運用SOLO分類理論 發展學生數學思維

劉洋洋 李長輝

海南省儋州市民族中學 571700

SOLO分類理論的基本觀點

“SOLO”全稱為“Structure of the Observed Learning Outcome”，是由澳大利亞教育心理學家John B.Biggs 和Kevin F.Collis在皮亞杰發展階段論基礎上建立的一種新的學習質量評價理論——SOLO分類理論.他們認為一個人的總體認知結構是一個純理論性的概念，是不可檢測的，而一個人回答某個問題時所表現出來的思維結構卻是可以檢測的，彼格斯（Biggs）稱之為“可觀察的學習成果”［1］.

根據SOLO分類理論，彼格斯把學生對某個問題的學習結果由低到高劃分為五個水平［2］，如圖1（彼格斯給出的圖解）.

圖1

SOLO 分類理論在初中數學中的一般應用

SOLO分類理論依據學習結果對學生的思維水平和對知識的掌握情況進行分析、評價和把握，有很強的實踐性和可操作性.下面，筆者運用SOLO分類理論對中考數學試題和學生解題過程進行分析、評價.

（一）運用SOLO分類理論分析中考數學試卷結構

在2021年海南省中考數學備考分析會上，海南中學的房一登老師對海南省2020年初中學業水平考試數學科試卷的題型結構進行了分析（見表1），基礎題∶中等題∶較難題=7∶2∶1，符合中招考試出題的結構要求.

表1 海南省2020年初中學業水平考試數學科試題題型結構分析

（2020年海南·中考）第1題：實數3的相反數是（ ）.

（2020年海南·中考）第6題：如圖2，已知AB∥CD，直線AC和BD相交于點E，若∠ABE＝70°，∠ACD＝40°，則∠AEB等于（ ）.

圖2

A.50° B.60° C.70° D.80°

簡單題中的選擇題第1題，只考查了“相反數”一個知識點，僅應用一個知識點即可解決問題.而簡單題中的選擇題第6題，考查了兩個知識點：“兩直線平行的性質及三角形的內角和.” 第7、第10、第17、第18、第19（2）（3）、第20（1）、第21（1）、第22（1）也同樣需要應用兩個或兩個以上獨立的知識點解決問題.所以根據SOLO分類理論，試卷中的簡單題可劃分為單一結構水平和多元結構水平，中等題可劃分為關聯結構水平，難題可劃分為拓展抽象結構水平，具體劃分如表2.

表2 SOLO思維水平特征和中考數學試題SOLO體現

從以上分析不難看出該試卷主要集中考查單點結構層次、多點結構層次和關聯結構層次，選擇題SOLO層次考查單一，非選擇題SOLO層次考查多元化.總體而言，試題對學生思維技能水平考查適中，注重構建知識點之間的聯系并加以應用，較好地反映了數學學科對學生思維技能水平培養的要求，為教師準確把握初中數學教學方向提供了參考.

其實任何一份數學試卷都蘊含著SOLO分類理論，只是教師未從其角度進行分析和評價.若運用SOLO分類理論編制試卷或運用SOLO分類理論對已有試卷結構進行劃分，就可以從學生試卷的答題情況推斷學生所處的思維技能水平和對知識的掌握情況，避免了只憑分數評判學生的問題.

（二）運用SOLO分類理論分析學生解題過程

學生數學解題過程的書寫是“可觀察的學習結果”，過程書寫的條理性和邏輯性更能反映出學生數學思維所達到的水平.筆者參加了海南省2020年初中學業水平考試數學科評卷工作，評的是第22 題（二次函數綜合問題）.筆者以此題為例，根據學生答題情況，用SOLO分類理論來分析、評價學生的思維技能水平.

（2020年海南·中考）第22題：拋物線y＝x2+bx+c經過點A（-3，0）和點B（2，0），與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側.

①如圖3，過點P作PD⊥x軸于點D，作PE⊥y軸于點E，當PD＝2PE時，求PE的長.

圖3

②如圖4，該拋物線上是否存在點P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖4

前結構水平：學生出現抄原題和答非所問的現象，或是只有一點關于此類題的知識經驗，猜想b和c的值后得出一個與此題無關的二次函數解析式.單一結構水平：學生能將A，B兩點坐標代入拋物線解析式，但就此收斂，沒有聯想到二元一次方程組或是因二元一次方程組求解經驗不足而放棄.

