多孔模型設計方法

李 明，張乘虎，扈婧喬，胡心卓，劉繼凱

多孔模型設計方法

李 明1，張乘虎2，扈婧喬1，胡心卓1，劉繼凱2

(1. 浙江大學計算機學院，浙江 杭州 310058；2. 山東大學機械工程學院，山東 濟南 250012)

多孔模型質量輕，且具有優秀的力熱磁等復合性能。采用多孔模型有望突破傳統設計極限，獲得綜合性能優異的機械部件，滿足先進工業級產品對結構的極致物理性能追求。近年來，增材制造技術的發展與成熟，大幅推動了多孔模型的工業應用，多孔模型已經在航空航天部件、醫療器械等重要裝備或儀器中發揮出獨特且卓越的工業價值。因此，以多孔模型設計方法為落腳點，分別從基于幾何建模的多孔模型正向設計方法、基于拓撲優化的多孔模型逆向設計方法2方面闡述相關工作。前者論述了多孔模型的離散體素表示、連續參數表示、連續隱式表示、其他及混合表示等建模方法，后者論述了多孔模型微結構單元優化設計方法、多孔模型結構設計方法，并探討了2方面多孔模型設計的發展趨勢。

多孔模型；晶格結構；設計優化；拓撲優化；雙尺度設計；三維打??；數字材料

多孔模型在自然界中廣泛存在，如人類骨骼、鳥喙或植物莖等生物系統。經過數百萬年的自然選擇，這些結構在微觀尺度上表現出與宏觀外形截然不同的幾何形貌——形態各異的多孔單元在結構內部形成有序的分布。這些多孔模型能夠在相對較低的密度下，表現出卓越的結構性能，如更高的比強度和比剛度[1]、抗沖擊性[2]，抗阻尼性[3]，誤差容忍度[4]，抗屈曲性等，以及降噪、隔音、吸波等其他復合性能。采用多孔模型有望突破傳統設計極限，獲得復合性能優異的機械部件，滿足先進工業級產品對結構的極致物理性能的追求[5-6]。近年來，增材制造技術的發展與成熟，大幅推動了多孔模型的工業應用，多孔模型已經在航空航天部件[7]、醫療植入器械[8]、能量吸收保護裝置[9]等重要裝備或儀器中發揮出獨特且卓越的工業價值。

多孔模型設計，針對特定目標需求，在計算機中以數字化手段對模型的幾何外形進行精確定義，然后遵循特定物理規律對模型進行仿真測試，根據計算結果調整多孔模型的幾何結構，如此反復迭代，最終設計出滿足設計目標的多孔模型幾何結構。此設計過程總體可分為幾何建模、物理仿真和性能優化3個方面。其中，幾何建模采用某類設計參數精確表示和定義模型的幾何外觀；物理仿真根據模型材料分布和外部環境，預測其物理性能；性能優化將模型設計表述為數學優化問題，基于仿真結果迭代式地改進模型結構參數，最終達成設計目標。上述幾何建模、物理仿真、性能優化3個方面在多孔模型的設計問題中緊密耦合。多孔模型幾何形貌復雜，其巨大的設計和仿真自由度給多孔模型的數字化設計帶來巨大的挑戰。本文以多孔模型設計方法為落腳點，分別從基于幾何建模的多孔模型正向設計方法、基于拓撲優化的多孔模型逆向設計方法2個方面闡述部分相關工作。需要指出的是，這里的多孔模型指具有層次結構分布的復雜模型，在不同的領域也部分重疊與晶格結構、(多)層次結構、超材料等。此外，多孔模型設計交叉于計算機應用、機械工程、計算物理、計算材料等多學科，本文綜述主要從計算機輔助設計角度介紹相關研究與背景。

1 基于幾何建模的正向設計方法

幾何建模主要采用計算機輔助設計(computer aided design，CAD)技術，對模型進行直觀、精準、可控的幾何表示，以面向模型交互設計、可視化展示、加工制造和裝配等工業需求。傳統CAD技術發展相對成熟，可以設計幾何結構復雜的超大型機械模型。然而，多孔模型設計有別于傳統實體模型的單尺度建模，其耦合宏觀-微觀2個尺度上的幾何結構：多孔單元按一定分布嵌入于宏觀結構中。為此，多孔模型設計時，一方面需要考慮多孔單元模型幾何結構的表達方法，同時也需要考慮宏觀-微觀尺度上的耦合方法。

多孔模型建模，可以從不同角度進行觀察，根據孔單元分布，可以分為有序、隨機及半序；根據不同的幾何表示方法，可以分為離散體素表示、連續參數表示、連續隱式表示、其他建模方法及混合建模方法；考慮到表示形式很大程度上決定了多孔模型設計的質量、效率和方式，這里主要從此角度分別介紹，見表1。

1.1 基于離散體素建模的方法

在基于離散體素建模的方法中，多孔模型由定義在三維空間中規整體素網格上的密度分布所定義。這些離散點值明確地描述了多孔模型的幾何結構。這類基于體素的模型表示方法是拓撲優化(單尺度或雙尺度)領域主流且經典的表示方法，在多孔模型拓撲優化設計中被廣泛采用[10-11]；更多細節見第2節。

