Riemann-Liouville型分數階時滯慣性復值神經網絡的全局漸近同步性

王 晨，張紅梅，張瑋瑋，張 海

（安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133）

分數階微積分具有記憶和遺傳的特點，學者們通過這些特點建立了分數階神經網絡模型，可以更好地描述神經元的動態行為[1-5]。分數階實值神經網絡的研究成果豐碩[6-9]，與其相比，復值神經網絡的狀態向量、連接權重、激活函數、外部輸入都是復值的，且具有更加復雜的性質，因此可以直接處理一些實值神經網絡無法解決的問題。慣性項是產生分岔和混沌[10-13]的重要工具，其同于電感的影響。Babcock和Westervelt在1986年首次引入了帶有時滯的慣性神經網絡[14]，相比于標準電阻-電容類型的電子神經網絡，當神經元耦合包含慣性性質時，其動態動力學可能會很復雜。例如，通過設計一個電感來實現烏賊的突觸、頭發細胞的膜半規管[15]等電感的引入，從數學角度來說，相當于增加了一個慣性項。

在實際應用中，當分數階神經網絡作用于系統的硬件時，經常會發生時延，包括泄露時延[16]、離散時延[17]和分布式時延[18]。因此，對時滯神經網絡的研究不僅具有理論意義，而且具有實際應用價值。同步作為一種重要的時滯系統動力學行為，由于其在信息科學、信號處理和保密通訊等領域中的理論重要性和實際應用而受到廣泛研究。迄今為止，同步類型有漸近同步[19]、相位同步[20]、投影同步[21]和指數同步[22]等，其中漸近同步是最重要的類型之一。關于分數階時滯神經網絡的全局漸近同步性問題已經有了豐富的研究結果，且帶有慣性項的分數階時滯神經網絡的全局漸近同步性問題也有大量報道，但是這些結果都是在實數域上得到的，而復值域上的全局漸近同步性問題很少報道?；诖?，本文研究了Riemann-Liouville型分數階時滯慣性復值神經網絡的全局漸近同步問題。

1 基礎知識

在本文中，Cn和C分別表示所有n維復數向量的集合以及所有復數的集合，i表示虛數單位，即i=和xI分別表示其實部和虛部。下面給出了一些定義、引理以及分數階微積分的相關結果。

定義1[23]函數f()x的α階Riemann-Liouville型分數階導數定義如下，

其中，n-1≤α

定義2[23]函數f()

x的α階分數階積分定義如下，

引理1[24]若f()

t是可導的，且f′(t)是連續的，則如下的不等式成立，

引理2[25]對于任意的x1,x2∈C，以及正數ρ，則如下的不等式成立，

引理3[26]若f(t)∈C在區間[ ]0,δ上是連續且可導的，0<α<1，n-1<β

引理4[27]若f(t)∈C在區間[ ]0,δ上是連續且可導的，0<α<1，n-1≤β

2 模型描述

考慮Riemann-Liouville型分數階時滯慣性復值神經網絡模型：

其中，0<β≤1，β<α≤1+β，n表示神經元的單位數量，zi(t)表示第i個神經元的狀態變量，ai>0，bi>0是常數，τi表示時滯，fj(zj(t))表示在t時刻神經元的輸出，gj(zj(t-τj))表示在t-τj時刻神經元的輸出，cij表示時刻t從單位j到單位i時的突觸連接權重，dij表示時刻t-τj從單位j到單位i時的突觸連接權重，Ii(t)是外部輸入。

系統（1）的初始條件為zi(s)=φi(s)+i?i(s)，Dαt zi(s)=ψi(s)，-τi≤s≤0，其中,i=1,2,3,…,n且ψi(s)是連續有界的。

備注1如果α=β，系統（1）將被簡化成一般的分數階時滯神經網絡，

備注2如果α<β，系統（5）將變成如下形式，

假設1令和都是解析的，對于任意的j=1,2,3,…,n，和gj(z(t-τ))可以分解成實部和虛部兩部分，即

其中，fRj(,):R2→R,fIj(,):R2→R,gRj(,):R2→R,gIj(,):R2→R，并且滿足Lipschitz條件，

3 主要結果

考慮階數為0<β<1,β<α≤1+β的情形，采取變量替換：si(t)=εiDβt zi(t)+zi(t)，其中εi>0。在不失去普遍性的前提下，讓εi=1?；谝?可得

由于zi(t)=xi(t)+iyi(t)，則，其中，sRi(t)=Dβt xi(t)+xi(t),sIi(t)=Dβt yi(t)+yi(t)。所以式（2）可寫為

那么系統（1）可以被重新寫成

以系統（1）作為驅動系統，那么反應系統可以寫成

其中，Ui(t)是控制輸入。

類似地，可以采取如下的變量變化：ωi(t)=Dβt υi(t)+υi(t)，由于νi(t)=θi(t)+iζi(t)，則

定義驅動系統和反應系統之間的誤差ei(t)=υi(t)-zi(t),hi(t)=ωi(t)-si(t)，i=1,2,3,…,n。當t→∞時，只需ei(t)→0和hi(t)→0，即在時，驅動系統（1）和反應系統（5）達到同步。

由式（3）、（4）、（6）和（7），誤差系統可以表示為

定理1在假設1和反饋控制器（10）下，驅動系統（3）或（4）和反應系統（6）或（7）達到全局漸近同步，其中li，ki是確定的。

證明選擇Lyapunov函數為Vi(t)=VRi(t)+iVIi(t)，其中，

這里qi和mi是未知的正常數，需要確定。根據引理1，計算出Vi(t)的一階導數，并將式（8）、（9）代入。先考慮實部的一階導數，

所以，只需要令

則

同理，可求得虛部的一階導數為

所以，只需要令

備注3當系統（1）中的ai=0,i=1,2,3,…,n時，其變為具有時滯的復值神經網絡，而且文獻[28]也研究了該系統的同步問題。

備注4在復數域上討論帶有慣性的時滯神經網絡模型問題在整數階上也被討論過，并報道了一些關于復值慣性神經網絡的同步及穩定性問題。但是在分數階上，很少有文章報道帶有慣性的神經網絡同步及問題，因此本文的研究具有一定參考意義。

4 結論

本文引入了分數階慣性神經網絡模型來研究Riemann-Liouville型分數階時滯慣性復值神經網絡的全局漸近同步性問題。將復值系統分成兩個實值系統來分別討論同步問題，利用Riemann-Liouville型分數階微分和積分的性質、合適的變量代換、全局漸近同步理論和不等式技巧得到新型反饋控制器下分數階時滯慣性復值神經網絡全局漸近同步的充分條件。值得注意的是，近年來，帶有慣性項的神經網絡問題逐漸得到了廣泛研究，我們想指出的是，實際應用中會出現帶有兩個甚至多個慣性項的神經網絡同步及穩定問題，這將是我們接下來繼續研究的課題。