變質心共軸雙旋翼無人機建模與反步滑?？刂?/h1>
2022-12-25 07:46吉思臣王司令任海鵬
南京航空航天大學學報 2022年6期
吉思臣，王司令，閻 坤，任海鵬，周 洋
（1.西安工業大學電子信息工程學院，西安 710021；2.西安現代控制技術研究所，西安 710065）
共軸雙旋翼飛行器是一種依靠平衡上下旋翼產生的扭矩差實現偏航控制的飛行器［1］，由于其操控性強、靈活性高的特點，可在狹窄的空間進行垂直起降，無需跑道或彈射架，因此在農業、林業、多媒體、交通管制、交通運輸和其他民用和軍用領域得到廣泛應用，特別是定點懸停和低速飛行的飛行特 性 使 其 在 執 行 高 精 度 查 詢 任 務［2?3］時 更 具 有優勢。
當前，傳統共軸雙旋翼飛行器依靠旋翼的周期變距來改變旋翼升力在槳盤平面上的分布情況，從而改變機身所受合力和合力矩［4］，但這種控制方式存在一定的弊端。復雜的變距機構和旋轉方向相反的上下旋翼造成了較快的機械磨損速度，這導致旋翼系統使用壽命低、更頻繁的維護且維修成本高［5］。同時，對于只進行下層旋翼周期變距的旋翼系統，下層旋翼更容易受上層旋翼的洗流作用［6］影響，導致提供的前向推力更小，使無人機性能更差、續航時長更短。
綜上，制約現有共軸雙旋翼無人機進一步提高使用壽命、飛行續航和飛行性能的是旋翼系統在提供升力的同時還需要實現對機身整體的姿態控制，因此需要一種新型控制方案有效應對上述問題。
變質心控制針對這一問題提供了一種解決方案，這是依靠改變質心位置的姿態控制方法［7］。這種控制方法最早用于再入飛行器的姿態控制［8］，后來在航天器、固定翼以及多旋翼的姿態控制中也得到了廣泛的應用。Li 等［9］對變質心控制的發展與應用做了全面綜述。變質心控制機構可完全置于飛行器內部，工作時不依賴氣動力，因此它能減少機身所受空氣阻力、提升續航時間。Erturk 等［10］將變質心控制應用于固定翼無人機的姿態控制，去除了機翼上的操縱舵，使姿態控制不依靠空氣動力。Haus 等［11］使用變質心控制解決了燃料動力四旋翼無人機很難通過控制旋翼轉速實現控制姿態，也證明了變質心控制在旋翼機上的可行性。Darvish?poor 等［12］使 用LQR（Linear quadratic regulator）實現了變質心共軸雙旋翼在俯仰和滾轉通道上控制，且完成了8 形軌跡跟蹤，證明變質心控制對旋翼機具有足夠高的可操作性。
本文為共軸雙旋翼無人機提出了一種三軌變質心機構。變質心控制機構僅使用3 個皮帶?滾筒結構實現姿態控制，與4 個軌道的方案［12］相比結構更簡單，材料質量更輕。使用動力電池作為控制機構中的滑塊，增加了無人機續航。外部采用涵道外殼設計，涵道用于抑制槳尖渦流、為旋翼系統增加升力［13］，同時避免無人機受劇烈碰撞而損毀［14］，提高無人機調試階段的安全性。但變質心無人機是一種多剛體系統，其自身具有很強的非線性和不確定性，為了更直觀地表示這種特性的成因，本文選用牛頓?歐拉法對其進行動力學建模［15］，利用牛頓?歐拉法在物理參數計算的直觀性來表示滑塊運動對機體運動的影響。針對這種非線性和不確定性，本文利用反步滑?？刂圃诜蔷€性控制方面具有響應速度快和強魯棒性的優勢［16］，完成了反步滑模姿態控制器的設計，并檢驗其有效性和抗干擾能力。
1 控制機構
本文所提的變質心共軸雙旋翼無人機，如圖1所示，在外部使用涵道用于增加能量利用效率和保護內部的旋翼系統。在涵道內部有3 個皮帶?滾筒結構作為無人機的變質心控制機構，如圖2 所示，3 個使用彈簧導線的電池分別固定在3 個皮帶上，滾筒通過伺服電機驅動。變質心機構依靠皮帶帶動滑塊運動實現質心位置改變，且3 個滑塊運動的方向不在同一平面，這樣保證由質心位置求出唯一的滑塊位置。涵道內有兩個旋翼分別存在于入口和出口附近，這兩個旋翼同軸且旋轉方向相反。
圖1 變質心共軸雙旋翼無人機Fig.1 Moving mass-actuated coaxial dual-rotor UAV
圖2 三軌變質心控制機構Fig.2 Three-track moving mass control mechanism
電池滑塊移動改變無人機重心的位置，導致無人機所受升力和重力的合力矩改變，以此來實現對俯仰角和滾轉角的控制。旋翼系統可通過調整上層旋翼和下層旋翼的轉速，改變每個槳葉所受的反應力矩，實現對偏航角的控制。