基于體素的多孔模型建模方法具有以下優點：

(1) 模型表達形式統一、自由，可直接表達任意復雜結構，可表達多孔單元或由其組合而成的整體多孔結構，亦可支持多材料模型或功能梯度模型[12]。

(2) 體素模型支持穩定高效的布爾運算，能夠通過直接的內外部判定，生成具有復雜宏觀外形的多孔結構[13]。

(3) 體素模型直接提供了性能仿真所需要的離散表示，實現多孔模型的性能仿真，避免了繁瑣且不穩定的體網格剖分過程。

表1 基于幾何建模的正向設計方法和模型匯總表

(4) 體素模型無需額外進行模型切片，即可直接生成增材制造所需的切片圖。

基于體素的模型表示的局限性同樣顯著：

(1) 體素模型對多孔結構的表示并不完備，其缺失了原結構重要的拓撲和幾何信息，使得基于更高層設計語義的幾何控制變得極為困難。如在拓撲優化中[10-11]，如何有效地控制所生成結構的有效性，添加懸角、尺度等工藝約束成為一個重要難題。

(2) 體素模型如采用基于矩陣描述的逐點紀錄方法，對規模大、分辨率高的模型，會產生龐大的結構數據，導致極高的存儲空間乃至不可行。采用先進的離散表示或層次樹結構，有望部分解決該問題。

(3) 目前的體素建模方法多面向三維空間中微結構呈周期性排布的多孔結構，如直接應用幾何隨形多孔結構以及負載自適應的多孔模型設計[8,14]，可能涉及體素單元的形變。

(4) 除此之外，體素模型的分辨率也是固定的，對于不同的3D打印儀器要求，其分辨率需要重采樣。

1.2 基于參數化建模的方法

參數化建模方法作為一種發展已久的主流計算機輔助設計方法，能夠對模型的特征進行顯式快速地更改，廣泛應用于基于特征的建模方法和主流CAD系統中[15]。

隨著計算機輔助設計技術和系統的發展，主流的商業CAD及計算機輔助工程 (computer aided engineering，CAE)軟件如Rhino和Hypermesh等已集成了一些參數化幾何原型作為其基本單元，如梁(beam)單元和桁架(truss)單元。一些研究基于這些基本單元表示多孔條柱，繼而構建整體的多孔結構。NGUYEN等[16]對西門子的NX CAD系統提出了一種保形多孔結構的設計方法。首先構建輸入CAD模型的隨形六面體網格，而后用規整單元下的多孔單元進行相應的嵌入式填充。LIU等[17]同樣在Hypermesh中采用了預先構建的多孔單元庫，設計復雜多孔結構。這些工作對多孔結構的設計受限于軟件已經集成的參數化原型，現有的CAD系統還無法提供高效的幾何參數化方法，難以直接對大規模非周期異質多孔結構進行高效表示[18]。

研究者們也很早就開始了多孔結構的參數化建模研究。WANG和ROSEN[19]研究了桁架結構的參數化建模方法，使用貝塞爾(Bezier)曲面來對桁架結構的表面進行逼近，并對其進行實體建模。然而，結構表面的分解和貝塞爾曲面的構造會耗費大量的時間。近年來對多孔結構參數化建模的研究致力于開發高效、易計算的參數化模型。GUPTA等[20]基于一種旋轉二次曲線(quadric of revolution)提出了一種簡易的多孔模型設計方法，并給出了該模型每個面的精確構造實體修剪(constructive solid trimming)表達式。隨后，該團隊進一步研究了如何對此種多孔結構進行可編程式構建[21]、精確的布爾操作、緊致的數據結構表示及查詢[22]、凸包[23]、空間變換等[24-25]。其中，文獻[25] 為這種建模方法提出了一種COTS(corner-operated tran-similar)映射方法，可以在恒定時間下高效查詢給定區域的點-晶格成員測試(point-in-lattice testing)和多孔結構的總面積和質量等。

此外，HONG和ELBER[26]提出了一種V-Rep模型，此模型通過函數復合進行多孔結構的精確水密構建，并采用一種三元形變函數實現了參數空間到物體空間的變換。該方法對多孔微結構的拓撲、幾何和材料屬性的控制擁有很高的自由度[27]，所構建的微結構表示可以與B樣條和等幾何分析兼容。

參數化建模方法也存在相應的局限性：

(1) 主要局限來自于其非魯棒的布爾運算，這也是經典CAD模型的一個歷史遺留問題[28]。

(2) 參數化多孔模型無法無縫地用于后續的優化過程，仍需要通過體網格劃分或轉換為體素后才能進行有限元分析，這一過程需消耗大量的時間且不穩定。

(3) 參數化模型的結構形狀對設計變量的靈敏度分析往往比較復雜。

1.3 基于隱式建模的方法

隱式建模和參數化建模都屬于連續建模方法，可定義多孔模型任意一點值。其中，隱式建模方法基于隱式函數來描述多孔結構的內外部。隱式函數是一種水平集函數(level set function)，其能夠對3D空間中的任意點返回一個標量值，以表征點與函數邊界之間的位置關系。相比較于參數化建模方法，隱式建模方法有諸多優點：