備用圖

多元結構水平：學生能解決問題（1），能根據（1）中的拋物線解析式設出點P 的坐標，但不能用坐標正確地表示出線段PD和PE的長度或因求解二元一次方程計算能力不足而出錯.

關聯結構水平：學生可以根據（1）中的拋物線解析式設出點P的坐標并引入參數，能根據線段長度PD＝2PE的關系得到方程進行求解，能根據P點可能在第三象限或第二象限進行分類討論，能求出PE長度.

拓展抽象結構水平：學生能根據問題（2）第②題中∠ACP＝∠OCB的條件及∠OCB在Rt△OCB中且其三邊長度都是已知的，聯想到把∠ACP也放在直角三角形中，得到過點A作直線PC垂線的方法，在應用三角形相似、已知兩點求直線解析式和求直線與拋物線交點坐標的知識求出P點坐標.除此常規做法之外，有的學生還發現∠OCB和∠ACO都是直角三角形，正切值已知，于是過點P作x軸或y軸平行線，應用兩角和與差的正切公式進行求解.

由上述分析可以看出，SOLO分類理論焦點集中在“質”而非“量”，它是從心理學角度來評價學生思維水平所能達到的深度和廣度，它描述的是學生的學習水平，反映的是學生的學習質量等級.它不是告訴教師通過一個具體結果該如何劃分學生，而是為教師提供了一個評價學生思維技能水平的思路和依據.因此，教師可以根據學生試卷的答題情況和學生解決某個具體問題時所提供和利用知識以及知識之間的聯系，進而推斷學生所處的思維技能水平和對知識的掌握情況.

SOLO 分類理論對初中數學教學的指導作用

評價的目的不是為了劃分等級和選拔優秀者，而是為了學生的成長和教師的發展.教師運用“SOLO”分類理論分析、評價學生，不僅可以較好地掌握學生思維技能水平、學習需求，助推學生思維水平向高階發展，還可以檢測自己的教學效果和審視自己的教學行為.所以SOLO分類理論對初中數學教學有啟示、指導的作用，教師可以根據SOLO分類理論進行教學設計和選擇合適的教學策略.

（一）根據SOLO分類理論設計教學目標

根據SOLO分類理論對教學內容和學生的思維水平進行分析，可以細化設計出更有針對性、層次性和符合學生思維遞進發展規律的教學目標.

例如，“代數式的值” 是學生在繼“列代數式”之后學習的內容，課標的要求是“了解代數式值的意義，能準確求出代數式的值”，過于籠統簡略，于是根據SOLO分類理論可細化、分層設計如下教學目標（如表3）.

表3 SOLO思維水平與“代數式的值”教學目標的對應關系

教學目標是教師的課前設定，課后教師一定要根據學生作業、練習、測試等落實教學目標完成情況.這需要教師根據SOLO分類理論布置作業、練習或者根據SOLO分類理論編制試題或對已有試題結構進行劃分.

SOLO分類理論反映的是學生學習質量而非發展階段，彼格斯提出“學習周期”的概念，也就是說，在學生數學學習中，SOLO分類理論中的五個思維技能水平是不斷反復出現的［4］.例如學生在學習“有理數加減法”時可能表現出較高層次思維技能水平，而在學習“代數式的值”時卻表現出困難或者很難拔高.所以根據SOLO分類理論設計數學中每一節、每一單元、每一專題的教學目標，再從學生目標完成情況角度出發，可以讓教師更加準確地、合理地、科學地對學生每一節、每一單元、每一專題的學習情況進行劃分，進而開展更有針對性的分層輔導，讓處在不同思維技能水平的學生都能得到應有的提高.

（二）劃分難度問題，設置合理坡度，助推學生思維水平向高階發展

葉瀾教授曾提到“好的數學問題是驅動學生思維的有效載體，數學教師關注數學課堂教學過程中的問題設置是新基礎教育成功的關鍵指標之一”［4］.問題設置的主要目的是引導學生思考的方向，激發學生解決問題的積極性.因為學生知識基礎、認知結構、思維能力等方面存在差異性，對某一問題有的學生會覺得簡單、有的學生會覺得難，這都會影響學生學習的積極性.為了讓各個層次的學生都能參與其中，都能有所收獲，教師可以根據SOLO分類理論將某一有難度的問題進行劃分，分為4個層次水平，設置合理的坡度，助推學生從較低思維結構向更高層次思維水平發展.