2 無人機數學模型
2.1 定義坐標系
為了描述無人機相對于地面的運動和變質心機構在無人機內的運動，引入地面坐標系Og?XgYgZg和機體坐標系Ob?XbYbZb，如圖3 所示。
圖3 地面坐標系與機體坐標系Fig.3 Ground coordinate system and body coordinate system
地面坐標系中，原點定義為地面上一點，Og Xg軸水平面指向正東，OgYg軸水平面指向正北，OgZg軸豎直向上，在無人機研究中，通常把地面坐標系看作慣性系。機體坐標系中，原點定義為除去變質心控制機構的無人機質心位置，坐標軸初始方向與地面坐標系平行。
2.2 運動學模型
將無人機模型簡化為僅包含變質心控制機構和無人機機身2 部分的系統，變質心控制機構的質量集中在滑塊上。設無人機的整個系統、變質心控制機構和無人機機身部分的質量為分別為mS、mC和mB，在地面坐標系中的質心位置矢量分別為PS、PC和PB，由質點系質心的定義得
用VS、VC和VB分 別 表 示PS、PC和PB的 對 時間的導數，根據質點系動量定理存在如下關系式
用RC表示地面坐標系下PC相對于PB的位置矢量，則三者滿足如下關系
用Ω表示無人機在地面坐標系轉動的角速度，則可將PC相對于PB的運動分解為平移運動和定軸轉動，即
則PC相對于地面坐標系的運動速度可表示為
用vS、vB和vC分 別 表 示PS、PC和PB在 機 體 坐標系內的移動速度，rC=[xC，yC，zC]T表示機體坐標系下PC相對于PB的位置矢量，ω表示無人機在機體坐標系內的轉動角速度，則
2.3 動力學模型
在機體坐標系內，變質心無人機的運動可分解為平移運動和繞質心轉動。在研究變質心無人機質心運動時，可將整個無人機系統視為質點系，系統質心位置PS的運動符合質心運動定律，質點系質心的加速度只與質點系所受合外力有關。在研究變質心無人機繞質心轉動時，可將整個無人機系統視為剛體，繞質心的轉動符合動量矩定理，轉動的角加速度只與剛體所受的合力矩有關。
2.3.1 平移運動動力學模型
2.3.2 繞質心轉動動力學模型
變質心無人機繞質心轉動的動力學方程同樣建立在機體坐標系下。根據動量矩定理，無人機的角動量H和合力矩M=[L，M，N]T存在如下關系
式中H=J?ω，J為無人機整個系統繞系統質心轉動的慣性矩陣。
角動量對時間的導數又可表示為
聯立式（14，15）可得
對式（16）進一步整理可得
式中E3表示三階單位陣。
則無人機整個系統繞系統質心轉動的慣性矩陣J可表示為
2.4 力和力矩
2.4.1 機身重力
在變質心無人機飛行過程中，其始終受到重力G的作用，若機體坐標系到地面坐標系的變換矩陣為Cgb[?，θ，ψ]，則重力在機體坐標系下可表示為
重力為過質心力，因此重力的力矩始終為0。
2.4.2 旋翼升力
考慮目前對涵道異物對流場的干擾沒有準確的數學模型，因此在動力學建模時忽略滑軌外殼對流場的影響并使用控制算法對未建模部分進行補償，利用Pitt?Peters 動態入流模型和葉素理論對飛行器的氣動模型進行近似建模。
這里使用Pitt?Peters 動態入流模型［17］來求解涵道共軸雙旋翼無人機的誘導速度。根據動態入流模型，共軸雙旋翼產生的空氣動力和誘導速度存在如下關系
式中：Mi、Vm、L分別為入流動力學的慣性矩陣、質量流量參數矩陣和靜態傳遞矩陣；Ct、Cr、Cp分別為旋翼的升力系數、滾轉力矩系數和俯仰力矩系數；λ0、λs、λc分別表示誘導入流比的時均、一階橫向分量和一階縱向分量。在上下兩層旋翼之間的存在誘導速度相互影響的情況下，誘導速度的動態變化可表示為
式中：下標i、j用于區分上下兩旋翼，當i表示上旋翼時j表示下旋翼，當i表示下旋翼時j表示上旋翼；下標0 表示靜止狀態下無窮遠處到旋翼的入流比；Kji表示旋翼j對旋翼i誘導速度的干擾系數，與設計參數有關；λfs為飛行器運動引起的入流比。
根據葉素理論［18］，旋翼的升力Ti與其翼長R、弦長c、葉素槳距角δ、誘導速度λi以及旋翼轉速ωi有關。記槳盤面積為A，空氣密度為ρ，升力系數為Cti，旋翼升力線斜率為as和槳盤實度為σ，則作用在旋翼槳葉上的升力Ti可以表示為
式中VB，z表示機體上升的速度。