(1) 容易構建自由、光滑的多孔模型，很適合描述復雜自然的多孔模型。

(2) 隱式表示可以通過函數復合高效精準的定義模型間的布爾運算，此基于體的描述方式在布爾操作時非常魯棒。

(3) 隱式建模易于通過函數復合實現過渡和變形等常規幾何操作，很適合復雜多孔模型穩定建模。

由于這些獨特的優勢，隱式表示為增材制造設計軟件公司nTopology所全面采用[29]。隱式建模的主要缺點是精準幾何控制比較困難，在進行模型繪制時一般需要轉換為離散的STL格式完成。

鑒于這些優勢，隱式函數被研究者們廣泛應用于多孔結構的幾何表示中，用于定義多孔模型的不同形式的隱式函數被持續提出。WATTS和TORTORELLI[30]提出了一種將三維多孔條柱隱式化的方法，其中每個條柱都被表示為一個類圓柱結構，同時還提出了一種幾何映射方法，將多孔幾何平滑地映射到一個連續密度場上。KAZEMI等[31]將該方法拓展到二維多材料多孔結構的逆均一化設計中。PANETTA等[32]使用隱式有向距離場來表達多孔條柱，其能構建具有梯度半徑的多孔條柱，并為條柱的連接提出了一種局部有效的過渡操作。MUSTAFA和LAZOGLU[33]基于二次圓錐曲線為非均質多孔條柱的表示提出一種新的形式以及對應的直接切片方法。LIU等[34]和DING等[35]提出了基于隱式表示的內存高效的大規模多孔結構建模方法，其中，文獻[34] 使用卷積曲面來表達多孔模型的幾何結構。

三重周期最小曲面(triply periodic minimal surfaces，TPMS)是一種特殊的隱式曲面，具有，，軸上三向的周期性，平均曲率始終為0，且具有高孔隙率、表面積大的特點。YOO[36-37]早期即開始了系統的TPMS設計研究，如通過距離場引導的異質多孔模型、多尺度混合TPMS模型等。其他一些工作常使用原始或修改后的TPMS單元作為多孔結構的基本構建單元。AL-KETAN等[38]使用TPMS族中的G類和D類作為基本微結構單元，在不同的相對密度，晶胞尺寸和外形下研究其力學性能。YAN等[39]采用形變的TPMS單元定義模型內部填充結構，并采用局部優化的方法使得多孔模型具有更優秀的力學性能。HU等[40]使用TPMS單元設計了一種處處光滑連接的新型多孔殼結構，并且基于TPMS函數來進行結構的表示、分析、優化和存儲。LI等[41]提出了一種擴展的TPMS表示方法，使用一種連續的空間變化函數來控制TPMS結構中單元的異質性。

就局限性而言，TPMS單元幾何結構復雜，在多孔結構設計中，其幾何形態難以被顯式控制。同時，涉及隨形和大規模TPMS的研究工作仍然較少。

1.4 其他及混合建模方法

研究者們也考慮其他建模方法或結合多種幾何表示方法來實現對多孔模型的表示和建模。

Voronoi圖適合用于生成非周期多孔結構。Voronoi圖亦稱為泰森多邊形，由一組連接兩鄰點直線段的垂直平分線所構成的連續多邊形組成[42-43]。LU等[44]通過在模型內部構建Voronoi剖分，并從內部挖孔形成了力學優化的閉孔模型；作者又進一步提出了各向異性模型[45]、開孔模型[46]。針對多孔模型存儲量大，建模復雜的挑戰，MARTíNEZ等[47-48]提出了過程式Voronoi多孔模型(procedural voronoi foams)。該模型可在打印過程中，依據所需要的屬性分布，逐步生成多孔模型切片。其具有輕量的數據結構表示，并且非常易于生成梯度化的結構并具有優秀的可打印性。如何在滿足力學性能要求的情況下，構建適合的Voronoi剖分，并指導模型構建，對多孔模型設計具有重要意義。為此，STANKOVI?和SHEA[49]考慮4種不同多孔單元來進行設計，而FENG等[50]通過巧妙的隱式函數表示，構建了可微分且具有局部可控性的各向異性Voronoi多孔結構。該方法的一個主要局限是模型邊界呈復雜曲線結構，且難以直接拓展到三維情形。整體而言，基于Voronoi剖分指導單元設計，是一種頗具潛力的多孔模型建模方法。該方法的一個明顯優勢是很容易適配自由外形，但其單元結構相對不統一，控制難。此外，傳統均一化仿真方法也不直接適用于此類異質模型。

