定電壓。電流內環控制中的比例增益kip也是重要參數之一。且現有研究（如文獻［1，6，12］）著重對電網側電感、采樣時間、直流側電容和PI控制器參數進行分析。所選變量特征值軌跡分析結果見附錄A圖A3。

電網側電感Ls是影響穩定邊界的關鍵參數之一。如圖A3（a）所示，隨著Ls從3.7 mH 逐漸增大到4.2 mH，系統的最大特征值的實部也逐漸靠近實部為0的直線，當其數值大于4.1 mH 時，其最大特征值的實部將從左半平面LHP（Left Half Plane）移至右半平面RHP（Right Half Plane）。特征值的實部代表振蕩模式的阻尼，而虛部代表角頻率。因此同時可以計算出，當Ls＝4.2 mH 時，對應的振蕩頻率是2.1 Hz。換言之，電網側等效電感值越大，系統越不穩定。當其增加到一定水平時，系統將遇到LFO。類似的結論也適用于PLL 角頻率簡化為常數的時候，采用文獻［19］中的模型計算得到的Ls臨界值和LFO的振蕩頻率與本文結果略微不同，本文在考慮了PLL 動態和延時之后的計算值更加貼近仿真和實驗結果。詳細數據比較結果將在第4節表1、2中給出。

當將采樣時間Ts選擇為變量時，隨著采樣時間的增加，其特征值的變化如圖A3（b）所示。當Ts增加到2×10-4s 時，最大特征值出現在RHP 中，表明系統出現了振蕩，振蕩頻率為3.1 Hz。值得注意的是，文獻［19］中并未考慮延時帶來的影響，因此無法對Ts進行理論分析。

以直流側電容Cd作為跟蹤系統特征值的變化參數的特征值軌跡，如圖A3（c）所示。當Cd增加到8 mF時，系統表現出LFO 現象，其振蕩頻率為2.1 Hz。相似的變化趨勢也適用于簡化的模型計算結果，其對應的臨界值和振蕩頻率同樣在第4節表1、2中給出。

最后，將電流內環控制中的比例增益kip視為變量進行分析。當kip從1.6 減小到1.1 時，特征值的變化如附錄A 圖A3（d）所示。當kip大于1.3 時，系統保持穩定。當kip等于1.3時，最大特征值的實部穿過實軸，此時計算得到的振蕩頻率為2.2 Hz。

3 仿真和實驗驗證

3.1 仿真案例

仿真案例中參數設置見附錄A 表A1。在不同的參數變化下PCC處的電壓en、電網側電流in和直流側輸出電壓udc波形如圖2 所示。由圖可知：當Ls=2 mH，Ts=5×10-5s，Cd=4.5 mF 和kip=2 時，系統穩定；當Ls=4.3 mH 時，系統不穩定，出現了振蕩頻率為2.1 Hz 的LFO 現象；當Ts=2×10-4s 時，系統出現了LFO 現象，振蕩頻率為3 Hz；當Cd=8 mF 時，系統出現了振蕩頻率為2 Hz的LFO現象；當kip=1.4時，系統出現了振蕩頻率為2.3 Hz的LFO現象。

圖2 仿真結果Fig.2 Simulative results

3.2 實驗驗證

采用遠寬能源科技的半實物實驗平臺，對所建模型的準確性和分析方法的有效性進行進一步的驗證，如附錄A 圖A4 所示。首先，將車網系統的模型拆分為被控對象（主電路）與控制算法兩部分，利用StarSim 軟件，將2 個部分分別下載到硬件在環HIL（Hardware In the Loop）實時仿真系統和快速原型控制RCP（Rapid Control Prototype）系統中，通過物理輸入輸出模塊連接，形成閉環測試回路。

HIL 實時仿真系統（主電路）中的電路參數和RCP 系統（控制算法）中的控制器變量設置見附錄A表A1。圖3顯示了在不同參數下觀察到的en、in和udc的測量波形，各波形的局部放大圖見附錄A 圖A5。由圖可知：當與仿真設置相同的穩定參數時，HIL 的結果顯示系統也是穩定的；當Ls增加到4.5 mH 時，系統的振蕩頻率為2 Hz；當Ts增加到2.2×10-4s 時，系統的振蕩頻率為3.4 Hz；當Cd擴展到8 mF時，系統的振蕩頻率為2 Hz；當kip減小到1.3 時，系統的振蕩頻率為2 Hz。綜上，HIL 中展現出的LFO 現象與圖2中的仿真結果及前文理論分析的結果基本一致。