若槳葉阻力系數為Cd，旋翼提供的扭矩可表示為
2.4.3 合力與合力矩
由于只考慮變質心共軸雙旋翼無人機在中、低速飛行或懸停時的情況，且使用輕質旋翼，則可忽略飛行時的涵道空氣阻力和旋翼的陀螺效應。因此，無人機的質心運動主要由機身重力FG和旋翼升力Frotor的合力Fb決定，無人機繞質心的轉動主要由旋翼提供的升力力矩和旋翼扭矩Qrotor的合力矩M決定。升力力矩由無人機質心到旋翼升力的著力點的位置矢量與升力矢量的矢積所決定，旋翼升力在機體坐標系Ob?XbYbZb內平行于ObZb，同時旋翼升力過機體坐標系原點，無人機質心到機體坐標系原點的位置矢量為-rS，則
因此，變質心無人機在俯仰和滾轉通道上的姿態控制很大程度上取決于rS的數值。
3 動力學特性
對于變質心無人機的姿態控制，飛行器本身的特性、控制機構的輸出量和被控量的變化特性對控制系統的設計具有重要參考意義。這里使用合力矩M、轉動慣量J和角加速度ω?的變化來反映變質心無人機的動力學特性，并分析不同的滑塊位置riC和滑塊總質量占比μC對無人機運動的影響。
3.1 力矩特性
無人機在進行俯仰和滾轉通道的姿態調節時，引起無人機繞質心轉動的合力矩為
因此，在無人機進行姿態調節時，所受合力矩M與質量占比μC、-rC在Ob?XbYb面上的投影以及旋翼升力Frotor有關。
3.2 轉動慣量特性
以繞機體坐標系Ob Xb軸轉動為例，根據式（20）可得，無人機繞Ob Xb軸轉動的轉動慣量可表示為
由此可推斷無人機機體繞機體坐標系某一軸的轉動慣量可表示為關于μC、rC的函數，因此無人機在進行姿態控制時慣性矩陣J會不斷改變，如圖4 所示，隨著μC和yC的增大，JX逐漸加快增加速度。
圖4 轉動慣量特性Fig.4 Rotational inertia characteristics
3.3 角加速度響應特性
圖5 為無人機懸停狀態下，不同μC和yC對應的角加速度p?的數值，其大小隨μC和rC的增大而增大。p?的增加速度隨著μC增大的過程逐漸加快，但隨rC增大的過程逐漸放緩，因此角加速度響應特性也呈現出一定的非線性。
圖5 角加速度響應特性Fig.5 Angular acceleration response characterristics
4 反步滑模姿態控制器
假設無人機機身的質量分布具有一定的對稱性，且變質心控制機構工作時質量分布對稱性改變較小，即JXY=0。則式（17）在俯仰、滾轉和偏航通道上的角加速度可簡化為
式中：F表示總不確定性，|F|≤Fˉ；ΔA、ΔB表示系統參數不確定部分；d(t)表示系統未建模部分和其他外部擾動。式（35）中各姿態角控制的總不確定性可表示為
式中JX(0)、JY(0)和JZ(0)為rC=0 時JX、JY和JZ的值。則對于無人機的姿態控制系統有：Ap=0，Bp=1/JX(0)，Fˉp=max|Fp|，Aq=0，Bq=1/JY(0)，Fˉq=max|Fq|，Ar=0，Br=1/JZ(0)，Fˉr=max|Fr|。
針對式（36）中的系統，可采用反步滑?？刂疲?9］，定 義 跟 蹤 誤 差z1、虛 擬 控 制 項z2、切 換 函數為ρ
式（41）中的包含描述系統特性的慣性參數B，不確定性參數Fˉ，以及與系統特性無關的參數h、c、k。只需將式（41）代入式（40）消除B和F，并使h、c、k的取值滿足|P|>0，就可保證式（42）中V?≤0。
若將姿態控制器的輸出表示為期望力矩的大小，俯仰、滾轉和偏航通道上的期望力矩可表示為
變質心控制機構控制滑塊移動的模型較簡單，可使用串級PID（Proportion integration differentia?tion）控制實現對r?C的跟蹤。
將式（46）中的N?和高度控制期望的F?rotor代入式（28），可 得 旋 翼 系 統 期 望 轉 速ω?u和ω?l的 約 束條件
式（48）姿態控制器設計由式（35）中的簡化模型推導得出，在仿真實驗和實際姿態控制中JXY不可能始終為0。但得益于滑?？刂凭哂恤敯粜缘奶攸c，可適當增加式（36）中代表總不確定性的參數F的數值，來抵抗JXY≠0 引起的各軸向控制力矩對其余軸上角加速度的干擾。
5 仿真分析