具有多孔特征的rank-N微結構被認為是可以實現特定本構屬性的最優解[51]。其中，最少鋪層參數取決于設計問題的分析維度及載荷數目。如，rank-2和rank-3結構[52]分別對應于平面問題中的單載荷工況和多載荷工況。然而，將rank-N微結構應用于多尺度結構設計通常需要特定的尺度分離假設，這導致其可制造性存在困難。近年來，PANTZ和TRABELSI[53]及GROEN等[54-55]提出并發展了一種被稱為“De-homogenization”的設計方法，將rank-N微結構對應的設計結果轉化為更具可制造性的高分辨率多孔結構。

研究者們也使用混合方法對多孔微結構進行建模。PANETTA等[56]提出了一種面向增材制造的多孔微結構設計方法。其通過在一個48對稱的四面體單元內以一定的規則采樣拓撲生成規整單元下的完整拓撲，并基于多孔微結構的完整拓撲生成對應的四面體網格模型。而WANG等[57]從模型輕量化打印出發，提出了一種多目標驅動下的迭代優化方法，將3D模型表達為蒙皮包裹的內部桁架結構，在大幅減少了打印材料的同時優化設計了打印件的物理穩定性和可加工性。后續，上述作者又提出了一種免支撐的中空結構設計框架[58]，有效免除了對支撐結構的需求。CHEN等[59]則在高分辨率單位方格下進行體素采樣，得到連通的體素后再提取骨架，并進行參數化建模。WANG等[60]提出了一種用于大規模共形多孔結構的混合幾何建模方法。首先構建每個單元結構的實體模型(BRep)，然后根據得到的實體模型生成單元結構的多邊形網格。通過組裝所有晶胞的面網格，可以得到整體結構的幾何模型。該方法使用多種不同類型的多孔結構，包括規則多孔結構和幾何隨形多孔結構，但對具有復雜參數分布的大規模多孔結構，該方法構建對應實體模型的效率較低。CHOUGRANI等[61]對多孔結構提出了一種輕量化的三角網格劃分算法，其中使用一種參數化的圓柱多孔模型來表示多孔幾何，還使用鄰接圖來定義多孔結構的拓撲。也有作者采用復雜曲線或特殊單元結構進行多孔結構設計。如，文獻[62] 采用Escher形狀來進行模型表面曲面的填充，而文獻[63] 基于棱鏡形單元，通過曲面細分完成多孔結構的內部填充設計。HU等[64]提出了一種基于給定紋理生成自適應設計域的優化方法，可用于特定紋理多孔結構模型的生產。在不同的載荷條件下，不同填充結構的三維模型可具有各不相同的結構性能。XU等[65]提出了一種基于分層結構的新型輕質填料結構。其所提出的填充結構的層連續周期性地在三角形和六邊形之間變換，并且在不同的加載條件下具有相當的結構性能。

面向復雜外形結構，多孔模型設計往往需要滿足隨形設計需求。此復雜外形結構，難以采用規整的六面體單元進行直接填充。為實現宏觀、微觀結構的外形匹配，一般通過裁剪操作完成[66]，由此常導致邊界單元結構不完整，單元與邊界處連接不光滑等問題。通過共形映射，可以將每個多孔單元通過形變嵌入宏觀結構，使緊密貼合模型外形結構[67]，并且可通過幾何或物理場，如應力[68]，進一步實現多孔單元設計參數的調控。然而，該方法需要首先對整體模型進行參數化處理，而其本身就是一個非常復雜的研究問題；多孔單元嵌入過程中也常會導致單元形變，影響模型質量。

整體而言，混合幾何方法對多孔結構的表示更加完備，一些包含參數化模型的方法也能兼容于現有的CAD系統。然而，混合表示由于包含大量的面網格、體網格或者體素單元而很難對模型的局部特征進行修改，同時建模的時間也往往較長。

1.5 評價與展望

多孔模型正向設計，類似傳統計算機輔助設計技術，基于幾何建模方式完成。其中，體素表示自由、統一，便于仿真計算，也是拓撲優化領域所采用的主流表示方法，但其實現光滑建模需要很高的模型分辨率，存儲量大。參數多孔表示與主流CAD軟件表示相統一，但也面臨著建模復雜度高、不穩定的挑戰。隱式表示容易構建自由、光滑的多孔模型，易于幾何操作，如過渡和變形，很適合多孔模型建模。隱式建模的主要缺點是精準幾何控制比較難。如何充分吸收各表示優勢，處理超大規模模型，值得進一步挖掘。這些模型也常轉化為三角面網格，其目前仍是工業主流的多孔模型表示方法，被增材制造建模軟件Materialize采用[69]，自由簡單，但存儲量大，缺乏幾何控制參數。

對多孔模型設計而言，需考慮廣泛的設計空間、有效的幾何控制參數、易于與后續的仿真優化集成3個方面，即：

多孔模型設計需要覆蓋廣闊的設計空間，同時具有直觀的幾何控制參數。理想情況下，采用足夠精細的空間采樣，足以充分表達任何復雜的多孔模型，但缺乏高層設計語義，導致難以實現有效的幾何控制。如考慮基于各向異性的彈性張量的多孔描述，設計參數從一維標量變為高維四階張量，設計維度增加，能夠進一步探索結構所能達到的極致物理性能，卻導致設計空間過于廣泛，對于極端屬性的彈性張量難以找到匹配的微結構。具有充分表達能力的設計空間，應該直接從多孔模型的幾何信息出發，顯式地描述模型的拓撲與幾何分布，脫離底層單元的依賴性。在此方面，仍需要更多的研究工作。

