含參正規形對參數的依賴性

唐 林

(重慶師范大學 數學科學學院, 重慶 401331)

0 引言

在非線性動力系統的定性理論研究中,正規形理論是有效的分析工具[1].正規形理論在非線性動力系統的分支理論及穩定性理論中有著重要作用,同時也廣泛運用于各個學科[2].正規形理論的基本思想是尋找合適的變換,將一個系統化成另一個形式相對簡單的系統,并且變換前后兩個系統局部拓撲共軛或光滑共軛(簡單地說,變換前后兩個系統具有相同的局部動力學行為).因此,我們可以通過分析簡化后系統的動力學行為[3]得到原系統的動力學行為.

最早提出正規形理論的是Poincare[4],他研究出了著名的解析正規形理論. Arnold[5]后續又進行了深入的研究,為完善正規形理論做出了巨大的貢獻.目前為止,正規形的計算方法主要有：李代數法、矩陣表示法、共軛算子法等[6].雖然已經有這么多的計算方法,但是正規形的計算過程還是相當復雜.Chuo等[7]給出了非線性向量場正規形的基本概念,為現代理論奠定了基礎.Hartman[8]證明了雙曲系統在不動點附近可以等價于其線性系統,所以得到正規形更簡單的形式,正規形理論也因此而迅速發展.

正規形在分岔問題中有著重要的作用.在分岔問題中,我們研究類似連續族Vε和Wε,可以求出共軛Cr微分同胚的連續族Hε.更具體地說,我們想研究Hε在Cr拓撲中,對Vε和Wε的連續依賴性[9].所以本文將對二維向量場系統進行這個問題的研究.

針對向量場部分二維冪這一情形已有結論[10].運用矩陣表示法表明系統

的二次正規形為

需要說明的是,整篇文章中的h.o.t.表示系統的高次項.本文將運用上述矩陣分析法來研究正規形中的近似恒同變換對參數的連續依賴性.

定理1考慮二維向量場

(1)當ε→0 時,Gε(x)→G(x),

(2)Hε連續依賴于ε.

定理2考慮二維向量場

由于定理2的系統為雙曲系統,等價于一個線性系統,而此時的近似恒同變換是不連續依賴的,則選取一個特殊的中間系統作為其正規形研究近似恒同變換的連續依賴性.

在第一節,我們給出本文需要使用的預備知識.在第二節中,給出定理1和定理2的證明.

1 預備知識

為n元k次齊次多項式空間.

{xαej||α|=k,1≤j≤k},

|α|:=α1+α2+…+αn=k,

定義2[11]兩個以0為奇點的形式向量場V,W稱作形式等價,如果存在一形式變換H,H(0)=0,滿足

2 主要結果證明

定理1的證明.

首先用矩陣法求出

span{e1-ε2e3+2εe4-ε2e5,
e2-2εe3+2e4-εe5}.

因此二次正規形為:

根據定義2,我們已知

因為要探究變換H,所以我們通過對比系數法來研究H,設

可以得到

通過對比二次項系數,得

解得此線性方程組的基礎解系為

設

則可得到

通過對比系數法可得

解得基礎解系為

且

則Hε的二次項系數為k1β1+k2β2(k1,k2∈R)的分量組成.當ε→0時,β1→α1,β2→α2,a1→a,b1→b.

探究H對ε的連續依賴性.同樣的, 令

設

則可以得到

同理可得

解得基礎解系為

且

則Lε的二次項系數為k1η1+k2η2(k1,k2∈R)的分量組成.當ε→0時,η1→α1,η2→α2,a2→a,b2→b.