本節對上文所設計的變質心共軸雙旋翼的反步滑模姿態控制器進行仿真，以驗證控制器對變質心無人機這種不確定非線性系統的有效性，并進行姿態角的追蹤實驗；之后，對系統施加sin(2t)形式的擾動，用于模擬陣風［20］，以此驗證控制器的抗干擾能力；同時記錄變質心控制機構質心在機體坐標系內的移動軌跡，用于檢驗所設計的變質心控制機構能否在不觸及滑塊行程最大值的情況下完成對機身姿態的控制。變質心無人機的基本參數如表1 所示，滑塊行程最遠0.25 m，最大滑動速度0.7 m/s。
表1 變質心無人機總體參數Table 1 Overall parameters of mass?actuated UAV
使用tanh 函數的滑模切換項會在接近滑模面時造成控制輸出抖動［19］，為消除抖動也可將式（44～46）中的sgn 函數替換為tanh 函數，2 種函數的控制器在俯仰通道上的單位階躍響應結果見圖6，7。由圖7 可知，tanh 函數對應的控制器輸出仍具有較快的響應速度，且不會造成抖動。在后續仿真實驗中控制器滑模切換項將使用tanh 函數。
圖6 sgn 切換函數對應的控制器輸出Fig.6 Controller output using the sgn switch function
圖7 tanh 切換函數對應的控制器輸出Fig.7 Controller output using the tanh switch function
圖8 考慮了式（35）中描述的角加速度變化能受其余兩軸角速度的影響以及自身轉動慣量變化帶來的影響，給出了系統同時跟蹤?d=0.61sin(t+π 3 )，θd=0.61sint和ψd=0.61sin(tπ 3 )的結果和誤差，0.61 rad 大約是35°。由圖8 可知，所設計的姿態控制器能在各軸角速度之間存在相互干擾的情況下，姿態角控制的穩態誤差不超過5%。
圖8 姿態角跟蹤的結果和誤差Fig 8 Results and errors of attitude angle tracking
圖9 展示了在姿態角跟蹤的過程中，變質心控制機構質心位置在動態過程和穩態過程中的變化軌跡。如圖9（a）所示，在動態過程中‖rC‖2的最大值0.080 6 m，而‖rC‖2所 能 達 到 的 最 大 值 為0.083 3 m，因此本文設計的變質心控制機構在幅值為35°的姿態角跟蹤中未觸及滑塊行程邊界而造成控制器性能下降。如圖9（b）所示，在穩態過程中‖rC‖2的值不超過0.007 m，且rC的軌跡具有周期性，說明維持姿態角跟蹤時rC的移動范圍要遠小于其在動態過程中的移動范圍。
圖9 變質心控制機構質心位置的變化軌跡Fig.9 Variation trajectory of the moving mass control mechanism centroid position
圖10 給出了對系統施加一個sin(2t)形式的擾動時，系統跟蹤的目標函數為?d=sint的結果和誤差以及變質心控制機構質心位置隨時間變化的曲線。由圖10 可知，sin(2t)形式的擾動下，在動態過程中yC不超過0.06 m，未觸及行程邊界，動態過程不受影響。且系統穩定時的誤差不超過3%，這說明此控制器具能較好地抵抗外部干擾。
圖10 受擾時跟蹤結果Fig.10 Tracking results when disturbed
6 結 論
本文針對共軸雙旋翼無人機的姿態控制提出一種依靠變質心機構的控制方案，僅使用3 個皮帶?滾筒結構實現姿態控制，材料質量更輕。采用變質心控制方案使共軸雙旋翼避免使用易磨損的變距機構，延長了無人機的使用壽命；同時定槳距旋翼可以提供更穩定的升力輸出，便于升力控制；涵道的使用降低了旋翼系統的費效比，增加無人機的懸停時間，同時可降低旋翼系統產生的噪聲。因此變質心共軸雙旋翼更適用于農業、林業、多媒體等領域的低速高精度的定點查詢任務。
利用牛頓?歐拉法推導了變質心共軸雙旋翼的運動學模型和動力學模型，利用葉素動量理論建立了涵道雙旋翼的氣動模型，并分析了不同滑塊位置和質量占比情況下變質心無人機動力學特性。建立變質心無人機姿態控制的狀態方程，針對系統中的非線性和不確定性，設計了基于反步滑?？刂频淖藨B控制器。經仿真實驗表明，所設計的控制器響應速度快、穩態誤差小，同時在含有外部擾動的工況下有效完成姿態跟蹤任務，具備較好的抗干擾能力。
