I-WP型極小曲面空心多孔結構設計與力學性能分析

杜義賢，孫鵬飛，付君健,2+，田啟華,2，周祥曼,2，陶 然

(1.三峽大學 機械與動力學院，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學 水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002；3.長江三峽通航管理局，湖北 宜昌 443002)

0 引言

多孔結構具有優越的力學性能[1]和良好的減震及吸能效應[2-3]，且結構類型繁多[4-5]，其周期性分布的點陣結構可作為新型機械防撞結構的優良載體，在船舶、航天及車輛等領域具有廣泛的應用。例如，船舶過閘與閘門發生碰撞將對人員、設備和航道產生巨大的安全威脅，且閘門檢修時間長、費用高。因此，設計和安裝防撞系統對閘門的安全防護具有重要意義。理想的防撞系統要求防撞結構具有高能量吸收率和一定的承載能力，對結構進行創新性設計可有效滿足防撞結構的力學性能需求。

三周期極小曲面是平均曲率為零的曲面，作為新型多孔結構，由特定數學函數描述[5-6]，可設計性強，受到國內外研究人員的廣泛關注。由于其優良的承載能力、吸能特性[7]、導熱性和導電性[8]，在多功能承載、抗沖擊、熱交換、電力傳輸等領域具有較好的應用前景。增材制造技術的發展解決了多孔結構的制造難題，推動了三周期極小曲面多孔結構性能特性的研究?；谌芷跇O小曲面的可設計性，采用梯度設計和混合設計，可實現三周期極小曲面多孔結構的創新設計。例如，在三周期極小曲面函數中引入線性函數，可生成梯度多孔結構，相比于均勻多孔結構，具有更優的吸能特性[9]。不同類型三周期極小曲面之間的混合設計，可構成具有新型結構特征的多孔結構。在各向同性屬性條件下，混合型三周期極小曲面多孔結構的彈性性能較其單一多孔結構更優[10]，且體積模量更逼近Hashin-Shtrikman理論極限[11]。綜上可知，梯度設計和混合設計可有效獲得新型多孔結構，但梯度設計側重于提升結構吸能特性，混合設計則側重于提升多孔結構整體性能。

空心設計屬于一種多孔結構的混合設計方法，以多孔結構為基礎結構，去除內部材料，得到了空心多孔結構[12]，且其壓縮和剪切強度優于多孔結構。例如，體積分數為0.3%～5.8%的金字塔空心多孔點陣結構的壓縮和剪切強度可達相同體積分數多孔點陣結構的3倍～5倍[13]。對于結構面外壓縮強度，空心多孔結構是相同體積分數下多孔結構的兩倍以上[14-15]?？招亩嗫捉Y構的高性能取決于其幾何特征，由于其具有大量的細長構件和曲面特征，在受到外壓力時，其失效機制轉變為屈曲失穩，而結構的屈曲失穩極限取決于其幾何構型。相對于相同體積分數的多孔結構，其空心多孔結構的界面慣性矩更大，具有良好的抗屈曲性能[16]。此外，空心多孔結構因內部空間較大，在受到沖擊載荷時能吸收更多的能量[9,17]。由以上研究可知，空心設計可有效提升多孔結構的力學性能和吸能特性。

目前，三周期極小曲面多孔結構力學性能的研究側重于Gyroid型多孔結構，而對其他類型三周期極小曲面多孔結構的研究較少。I-WP型三周期極小曲面多孔結構具有高剪切模量，但其壓縮強度相對較低[18]，吸能特性研究較少。因此，開展I-WP型三周期極小曲面空心多孔結構設計和力學性能研究，提升其壓縮強度和吸能特性，有助于豐富極小曲面多孔結構的力學內涵與工程應用。本文設計了I-WP型空心多孔結構，采用數值均勻化法[19]、有限元法和物理實驗方法，研究了空心多孔結構的等效屬性、靜態力學性能、壓縮和吸能特性。

