一類Riesz空間分數階對流彌散方程的差分方法

張治國，陳豫眉，梁 倩

(西華師范大學a.數學與信息學院 b.公共數學學院，四川 南充 637009)

0 引言

分數階偏微分方程已被廣泛應用于生物、化學和物理等領域[1-6].由于應用背景廣泛并且分數階微分方程難以獲得精確解，故求其數值解尤為重要.目前有不同的數值方法用于求解Riesz空間分數階方程.Meerschaert等[7-8]應用移位的Grünwald-Letnikov公式逼近Riesz分數階導數，提出了無條件穩定的一階差分格式.Celik等[9]使用分數階中心差分公式近似了Riesz分數階導數，提出了無條件穩定的二階隱式差分格式.劉桃花等[10]研究了帶有分數階邊界條件的Riesz分數階對流擴散方程，他們利用分數階中心差分公式離散Riesz分數階導數, 對邊界條件中的左側Riemann-Liouville分數階導數使用標準的Grünwald-Letnikov公式離散.林海欣等[11]研究了帶左側Rieman-Liouville分數階導數邊界條件的對流擴散方程，他們利用分數階中心差分算子離散Riesz分數階導數,同時對于邊界條件則是使用加權和移位的Grünwald-Letnikov公式進行離散.尹修草[12]和曾寶思等[13]研究的分數階對流擴散方程中含有帶整數階的Robin邊界條件，利用中心差分公式離散Riesz分數階導數.古傳運等[14]推廣了含Rieman-Liouville導數的分數階微分方程的比較定理.

給定如下帶有分數階邊界條件的Riesz空間分數階對流彌散方程：

(1)

u(x,0)=q(x),0

(2)

(3)

(4)

定義中Γ(·)為Gamma函數.

本文主要討論β>0時的情況.

1 差分格式構造及理論分析

均勻剖分給定區域

(N，M∈Z+)分別為空間及時間步長，則xi=ih(i=0,1,…,N)，tm=mΔt(m=0,1,…,M).再令φi=φ(xi)，

Celik等[9]定義如下分數階中心差分算子：

(5)

其中

利用(5)式對(4)式在點(xi,tm)進行近似處理，即：

(6)

利用向后Euler差分近似一階時間導數，得：

(7)

林海欣等[11]利用加權和移位的Grunwald-Letnikov公式對(3)式中的分數階導數進行離散，得到

(8)

其中

在時間層t=tm(m=1,2,…,M)，及(6)-(8)式可以得到(1)-(3)式的如下隱式差分格式：

(9)

由此可知，差分格式(9)與原方程(1)-(3)是相容的.

(10)

將(10)式改寫成矩陣形式：AXm=Xm-1+Fm,1≤m≤M，其中

A是一個N×N系數矩陣：

定理1.1隱式差分格式(9)的解滿足存在唯一性.

證明結合引理1.1可知：

結合引理1.2可知，當i=N時，

即矩陣A是嚴格對角占優的，由其可逆性可得：差分格式(9)的解存在且唯一.

定理1.2差分格式(9)是無條件穩定的.

(11)

(12)

(13)

(14)

運用(14)式(m-1)次,得

‖εm‖∞≤‖εm-1‖∞≤…≤‖ε0‖∞.

(15)

由(11)-(15)式可以得到，差分格式(9)無條件穩定的.

證明由em的定義可以得到：

(16)

由引理1.2和Stirling定理，有

(17)

(18)

運用(18)式(m-1)次,得

(19)

由(16)-(19)式可以得到：

‖em‖∞≤C(Δt+h2).

通過(16)-(18)式可以知道差分格式(9)是收斂的，其收斂階為O(Δt+h2).

2 數值算例

考慮以下方程：

其中

初邊值條件為：

該方程的準確解是u(x,t)=e-tx2(1-x)2.這里β=1，α=1.5.

圖1 數值結果

表1 最大誤差和時間收斂階，其中

表2 最大誤差和空間收斂階，其中

表3 文獻[10]中的最大誤差和收斂階

3 結論

本文研究了帶有分數階邊界條件的一類Riesz分數階對流彌散方程，通過中心差分算子離散Riesz分數階導數，對右邊界點x=b處的分數階導數采用二階加權和改進的Grunwald-Letnikov公式離散，從而構造出隱式有限差分格式.理論分析了隱式差分格式解的存在唯一性、穩定性和收斂性，并通過數值算例驗證了差分法的可行性.