數學猜想：拓展學生思維的有效方法

薛麗雅

江蘇省江陰市華西實驗學校 214421

數學猜想是數學學習過程中的一種重要方法，許多重要的數學理論的誕生都來自于數學的猜想.在數學課堂上，教師引導學生進行數學猜想能讓學生調動思維進行思考和參與學習活動，既是學生對知識掌握情況的反映，也是學生積極學習的情感體現，因此有效利用猜想的教學方法，可以提高課堂教學效率.然而猜想不是空想，是學生在教師創設的情境下有方向地推測和判斷，是基于學生已有知識作出的合理猜測，有效的數學猜想可以推動數學問題的解決，促進課堂的有效生成.

幾何學習的過程中數學猜想的教學方法尤為重要，因為幾何證明需要經歷直觀幾何到實驗幾何再到論證幾何的過程，數學猜想可以在已知條件和結論之間建立聯系，促進學生直觀思維的形成，更快地找到問題的突破點，增強學生學習的信心.筆者以“直角三角形的性質”一課為例，嘗試采用“數學猜想”的教學方法，引導學生根據直觀經驗進行猜想，進而采用數學理論加以證明的方法，來學習直角三角形的性質定理.

教學案例

（一）導入教學

1.課前準備

操作①：準備一張紙片，將其剪成直角三角形的形狀.

師：請同學們談一談采用什么方法準備這個直角三角形紙片的？

（學生暢所欲言）

師：想一想可以從哪些方面認識一個幾何圖形，如邊、角、線段等？

操作②：在教師的指導下，學生跟隨幾何畫板的演示進行操作，如圖1，將直角三角形紙片進行翻折.

圖1

師：通過剛才的實驗操作，你發現直角三角形具備其他圖形所沒有的特點了嗎？

2.探索直角三角形的性質1

（1）從“角”上觀察直角三角形的兩個銳角翻折后與直角相重合，探討直角三角形“角”的特性.

（2）進行猜想并證明：直角三角形中兩個銳角的關系.

（3）定理1的簡單運用：如圖2，在已知直角△ABC中，∠ACB是直角，若斜邊AB上的高是CD，圖中有幾對相等的銳角和幾對互余的角？

圖2

3.探索直角三角形性質2

（1）根據操作②，請你猜想一下直角三角形的線段有什么特殊性？

（2）猜想：在直角三角形中，斜邊與斜邊上的中線具有倍數的數量關系.

（3）學生思考討論之后，小組交流證明方法.

（4）如圖3，學生展示出兩種證明方法，教師進行點評.

圖3

教學反思

通過實驗操作引導學生關注“直角三角形紙片”，起到溫故知新的作用，既能復習直角三角形的概念，又為進一步學習直角三角形的特征奠定基礎，激發學生對新知探究的好奇心.接下來通過實踐操作，師生共同研究直角三角形的性質，了解直角三角形的角、邊的特殊性，為啟發學生猜想指明正確的方向.在教學環節的設計中，通過實踐操作引導學生進行直觀地觀察，進而引入下一環節的猜想和證明.

教學設計 “探索直角三角形性質1”時，學生已經通過觀察得到直角三角形的“角的特性”，理解了直角三角形兩個銳角具有互余的關系，結合導入環節中直角三角形的定義為論證明確了方向.定理1的運用已經關注到直角三角形的特殊線段，讓學生認識到直角三角形斜邊上的高可以將一個直角三角形分為兩個直角三角形，為后續探究直角三角形斜邊上的中線特殊性打下了基礎.

“探索直角三角形性質2”時，通過再次觀察操作實驗，經歷聯系、類比到證明的過程，讓學生學會研究問題的思維方法，體會數學之美，感受成功的喜悅.

通過這個翻折實驗，既復習了直角三角形的概念，又使學生通過觀察判斷出直角三角形中角的特性，并滲透了類比聯想的數學方法，可謂一舉多得.

猜想教學的策略

在幾何問題的教學中，教師讓學生以問題為導向進行猜想，可以使學生學好直觀幾何和實驗幾何的基礎上，為論證幾何問題打好基礎.但是學習目標達成的基礎是讓學習真正發生，因此猜想不能流于形式，不能無目的地隨意猜想.猜想并不是為了活躍課堂氣氛的隨意操作，更不是為了“猜想”而“猜想”.