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（1.西安工業大學電子信息工程學院，西安 710021；2.西安現代控制技術研究所，西安 710065）
共軸雙旋翼飛行器是一種依靠平衡上下旋翼產生的扭矩差實現偏航控制的飛行器［1］，由于其操控性強、靈活性高的特點，可在狹窄的空間進行垂直起降，無需跑道或彈射架，因此在農業、林業、多媒體、交通管制、交通運輸和其他民用和軍用領域得到廣泛應用，特別是定點懸停和低速飛行的飛行特 性 使 其 在 執 行 高 精 度 查 詢 任 務［2?3］時 更 具 有優勢。
當前，傳統共軸雙旋翼飛行器依靠旋翼的周期變距來改變旋翼升力在槳盤平面上的分布情況，從而改變機身所受合力和合力矩［4］，但這種控制方式存在一定的弊端。復雜的變距機構和旋轉方向相反的上下旋翼造成了較快的機械磨損速度，這導致旋翼系統使用壽命低、更頻繁的維護且維修成本高［5］。同時，對于只進行下層旋翼周期變距的旋翼系統，下層旋翼更容易受上層旋翼的洗流作用［6］影響，導致提供的前向推力更小，使無人機性能更差、續航時長更短。
綜上，制約現有共軸雙旋翼無人機進一步提高使用壽命、飛行續航和飛行性能的是旋翼系統在提供升力的同時還需要實現對機身整體的姿態控制，因此需要一種新型控制方案有效應對上述問題。
變質心控制針對這一問題提供了一種解決方案，這是依靠改變質心位置的姿態控制方法［7］。這種控制方法最早用于再入飛行器的姿態控制［8］，后來在航天器、固定翼以及多旋翼的姿態控制中也得到了廣泛的應用。Li 等［9］對變質心控制的發展與應用做了全面綜述。變質心控制機構可完全置于飛行器內部，工作時不依賴氣動力，因此它能減少機身所受空氣阻力、提升續航時間。Erturk 等［10］將變質心控制應用于固定翼無人機的姿態控制，去除了機翼上的操縱舵，使姿態控制不依靠空氣動力。Haus 等［11］使用變質心控制解決了燃料動力四旋翼無人機很難通過控制旋翼轉速實現控制姿態，也證明了變質心控制在旋翼機上的可行性。Darvish?poor 等［12］使 用LQR（Linear quadratic regulator）實現了變質心共軸雙旋翼在俯仰和滾轉通道上控制，且完成了8 形軌跡跟蹤，證明變質心控制對旋翼機具有足夠高的可操作性。
本文為共軸雙旋翼無人機提出了一種三軌變質心機構。變質心控制機構僅使用3 個皮帶?滾筒結構實現姿態控制，與4 個軌道的方案［12］相比結構更簡單，材料質量更輕。使用動力電池作為控制機構中的滑塊，增加了無人機續航。外部采用涵道外殼設計，涵道用于抑制槳尖渦流、為旋翼系統增加升力［13］，同時避免無人機受劇烈碰撞而損毀［14］，提高無人機調試階段的安全性。但變質心無人機是一種多剛體系統，其自身具有很強的非線性和不確定性，為了更直觀地表示這種特性的成因，本文選用牛頓?歐拉法對其進行動力學建模［15］，利用牛頓?歐拉法在物理參數計算的直觀性來表示滑塊運動對機體運動的影響。針對這種非線性和不確定性，本文利用反步滑?？刂圃诜蔷€性控制方面具有響應速度快和強魯棒性的優勢［16］，完成了反步滑模姿態控制器的設計，并檢驗其有效性和抗干擾能力。
1 控制機構
本文所提的變質心共軸雙旋翼無人機，如圖1所示，在外部使用涵道用于增加能量利用效率和保護內部的旋翼系統。在涵道內部有3 個皮帶?滾筒結構作為無人機的變質心控制機構，如圖2 所示，3 個使用彈簧導線的電池分別固定在3 個皮帶上，滾筒通過伺服電機驅動。變質心機構依靠皮帶帶動滑塊運動實現質心位置改變，且3 個滑塊運動的方向不在同一平面，這樣保證由質心位置求出唯一的滑塊位置。涵道內有兩個旋翼分別存在于入口和出口附近，這兩個旋翼同軸且旋轉方向相反。
圖1 變質心共軸雙旋翼無人機Fig.1 Moving mass-actuated coaxial dual-rotor UAV
圖2 三軌變質心控制機構Fig.2 Three-track moving mass control mechanism
電池滑塊移動改變無人機重心的位置，導致無人機所受升力和重力的合力矩改變，以此來實現對俯仰角和滾轉角的控制。旋翼系統可通過調整上層旋翼和下層旋翼的轉速，改變每個槳葉所受的反應力矩，實現對偏航角的控制。
2 無人機數學模型