此外，多孔模型的建模同時需要考慮后續仿真及優化需求，實現設計-仿真-優化一體化將大幅增強多孔模型的設計能力。并可避免復雜的網格剖分，進行高效高精的性能預測，同時可直接優化模型的設計參數，由此，有望避免傳統CAD/CAE一體化的難題，提升多孔模型設計效率。

2 基于拓撲優化的逆向設計方法

多孔模型設計的另一種方法是采用仿真驅動的自動化設計，其多在體素模型表示的基礎上，通過單尺度或雙尺度的自由拓撲優化完成。本文進一步從2方面描述：微結構單胞優化和多尺度結構優化。

由特征參數確定的點陣微結構，其設計變量通常為各個桿的有無、位置、粗細等，而自由拓撲微結構以整個代表性體元空間為設計域，根據設計需要，在設計域內自由分配材料，如圖1所示。因此，相較于點陣微結構，自由拓撲微結構的設計域更加廣闊，結構形式更加復雜，進而可實現更豐富的功能和屬性。然而，設計域的擴展帶來了更具挑戰性的設計問題，宏觀尺度拓撲優化方法向微觀設計域的擴展成為過去10年的研究熱點。

微結構的宏觀等效屬性，可通過均勻化方法計算評估。相對應的，在某種等效屬性設計目標的驅動下，基于拓撲優化方法尋找微結構單胞最優構型的方法通常稱為逆向均勻化方法(inverse homogenization)，且該方法也是宏微結構一體化設計的支撐技術。

圖1 點陣微結構和自由形式微結構

2.1 微結構單胞優化

逆向均勻化方法于1994年由丹麥科學家SIGMUND[70]提出，通過拓撲優化得到了具有特殊屬性的微結構單胞，如宏觀等效泊松比為–1的微結構。之后，學界開展了大量優化算法研究，致力于設計具有極限屬性或特殊屬性的微結構單胞，即機械超材料。

如圖2所示，關于具有極限屬性的微結構單胞拓撲優化，研究主要集中在最大化體積模量、剪切模量等力學屬性，或最優化熱、流、電等物理屬性，同時，輕質化也是微結構單胞的設計要點，通常以材料用量約束的形式予以實現。部分代表性研究如，SIGMUND[71-72]和VIGDERGAUZ[73]優化了具有最大體積模量的二維和三維微結構。SIGMUND和TORQUATO[74]提出了最大化熱膨脹系數的三相多材料微結構單胞設計方法。GUEST和PRéVOST[75]以剛度和流體滲透性為優化目標，實現了多功能屬性的微結構單胞優化設計。SILVA等[76-77]提出了在剛度和結構對稱性約束下，微結構單胞壓電性能的設計方法。CHALLIS等[78]以剛度與熱傳導性為優化目標，實現了三維各項同性微結構單胞的優化設計。ZHANG等[79]基于能量均勻化方法，實現了二維和三維微結構單胞剛度的拓撲優化設計。HUANG等[80]基于雙向漸進結構優化設計方法(bidirectional evolutionary structural optimization)，分別以體積模量和剪切模量最大化為優化目標，實施了二維和三維微結構單胞的優化設計。之后，學者們[81–84]先后發表了一系列關于微結構單胞優化的教育性論文，極大地促進了微結構優化研究領域的進程。

除了以極限屬性為目標的微結構單胞優化，設計具有特殊屬性的超材料微結構單胞也是研究領域內的熱點，相關研究主要圍繞泊松比和熱膨脹系數展開。較早的，文獻[71-72,74] 等實現了零泊松比、負泊松比以及零熱膨脹系數和負熱膨脹系數的微結構單胞拓撲優化設計。后續，WANG等[85]提出了基于水平集優化方法的負泊松比微結構拓撲優化設計方法，并探究了不同初始設計對優化結果的影響。VOGIATZIS等[86]實現了基于水平集拓撲優化方法設計的多材料負泊松比微結構。WANG等[87]基于超彈性材料有限元模型，通過數值計算評估微結構在拉伸測試中的軸向與橫向應變響應，實現了大變形條件下的負泊松比微結構拓撲優化設計。

圖2 極限屬性微結構設計，體積約束為50%，楊氏模量為1，泊松比為0.3 ((a)最大體積模量二維微結構；(b)最大剪切模量二維微結構；(c)最大體積模量三維微結構)

上述工作實現了眾多新穎的機械超材料微結構單胞設計，但優化結果主要以數值計算進行評估，較少融合加工工藝約束，缺乏針對設計結果的制備研究與試驗驗證。

1997年，LARSEN等[88]使用激光微加工，率先實現了優化設計負泊松比微結構的制備，并對其進行了試驗測試。然而，正如文獻[88] 報道的，該加工方式應用面窄，僅限于二維微結構的制造。近年來，增材制造技術的快速發展解決了復雜拓撲結構的制造問題，諸多具有極限屬性或特殊屬性的微結構單胞拓撲造型得到了試驗驗證。同時，融合實際加工可制造性約束也逐漸成為微結構單胞拓撲優化算法研發的必須考量要素。