例如，“代數式的值”課后習題是擺放餐桌和椅子的問題（如圖5），根據SOLO分類理論，教師可以為各個思維水平層次的學生設置如下問題：

圖5

（1）單一結構水平：3張餐桌需要多少把椅子？（學生從圖中數一數即可）

（2）多元結構水平：若有4張餐桌需要多少把椅子？（學生按照規律畫出圖形再數出數量即可，不必理解整體結構）

（3）關聯結構水平：每多1張餐桌需多擺放多少把椅子？餐桌左右椅子數量是否有變化？（學生找到每多1張餐桌需多擺放4把椅子，餐桌左右椅子數量無變化的規律，就需對各個圖形信息之間的關系有所認識）

（4）拓展抽象結構水平：n張餐桌可以放多少把椅子？（學生需脫離具體圖形、數字，抽象得出一般結論4n+2）

除此之外，同學們有解決此問題不同的方法嗎？（1張餐桌放6把椅子，每多1張餐桌需多擺放4把椅子，則有一般結論6+4（n－1）.得出一般結論后再讓學生解決第（2）個問題就會很容易）

增加到100張、1000張餐桌呢？讓學生感受到用字母表示數和從數學的角度找到、表示出事物的一般規律對人們實際生活的意義，從而激發學生想學好數學的內驅力.

其中“拓展思維結構水平”不局限于題目本身，可進行變式，如將本題餐桌改為豎著擺放：每張桌上下各放1張，前后兩頭各放2張，則n張餐桌可以放多少把椅子；或提煉題中所蘊含的數學思想、方法等，如通過這道題讓學生發現、體會數學中由具體到抽象、由特殊到一般再到特殊的數學思想，有助于學生初步建立數學建模思想等.

（三）把握學生思維的前結構水平，注重數學知識的“實際意義”

前結構水平是指學生在學習新知之前，頭腦中已有的知識結構，如已有的知識基礎、生活經驗、情感體驗等.這些已有的前結構性知識，有的能促進學生的數學學習，有的反而阻礙學生的數學學習.所以教師在教學前不僅要對數學本體性知識進行研究，還要聚焦學情，把握學生思維的前結構水平，注重數學知識的“實際意義”，將其由具體到抽象進行過渡.

例如，很多剛步入初中的學生有豐富的生活經驗，有扎實的小學四則運算基礎，但在學習“有理數的加減法”時，對法則“有理數加法法則中有減法，而減法法則中又有加法”不理解，導致錯誤頻發.學生的困惑不在于法則，而是缺乏由生活中的具體“賠2元”到數學中抽象的“-2”的認識遷移抽象能力.這時教師就應改變教學策略，從學生思維的前結構水平出發，利用學生的生活經驗和正負數的實際意義，將其轉化為具有一定生活意義的實際問題.例如計算（-3）+（+6）時，可以根據生活中“賠、賺”來進行分析，“-3”表示第一次賠了3元，第二次賺了6元，那最后到底是賺了還是賠了？賺了多少元或賠了多少元？顯然是賺了3元，用+3來表示，所以（-3）+（+6）=+3，同理（+5）+（-7），（-2）+（-3）最后是賺了還是賠了？在學生理解基礎上進行歸類，引導學生從數學角度，用數學語言歸納得出有理數加法的法則，在讓學生利用法則進行計算，從而加強學生對法則的理解和記憶，強化學生計算能力.數學來源于生活，在于理解，而不是機械地運用法則來模仿計算.

這里要注意“注重數學知識的實際意義”并不是將數學課堂生活化，數學課堂的“主題”應是培養學生用數學的眼光、用數學的思維、用數學的語言去發現、分析、描述、解決問題.“注重數學知識的實際意義” 只是數學課堂的“副題”，教學時不能只要“副題”而不要“主題”，更不能為了體現“副題”而忽略“主題”，它們應是有機的結合.例如上面“有理數的加法”這節課，通過生活化的教學，學生已基本會運算，但教師不能止步于此，更不能直接給出有理數加法法則，而是要引導學生從數學角度發現規律、歸納規律，用數學語言總結規律將其抽化為數學知識，在此基礎上再回歸生活，讓學生應用其解決生活中的實際問題，這樣不僅體現了“副題”，還可以讓學生真切感受到數學來源于生活、服務于生活.