2.1 定義坐標系
為了描述無人機相對于地面的運動和變質心機構在無人機內的運動，引入地面坐標系Og?XgYgZg和機體坐標系Ob?XbYbZb，如圖3 所示。
圖3 地面坐標系與機體坐標系Fig.3 Ground coordinate system and body coordinate system
地面坐標系中，原點定義為地面上一點，Og Xg軸水平面指向正東，OgYg軸水平面指向正北，OgZg軸豎直向上，在無人機研究中，通常把地面坐標系看作慣性系。機體坐標系中，原點定義為除去變質心控制機構的無人機質心位置，坐標軸初始方向與地面坐標系平行。
2.2 運動學模型
將無人機模型簡化為僅包含變質心控制機構和無人機機身2 部分的系統，變質心控制機構的質量集中在滑塊上。設無人機的整個系統、變質心控制機構和無人機機身部分的質量為分別為mS、mC和mB，在地面坐標系中的質心位置矢量分別為PS、PC和PB，由質點系質心的定義得
用VS、VC和VB分 別 表 示PS、PC和PB的 對 時間的導數，根據質點系動量定理存在如下關系式
用RC表示地面坐標系下PC相對于PB的位置矢量，則三者滿足如下關系
用Ω表示無人機在地面坐標系轉動的角速度，則可將PC相對于PB的運動分解為平移運動和定軸轉動，即
則PC相對于地面坐標系的運動速度可表示為
用vS、vB和vC分 別 表 示PS、PC和PB在 機 體 坐標系內的移動速度，rC=[xC，yC，zC]T表示機體坐標系下PC相對于PB的位置矢量，ω表示無人機在機體坐標系內的轉動角速度，則
2.3 動力學模型
在機體坐標系內，變質心無人機的運動可分解為平移運動和繞質心轉動。在研究變質心無人機質心運動時，可將整個無人機系統視為質點系，系統質心位置PS的運動符合質心運動定律，質點系質心的加速度只與質點系所受合外力有關。在研究變質心無人機繞質心轉動時，可將整個無人機系統視為剛體，繞質心的轉動符合動量矩定理，轉動的角加速度只與剛體所受的合力矩有關。
2.3.1 平移運動動力學模型
2.3.2 繞質心轉動動力學模型
變質心無人機繞質心轉動的動力學方程同樣建立在機體坐標系下。根據動量矩定理，無人機的角動量H和合力矩M=[L，M，N]T存在如下關系
式中H=J?ω，J為無人機整個系統繞系統質心轉動的慣性矩陣。
角動量對時間的導數又可表示為
聯立式（14，15）可得
對式（16）進一步整理可得
式中E3表示三階單位陣。
則無人機整個系統繞系統質心轉動的慣性矩陣J可表示為
2.4 力和力矩
2.4.1 機身重力
在變質心無人機飛行過程中，其始終受到重力G的作用，若機體坐標系到地面坐標系的變換矩陣為Cgb[?，θ，ψ]，則重力在機體坐標系下可表示為
重力為過質心力，因此重力的力矩始終為0。
2.4.2 旋翼升力
考慮目前對涵道異物對流場的干擾沒有準確的數學模型，因此在動力學建模時忽略滑軌外殼對流場的影響并使用控制算法對未建模部分進行補償，利用Pitt?Peters 動態入流模型和葉素理論對飛行器的氣動模型進行近似建模。
這里使用Pitt?Peters 動態入流模型［17］來求解涵道共軸雙旋翼無人機的誘導速度。根據動態入流模型，共軸雙旋翼產生的空氣動力和誘導速度存在如下關系
式中：Mi、Vm、L分別為入流動力學的慣性矩陣、質量流量參數矩陣和靜態傳遞矩陣；Ct、Cr、Cp分別為旋翼的升力系數、滾轉力矩系數和俯仰力矩系數；λ0、λs、λc分別表示誘導入流比的時均、一階橫向分量和一階縱向分量。在上下兩層旋翼之間的存在誘導速度相互影響的情況下，誘導速度的動態變化可表示為
式中：下標i、j用于區分上下兩旋翼，當i表示上旋翼時j表示下旋翼，當i表示下旋翼時j表示上旋翼；下標0 表示靜止狀態下無窮遠處到旋翼的入流比；Kji表示旋翼j對旋翼i誘導速度的干擾系數，與設計參數有關；λfs為飛行器運動引起的入流比。
根據葉素理論［18］，旋翼的升力Ti與其翼長R、弦長c、葉素槳距角δ、誘導速度λi以及旋翼轉速ωi有關。記槳盤面積為A，空氣密度為ρ，升力系數為Cti，旋翼升力線斜率為as和槳盤實度為σ，則作用在旋翼槳葉上的升力Ti可以表示為
式中VB，z表示機體上升的速度。
若槳葉阻力系數為Cd，旋翼提供的扭矩可表示為
2.4.3 合力與合力矩