ANDREASSEN等[89]實施了泊松比為–0.5的三維微結構單胞設計，使用魯棒性過濾和閾值投影方法，實現了優化過程中結構的最小尺寸控制，并通過增材制造和壓縮試驗，驗證了優化結果的可制造性和微結構的等效負泊松比屬性，如圖3(a)所示。CLAUSEN等[90]實現了大變形條件下指定負泊松比微結構的拓撲優化設計，通過3D打印樣件，試驗驗證了持續加載情況下的穩定負泊松比系數，相關設計結果如圖3(b)所示。DU等[91]基于能量均勻化的方法，以最大剪切模量為優化目標，實現了六邊形微結構單胞的拓撲優化設計，解決了傳統六邊形單胞剪切性能弱的問題。通過壓縮試驗，驗證了該方法所設計六邊形微結構的高抗剪和超承載性能。ZHANG等[92]使用水平集拓撲優化方法，以剛度最優為目標，實現了具有光滑曲面的微結構單胞設計，并通過選擇性激光熔化(SLA)增材制造工藝打印試樣，試驗結果表明，相對于其他參數化點陣結構[93–97]，拓撲優化設計的微結構具有顯著更優的相對彈性模量。WU等[98]基于拓撲優化方法實現了五模超材料(pentamode metamaterials)的設計與增材制造加工，相關制備樣件如圖3(c)所示。該項工作通過約束等效彈性矩陣中元素之間的關聯關系實現了微結構五模屬性的量化調控。

圖3 超材料微結構設計及增材制造加工((a)負泊松比三維微結構[89] ；(b)考慮大變形的負泊松比二維微結構[90] ；(c)五模超材料微結構[98] )

2.2 多尺度結構設計

微結構構件的多尺度設計通常以尺度分離為假設，對宏觀結構進行網格劃分及拓撲變量定義，以有限單元為單位進行微結構的定義與優化，利用計算均勻化方法實現宏微結構的關聯。自由拓撲微結構單胞優化與多尺度結構優化具有相似的特征——周期性邊界條件始終是微結構有限元分析所需要遵循的，這是保證形成周期性微結構特征的關鍵。而這2類優化問題的差異在于，多尺度構件設計不再以單胞的某種屬性或特性為優化目標，而是以宏觀結構的整體力學響應為優化目標，因此，多尺度設計中的微結構是適應宏觀結構載荷的產物，每個局部的微結構單胞均可能存在幾何差異，如圖4所示。顯然，微結構構件的多尺度設計對于單胞優化更具挑戰性，本節主要從均質微結構填充和異質微結構填充相關2個角度對多尺度拓撲優化相關工作展開論述。

圖4 L形梁基于不同微結構的優化結果 ((a)均質微結構；(b)異質微結構[99] )

2.2.1 均質微結構填充

均質微結構填充的基本假設是宏觀構件僅由一種微結構周期性排列形成。最早的，FUJII等[100]僅考慮宏觀結構邊界條件對微結構構型的影響，在宏觀結構固定的情況下，實現了對構件微結構拓撲造型的優化，后續也通過BESO方法實現了類似的設計思路[101]。進一步地，XIE等[102]研究了微結構單胞周期性次數的收斂性，結果表明，當微結構周期性循環大約8次以上時，通?？梢赃_到很好的收斂性。LIU等[103]基于數值與試驗結合的方法，探究了最小尺寸控制對于周期性循環次數收斂性的影響。進一步地，為了實現宏觀結構與微結構構型協同優化，LIU等[104]提出了多孔各項異性懲罰方法(porous anisotropic material with penalization，PAMP)。在相似的工作框架下，該方法也被拓展到固有頻率優化[105]、載荷不確定的穩健性優化[106]及熱力載荷耦合優化[107]。YAN等[108]和WANG等[109]分別基于BESO方法和水平集拓撲優化方法實現了宏觀拓撲結構與微結構構型的協同優化設計。后續，ZHAO等[110]介紹了一種基于應力約束的宏微并行拓撲優化方法?？紤]到增材制造中自支撐性，ZHAO等[111]提出了在多尺度拓撲優化框架內構建自支撐結構的方法。通過基于相對位置的宏元素區分來彌合2個尺度上自給自足需求之間的差距，最終在雙尺度拓撲優化框架內生成一個完全自支撐結構的方法。

以上工作考慮宏觀結構中僅存在一種周期性微結構，一定程度上限制了設計空間，但這類工作依然具有顯著的優勢。由于結構僅由一種微結構周期性排布，且在微結構有限元分析中施加了周期性邊界條件，因此相鄰微結構間具有優異的幾何連接性。同時，該類優化模型簡單，數值計算規模小，大型構件的均質多孔結構填充設計具有可觀的應用前景。