（一）讓猜想為新知的學習助力

在新知學習的起步階段，猜想可以活躍課堂氣氛，激發學生的學習動機.猜想能在學生已有知識經驗的基礎上，架起與未知的橋梁，讓學生更快地進入新知的學習狀態.在講授 “勾股定理”的知識時，筆者嘗試了如下的設計：

1.教師利用多媒體展示動態虛擬模型：以直角三角形的三條邊為邊長向外作三個小正方形，向正方形中注滿液體，其中兩個小正方形中的液體正好可以注滿一個大正方形.這樣的動態演示可以激發學生的好奇心和對直角三角形特殊性的探究欲望.

2.設計實驗操作的動手題，學生自己動手畫出一個直角三角形，通過測量斜邊的長度檢驗自己的猜想是否正確.經過測量，學生發現自己的猜想是正確的，更加激發了用理論進行證明的積極性，教師適時地滲透數學方法進行引導，能幫助學生朝著正確的方向進行論證.為了激發學生的興趣，教師還可以進行數學史的講解，利用《周髀算經》中關于勾股定理的知識進行滲透，調動學生的學習熱情.

3.教師引導學生在研究特殊例子的基礎上，進一步總結一般規律，并利用統計數據驗證猜想，用幾何理論進行證明.

（二）讓猜想在學習的過程中提升思維品質

猜想是學習過程中的“催化劑”，可以為學習助力，促進學生多角度思維的生成，使學生能夠透過現象抓住事物的本質，加速大腦中表象形成的速度.筆者在教學“直角三角形的性質定理2”時，讓學生進行了如下的探索實踐：

1.如圖4，在直角△ABC 和直角△ACE中，∠ABC和∠AEC都是直角，AC的中點是點M，連接BM，EM和BE，BE的中點是點N，你能猜想MN和BE的位置關系嗎？

圖4

2.如圖5，若直角△ABC 和直角△ACE在直線AC的同側，MN和BE的位置關系有變化嗎？

3.如圖6，在△ABC中，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，點M是BC的中點，點N是DE的中點，在上述圖形中哪兩條線段有特殊的位置關系呢？

圖6

通過一組猜想活動，在圖形變化的變式訓練中，學生可以通過不同的圖形認識到這一組題的解題思路都是一樣的，從而體會數學的化歸思想.一組連續的猜想和設問可以激發學生學習的動力，調動學生的積極情緒，使學生處于興奮狀態，提高學習效率.經過不斷的猜想、論證，再次猜想、再次論證的循環反復過程，使學生對這一知識的認識由模糊到清晰，逐漸深入理解，最終掌握學習的方法.

（三）讓猜想在知識建構之后保持學習的熱情

在完成了新知的學習之后，教師可以讓學生繼續猜想，猜一猜接下來會繼續學習什么內容，今天所學的內容可以應用到哪些問題當中，讓課堂上學習的熱情延續到課后，繼續擴大學習的成果.筆者在“直角三角形性質”這節課的最后，進行了如下的總結：

師：同學們，今天我們研究直角三角形的性質，主要是從哪些角度進行研究的？

生：我們通過兩次探索，第一次是探索直角三角形的角，第二次是探索直角三角形的特殊線段.

師：非常好！那么我們還能從哪些角度進行研究呢？

生：還可以從直角三角形的邊進行研究.

師：是的，三角形的構成要素中還有一項重要內容是三角形的邊，直角三角形邊的特殊性正是我們下一節課需要探究的內容，同學們可以提前思考……

綜上所述，數學猜想是研究數學問題的重要方法，學生在經歷實驗觀察到猜想論證的過程中，培養了自己的觀察分析能力和思考探究能力，調動了多重思維的綜合運用，從“學會”走向了“會學”.在日常的教學中，教師要搭建學生猜想的平臺，給學生足夠的思考空間和時間，激勵學生參與到數學的學習活動中來，能逐步學會運用觀察、實驗、猜想、論證的學習方法，提升幾何學習的有效性.在探究的過程中，不僅讓學生學習知識，而且進行情感的體驗，真正成為善于學習、樂于學習的人.