由于只考慮變質心共軸雙旋翼無人機在中、低速飛行或懸停時的情況，且使用輕質旋翼，則可忽略飛行時的涵道空氣阻力和旋翼的陀螺效應。因此，無人機的質心運動主要由機身重力FG和旋翼升力Frotor的合力Fb決定，無人機繞質心的轉動主要由旋翼提供的升力力矩和旋翼扭矩Qrotor的合力矩M決定。升力力矩由無人機質心到旋翼升力的著力點的位置矢量與升力矢量的矢積所決定，旋翼升力在機體坐標系Ob?XbYbZb內平行于ObZb，同時旋翼升力過機體坐標系原點，無人機質心到機體坐標系原點的位置矢量為-rS，則
因此，變質心無人機在俯仰和滾轉通道上的姿態控制很大程度上取決于rS的數值。
3 動力學特性
對于變質心無人機的姿態控制，飛行器本身的特性、控制機構的輸出量和被控量的變化特性對控制系統的設計具有重要參考意義。這里使用合力矩M、轉動慣量J和角加速度ω?的變化來反映變質心無人機的動力學特性，并分析不同的滑塊位置riC和滑塊總質量占比μC對無人機運動的影響。
3.1 力矩特性
無人機在進行俯仰和滾轉通道的姿態調節時，引起無人機繞質心轉動的合力矩為
因此，在無人機進行姿態調節時，所受合力矩M與質量占比μC、-rC在Ob?XbYb面上的投影以及旋翼升力Frotor有關。
3.2 轉動慣量特性
以繞機體坐標系Ob Xb軸轉動為例，根據式（20）可得，無人機繞Ob Xb軸轉動的轉動慣量可表示為
由此可推斷無人機機體繞機體坐標系某一軸的轉動慣量可表示為關于μC、rC的函數，因此無人機在進行姿態控制時慣性矩陣J會不斷改變，如圖4 所示，隨著μC和yC的增大，JX逐漸加快增加速度。
圖4 轉動慣量特性Fig.4 Rotational inertia characteristics
3.3 角加速度響應特性
圖5 為無人機懸停狀態下，不同μC和yC對應的角加速度p?的數值，其大小隨μC和rC的增大而增大。p?的增加速度隨著μC增大的過程逐漸加快，但隨rC增大的過程逐漸放緩，因此角加速度響應特性也呈現出一定的非線性。
圖5 角加速度響應特性Fig.5 Angular acceleration response characterristics
4 反步滑模姿態控制器
假設無人機機身的質量分布具有一定的對稱性，且變質心控制機構工作時質量分布對稱性改變較小，即JXY=0。則式（17）在俯仰、滾轉和偏航通道上的角加速度可簡化為
式中：F表示總不確定性，|F|≤Fˉ；ΔA、ΔB表示系統參數不確定部分；d(t)表示系統未建模部分和其他外部擾動。式（35）中各姿態角控制的總不確定性可表示為
式中JX(0)、JY(0)和JZ(0)為rC=0 時JX、JY和JZ的值。則對于無人機的姿態控制系統有：Ap=0，Bp=1/JX(0)，Fˉp=max|Fp|，Aq=0，Bq=1/JY(0)，Fˉq=max|Fq|，Ar=0，Br=1/JZ(0)，Fˉr=max|Fr|。
針對式（36）中的系統，可采用反步滑?？刂疲?9］，定 義 跟 蹤 誤 差z1、虛 擬 控 制 項z2、切 換 函數為ρ
式（41）中的包含描述系統特性的慣性參數B，不確定性參數Fˉ，以及與系統特性無關的參數h、c、k。只需將式（41）代入式（40）消除B和F，并使h、c、k的取值滿足|P|>0，就可保證式（42）中V?≤0。
若將姿態控制器的輸出表示為期望力矩的大小，俯仰、滾轉和偏航通道上的期望力矩可表示為
變質心控制機構控制滑塊移動的模型較簡單，可使用串級PID（Proportion integration differentia?tion）控制實現對r?C的跟蹤。
將式（46）中的N?和高度控制期望的F?rotor代入式（28），可 得 旋 翼 系 統 期 望 轉 速ω?u和ω?l的 約 束條件
式（48）姿態控制器設計由式（35）中的簡化模型推導得出，在仿真實驗和實際姿態控制中JXY不可能始終為0。但得益于滑?？刂凭哂恤敯粜缘奶攸c，可適當增加式（36）中代表總不確定性的參數F的數值，來抵抗JXY≠0 引起的各軸向控制力矩對其余軸上角加速度的干擾。
5 仿真分析