2.2.2 異質微結構填充

為實現更優的結構性能，以異質微結構對宏觀構件進行填充是進一步擴展設計空間的有效手段。RODRIGUES等[112]率先實現了異質微結構填充的多尺度構件設計，在這項工作中，首先優化結構中每一個宏觀單元的密度，之后基于優化結果設置每個單元內微結構單胞的體積分數上限，進而優化每個單元內微結構的拓撲構型?；谙嗨频膬灮蚣?，該類優化問題也被擴展到三維結構[113]。為了實現宏觀結構與局部微結構的協同優化，XIA和BREITKOPF[114]建立了基于FE2的非線性多尺度優化框架，然而，由于結構每一位置處的微結構優化需要大量的并行計算，計算成本急劇增加。為此，XIA和BREITKOPF[115]在后續工作中以微結構單胞數據庫及代理模型高效地替換了FE2多尺度優化框架下的大體量均勻化計算。

早期的異質微結構構件拓撲優化方法為后續研究提供了重要的啟發性思路，但隨著多尺度構件從概念性設計走向應用層面，早期方法在微結構連接性、構件可制造性等方面的不足逐漸顯現，并引發了大量的相關研究。這里，將總結2類被重點關注的方法。

(1) 采用分區域優化策略。其基本思路是根據宏觀載荷分布特征，將構件劃分為若干區域，每一區域由相同構型的微結構進行填充。文獻[99] 將宏觀結構按幾何特征劃分為若干區域，進而針對每一分區的微結構拓撲構型進行了宏微并行的協同優化設計。XU和CHENG[116]提出了以主應力方向為依據的分區策略，而QIU等[117]在此基礎上，同時考慮第一主應力和第二主應力的比值，提出了應力狀態驅動的動態分區方法。然而，以上工作需設置統一的微結構體積分數，未實現變密度填充效果，無法對變化的承載需求做出響應。LI等[118]提出了一種基于宏觀單元密度分區的層級優化策略，以單一分區存在唯一微結構為假設，實現了宏觀結構與微結構拓撲構型的并行優化。LIU等[119]和GAO等[120]分步驟實現了變密度微結構構件的優化設計，即首先優化宏觀單元密度，以密度為指標對有限單元進行分簇，最終針對每一分簇的關聯微結構進行并行拓撲優化。后續，這種方法也被拓展到頻響結構的拓撲優化設計[121]。XU等[122]采用類似的密度分區多步優化方法，利用界面抽殼技術在不同微結構域之間添加實體層，以此解決了不同微結構之間的連接性問題，相關設計結果如圖5(a)所示。綜上，密度分區和主應力分區均可實現較優的多尺度結構設計效果，但兩者的融合預期效果更佳。為此，ZHANG等[123]提出了一種綜合考慮局部承載量級及主應力狀態的結構分區策略，以此實現的多孔構件拓撲優化設計經數值計算及試驗驗證，呈現了相較于單一分區指標的顯著力學性能提升，相關設計結果如圖5(b)所示。類似地，TYBUREC等[124]以宏觀結構優化結果中的彈性張量參數驅動單元分區，實現了優異的多尺度結構聚類優化設計。

圖5 基于不同分區策略所實現的多尺度拓撲優化案例((a)簡支梁設計結果[122] ；(b) Michell結構設計結果[123] )

(2) 以具有相同或相近拓撲構型的變密度微結構對宏觀構件進行功能梯度填充，以此實現多尺度結構的宏微一體化設計。該類型方法的顯著優勢是相同或相似的拓撲構型保證了異質微結構間的幾何連接性，而研究難點在于如何在優化過程中保持微結構間的拓撲相似性。如，CRAMER等[125]預優化了一系列具有最大體積模量的異質微結構，通過構建微結構密度與等效屬性的代理模型，實現了變密度微結構構件優化設計。相似的優化框架也被后續的工作[126-128]所采用，然而，以上工作中微結構構型的預優化脫離于構件真實工況的特定邊界條件，預優化微結構的選型對最終優化結果影響巨大。為此，WANG等[129]以水平集函數描述微結構拓撲構型，通過建立水平集函數與等值面切割水平的協同優化方法，實現了微結構構型與密度分布的并行優化，如圖6(a)所示。在此工作的基礎上，ZONG等[130]通過在單元節點上定義切割水平變量，實現了具有更優異連接性的二維和三維功能梯度微結構構件的優化設計。以SIMP法為基礎，LI等[131]采用腐蝕-膨脹算子獲得了一系列具有相似拓撲的變密度微結構，并據此實現了宏微并行設計，如圖6(b)所示?？傊?，這類優化策略的核心在于運用具有相似幾何特征的一系列梯度微結構進行構件填充，而特征相似性為確保微結構間的連接性提供了保障。