圖3 半實物仿真結果Fig.3 Simulative results of HIL

為了更直觀地比較，對比分析考慮了PLL角頻率動態以及時間延遲的情況和未考慮以上2 種因素下模型計算的數值以及仿真和半實物結果。表1 為不同模型下系統發生振蕩的臨界參數值，表2 為臨界參數下不同模型所計算的系統振蕩頻率。由表可知，Ls、Ts和Cd過高或電流內環控制中的比例增益kip過低會導致LFO現象的出現。通過對比本文計算結果與文獻［19］模型的理論計算結果可知，未考慮PLL 角頻率動態以及時間延遲的情況，即采用文獻［19］中的模型計算得到的參數臨界值和振蕩頻率與仿真測試、HIL 實驗的結果都存在一定的誤差，而將PLL 中角頻率視為變量并且考慮了時間延遲后的本文所提建模方法得出的結果誤差較小，更接近實驗值。這表明基于特征值的穩定性分析方法是有效和正確的，并且本文所建立的數學模型更加準確。

表1 參數臨界值Table 1 Critical values of parameters

表2 臨界參數下不同模型下的LFO頻率Table 2 Frequency of LFO under critical values of parameters in different models

4 基于design-oriented的穩定邊界分析

為了更直觀地顯示參數變化對穩定區域的影響，本節基于前文中建立的SSA 模型，將SSA 模型與design-oriented 分析方法相結合，以計算系統參數變化時所引起LFO的參數邊界值。

從參數中選擇參與討論的變量，為與前文分析相關聯，選擇電網側電感Ls、采樣時間Ts、直流側電容Cd和比例增益kip作為分析對象。首先從上述4個參數中選擇3 個，以構成參數平面；再確定3 個參數中的1個變量暫時作為定值，1個作為自變量，另外1個參數作為因變量，利用特征值分析法計算出其穩定臨界值，并記錄下來。通過改變自變量參數值，分別求取對應的縱坐標參數臨界值。最后通過最小二乘擬合，將記錄的臨界點繪制成穩定邊界曲線，如圖4 及附錄A 圖A6—A8 所示（圖4 中，曲線上方為穩定區域，曲線下方為不穩定區域）。

圖4 不同Ls下當Ts=5×10-5 s時Cd-kip平面上的穩定邊界Fig.4 Stability boundary on Cd-kip plane when Ts=5×10-5 s under different values of Ls

4.1 電網側電感

Ls是影響系統穩定性的關鍵參數，同時選擇負載側電容Cd和電流內環比例系數kip作為另外2個參數進行對比，以形成參數平面。在Ls不同的情況下，研究了由該參數和參數平面上的其他2 個變量形成的穩定邊界，結果如圖4 所示。在給定Ls的前提下，較高的kip將使系統保持穩定。以圖4 中Ls=2 mH 曲線為例，此時最小二乘擬合曲線的方程為：

另取Cd=5.5 mF 的情況對曲線的計算結果進行驗證，此時輸出結果為1.63，仿真測得的臨界值為1.7，結果基本吻合，證明了曲線擬合結果的正確性。

4.2 采樣時間

采樣時間Ts的大小是影響系統穩定性的另一個參數。選擇Cd和Ls作為參數平面的2 個坐標軸，并且穩定邊界如附錄A圖A6所示。

4.3 直流側電容

直流側電容Cd同樣影響穩定邊界的位置，如附錄A 圖A7 所示。采樣時間Ts和電流比例增益kip被選作另外2 個變量。由圖可知，對于給定的Cd，選擇較小的Ts和較大的kip更容易保持系統的穩定。

4.4 電流內環比例增益

當kip較小時，系統將更容易越過穩定邊界；而kip越大，穩定性區域越大，即系統的穩定裕度越大，如附錄A圖A8所示。

圖4 和附錄A 圖A6—A8 顯示了所選參數增加時系統穩定裕度的變化情況。由圖可知，在一定的參數變化范圍內，選擇較小的Ls、Ts、Cd以及較大的kip有利于保持系統的穩定性，得到更大的穩定裕度。

5 結論

本文建立了單相車網系統的時域SSA 模型。在建模過程中，將電源視為理想電壓源，忽略了直流側2倍工頻紋波，考慮了PLL的角頻率變化以及控制中的時間延遲。由于本文采用根軌跡來分析電路參數和控制參數對系統動態穩定性的影響，與傳統的阻抗建模相比，在計算過程中無需在時域和頻域之間進行轉換，可以避免采用Nyquist曲線或Bode圖所需的輸入和輸出阻抗的復雜計算。

與不考慮PLL 中角頻率動態變化和時間延遲的模型計算結果進行對比，表明所建模型的理論計算結果與軟件仿真和HIL 平臺實驗的結果更加吻合，證明所采用理論穩定性分析方法的有效性和準確性。采用design-oriented 分析方法對參數引起的穩定邊界進行更直觀的觀察，為系統中電路和控制參數的選擇及保持系統的穩定運行提供了參考依據。

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