本節對上文所設計的變質心共軸雙旋翼的反步滑模姿態控制器進行仿真，以驗證控制器對變質心無人機這種不確定非線性系統的有效性，并進行姿態角的追蹤實驗；之后，對系統施加sin(2t)形式的擾動，用于模擬陣風［20］，以此驗證控制器的抗干擾能力；同時記錄變質心控制機構質心在機體坐標系內的移動軌跡，用于檢驗所設計的變質心控制機構能否在不觸及滑塊行程最大值的情況下完成對機身姿態的控制。變質心無人機的基本參數如表1 所示，滑塊行程最遠0.25 m，最大滑動速度0.7 m/s。
表1 變質心無人機總體參數Table 1 Overall parameters of mass?actuated UAV
使用tanh 函數的滑模切換項會在接近滑模面時造成控制輸出抖動［19］，為消除抖動也可將式（44～46）中的sgn 函數替換為tanh 函數，2 種函數的控制器在俯仰通道上的單位階躍響應結果見圖6，7。由圖7 可知，tanh 函數對應的控制器輸出仍具有較快的響應速度，且不會造成抖動。在后續仿真實驗中控制器滑模切換項將使用tanh 函數。
圖6 sgn 切換函數對應的控制器輸出Fig.6 Controller output using the sgn switch function
圖7 tanh 切換函數對應的控制器輸出Fig.7 Controller output using the tanh switch function
圖8 考慮了式（35）中描述的角加速度變化能受其余兩軸角速度的影響以及自身轉動慣量變化帶來的影響，給出了系統同時跟蹤?d=0.61sin(t+π 3 )，θd=0.61sint和ψd=0.61sin(tπ 3 )的結果和誤差，0.61 rad 大約是35°。由圖8 可知，所設計的姿態控制器能在各軸角速度之間存在相互干擾的情況下，姿態角控制的穩態誤差不超過5%。
圖8 姿態角跟蹤的結果和誤差Fig 8 Results and errors of attitude angle tracking
圖9 展示了在姿態角跟蹤的過程中，變質心控制機構質心位置在動態過程和穩態過程中的變化軌跡。如圖9（a）所示，在動態過程中‖rC‖2的最大值0.080 6 m，而‖rC‖2所 能 達 到 的 最 大 值 為0.083 3 m，因此本文設計的變質心控制機構在幅值為35°的姿態角跟蹤中未觸及滑塊行程邊界而造成控制器性能下降。如圖9（b）所示，在穩態過程中‖rC‖2的值不超過0.007 m，且rC的軌跡具有周期性，說明維持姿態角跟蹤時rC的移動范圍要遠小于其在動態過程中的移動范圍。
圖9 變質心控制機構質心位置的變化軌跡Fig.9 Variation trajectory of the moving mass control mechanism centroid position
圖10 給出了對系統施加一個sin(2t)形式的擾動時，系統跟蹤的目標函數為?d=sint的結果和誤差以及變質心控制機構質心位置隨時間變化的曲線。由圖10 可知，sin(2t)形式的擾動下，在動態過程中yC不超過0.06 m，未觸及行程邊界，動態過程不受影響。且系統穩定時的誤差不超過3%，這說明此控制器具能較好地抵抗外部干擾。
圖10 受擾時跟蹤結果Fig.10 Tracking results when disturbed
6 結 論
本文針對共軸雙旋翼無人機的姿態控制提出一種依靠變質心機構的控制方案，僅使用3 個皮帶?滾筒結構實現姿態控制，材料質量更輕。采用變質心控制方案使共軸雙旋翼避免使用易磨損的變距機構，延長了無人機的使用壽命；同時定槳距旋翼可以提供更穩定的升力輸出，便于升力控制；涵道的使用降低了旋翼系統的費效比，增加無人機的懸停時間，同時可降低旋翼系統產生的噪聲。因此變質心共軸雙旋翼更適用于農業、林業、多媒體等領域的低速高精度的定點查詢任務。
利用牛頓?歐拉法推導了變質心共軸雙旋翼的運動學模型和動力學模型，利用葉素動量理論建立了涵道雙旋翼的氣動模型，并分析了不同滑塊位置和質量占比情況下變質心無人機動力學特性。建立變質心無人機姿態控制的狀態方程，針對系統中的非線性和不確定性，設計了基于反步滑?？刂频淖藨B控制器。經仿真實驗表明，所設計的控制器響應速度快、穩態誤差小，同時在含有外部擾動的工況下有效完成姿態跟蹤任務，具備較好的抗干擾能力。
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