除了上述2類被廣泛研究的設計方法，微結構之間的連接性也是學者們關注的重點。ZHOU和LI[132]通過定義實體非設計域保證了相鄰微結構間的連接性。這種方法被廣泛應用于自由拓撲微結構構件的多尺度設計[117-118]。DU等[133]以相鄰微結構單胞在連接域附近的對稱性定義了連接性指數，并將其作為約束引入多尺度拓撲優化算法中，實現了鄰接微結構間的連接性。文獻[126] 提出了微結構單胞結合法，即在優化過程中綜合考慮當前單胞屬性及其與鄰接單胞的組合體屬性，通過加權優化達到單胞性能設計與微結構連接性設計的平衡。HU等[134]提出了類似的加權優化策略，通過提取當前單胞與鄰接單胞的中間域來加權計算當前單胞的等效屬性，進而確保了異構微結構間的連接性。LIU等[135]通過在微結構單胞邊緣處定義連接域，并設置所有微結構共享相同連接域的方法來保證微結構連接性。與設置非設計域不同的是，該方法將連接域的材料分布融合到微結構優化中，進一步提升了設計空間。

圖6 具有相近拓撲構型的變密度微結構設計案例((a)基于水平集方法的梯度微結構的形狀映射模型[129] ；(b)基于變密度法的腐蝕-膨脹技術[131] )

2.3 評價和展望

本節針對自由拓撲微結構的優化設計，詳細梳理了微結構單胞設計與多尺度構件設計2個方面的研究工作。同時，對于這種設計方法給出評價及展望。

對于微結構單胞設計，基于拓撲優化和逆向均勻化方法，可經過嚴謹的科學計算，實現一定約束下具有最優屬性或定制化屬性的微結構設計，這種設計方法已成為機械超材料設計的有力工具。對于自由拓撲微結構構件的多尺度設計，如果僅以構件力學性能為設計目標，其優勢并不顯著。如，考慮一定體積約束下的柔度最小化優化問題，具有相同設計自由度的單一尺度優化方法可以獲得更優的結果。因此，可認為多尺度方法的發展優勢在于多孔微結構構件的設計能力及潛在多功能屬性的充分探索。

相較于第1節所論述的基于幾何建模的設計方法，自由拓撲微結構構件在優化設計空間上顯然更具優勢，但無論基于體素或參數化的周期性結構拓撲建模，均與傳統CAD/CAE系統的幾何建模數學方法有所偏差，控制變量數目巨大，致使大規模拓撲優化問題與CAD/CAM系統的融合極具難度，優化后模型的高效存儲、編輯、加工預處理均是目前的研究難點。另一方面，自由拓撲微結構的優化設計脫離于幾何模板，無規律分布的大量微桿和微孔特征給增材制造帶來挑戰，優化算法需要對殘余應力約束、最小尺寸控制、最小曲率約束、自支撐約束、微結構連接性約束等予以充分考慮。

當前微結構拓撲優化領域內的多數工作以小變形假設下的柔度最小化問題為出發點，側重于優化策略和幾何控制方法的創新，缺乏對于強度約束，材料與幾何非線性，和動力學等問題的深入研究，而這些問題在工程應用中頗為重要。因此，向更深層次力學模型的拓展是自由拓撲微結構構件優化設計方法的一個重要發展方向。

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Methods of porous structure design

LI Ming1, ZHANG Cheng-hu2, HU Jing-qiao1, HU Xin-zhuo1, LIU Ji-kai2

(1. School of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310058, China; 2. School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan Shandong 250012, China)

The porous models are of light weight and excellent composite mechanical, thermal, and magnetic properties. They are expected to break through the traditional design limit, to obtain mechanical parts with excellent comprehensive performance, and to meet the extreme physical performance pursuit of advanced industrial products. In recent years, the development and maturity of additive manufacturing technology have boosted the industrial applications of porous models, playing a unique and outstanding industrial role in aerospace components, medical devices, and other important equipment or instruments. This review focused on the design method of porous model, and described the related work from two aspects: the forward design method of porous model via geometric modeling and the reverse design method of porous model via topology optimization. In case of the former, the porous model modeling methods were discussed, such as discrete voxel representation, continuous parameter representation, continuous implicit representation, others and mixed representation, while the latter was expounded on in terms of the optimization design methods of porous microstructure units and the overall porous model structures, as well as the trend of porous model design from these two aspects.

porous structures; lattice structures; design optimization; topology optimization; biscale design; 3D printing; digital materials

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061034

A

2095-302X(2022)06-1034-15

2022-08-06；

：2022-10-31

國家自然科學基金項目(61872320)

李 明(1977-)，男，副教授，博士。主要研究方向為CAD/CAE一體化、數字材料、智能設計等。E-mail：liming@cad.zju.edu.cn

劉繼凱(1987-)，男，教授，博士。主要研究方向為有限元基礎理論與應用、固體力學與結構拓撲優化、計算設計與制造等。 E-mail：jikai_liu@sdu.edu.cn

6 August，2022；

31 October，2022

National Natural Science Foundation of China (61872320)

LI Ming (1977-), associate professor, Ph.D. His main research interests cover CAD/CAE integration, digital material, intelligent design, etc. E-mail：liming@cad.zju.edu.cn

LIU Ji-kai (1987-), professor, Ph.D. His main research interests cover theory and application of FEA, solid mechanics and structural topology optimization, computational design and manufacturing, etc. E-mail：jikai_liu@sdu.edu.cn