1 I-WP型空心多孔結構設計

本文基于I-WP型極小曲面進行空心多孔結構設計。I-WP型極小曲面屬于體心立方結構，呈現出中心收縮，空間上向8個頂點伸出支撐。I-WP型極小曲面具有如下優點：①結構可設計性強，具有較高的比強度[20]；②增材制造工藝性好，具備自支撐能力，便于清除粉末。

極小曲面的數學表達式是一種三維隱式水平集函數[18]，在I-WP型極小曲面函數中引入水平參數t，可控制I-WP型極小曲面體積分數的變化。

(1)

式中：L為極小曲面單胞的邊長，F(x,y,z)為極小曲面數學表達式，x，y，z為高維空間的物理坐標。對于I-WP型極小曲面，-25≤t1≤15，對應體積分數為0～1。

根據水平集函數的定義，可得到極小曲面的實體區域。

(2)

式中：Ω表示曲面實體區域，?Ω表示曲面邊界，D表示包含實體區域和曲面邊界的空間，I-WP型極小曲面多孔結構如圖1所示。

為了設計I-WP型空心多孔結構，定義兩個I-WP型極小曲面，水平參數分別取t1和t2，得到如圖2a和圖2b所示的兩個極小曲面多孔結構。將兩個極小曲面多孔結構作為基礎結構，通過差集布爾運算，得到I-WP型空心多孔結構FH的數學表達式。差集布爾運算的數學表達式[21]為式(3)，布爾運算過程如圖2所示。

FH=min(F(x,y,z,t2),-F(x,y,z,t1))。

(3)

在布爾運算中，令t2

由于極小曲面在空間3個方向上都滿足周期性，通過陣列可得到更多周期數量的極小曲面多孔結構，如圖4所示為體積分數為0.25的4×4×4均布多孔結構。

2 多孔結構彈性性能分析

2.1 有限元分析

為了對比分析I-WP型空心多孔結構與基礎結構在線彈性范圍內的壓縮強度，分別對體積分數為0.25、0.4、0.6，幾何尺寸為10 mm×10 mm×10 mm的I-WP型空心單胞和基礎結構單胞進行有限元仿真分析。結構材料為PA2200，彈性模量為741 MPa，泊松比為0.3，屈服強度為54 MPa。如圖5所示，單胞下表面約束，上表面施加均布載荷，采用四面體單元進行網格劃分。

為保證仿真結果的準確性，將多孔結構水平集函數導出為STL模型，對表面進行光滑處理，生成規整的表面網格。每種體積分數的多孔結構進行10組仿真實驗，載荷施加方式如下：當體積分數為0.25時，載荷初始值為10 N，每次以10 N遞增；當體積分數為0.4時，載荷初始值為50 N，每次以50 N遞增；當體積分數為0.6時，載荷初始值為200 N，每次以200 N遞增。

體積分數為0.25、0.4和0.6時初始載荷作用下的應變云圖如圖6所示，由圖6可知，I-WP型空心多孔結構的變形更小。圖7所示為空心多孔結構和基礎結構在體積分數為0.25、0.4和0.6時的應變—載荷圖，由圖7可知，在線彈性范圍內，結構應變與載荷呈線性關系。在相同靜態載荷下，I-WP型空心多孔結構的應變值明顯小于相同體積分數的基礎結構，且I-WP型空心多孔結構的應變—載荷曲線的斜率更小，說明I-WP型空心多孔結構具有更好的抗壓縮能力。

2.2 宏觀等效彈性屬性分析

數值均勻化法主要用于微觀多孔結構的宏觀等效性能評估，揭示空心多孔結構的宏觀等效力學特性。為進一步說明I-WP型空心多孔結構的性能優勢，采用數值均勻化法，計算I-WP型空心多孔結構和基礎結構的等效彈性矩陣。

多孔結構等效彈性張量CH的表達式為：

(4)

式中：|V|表示單胞的體積，Ve表示單元e的體積，I表示六階單位矩陣，Be表示單元應變—位移矩陣，χe表示包含單元位移向量，De表示單元本構矩陣。

為求解多孔結構的位移場χ，構建均勻化平衡方程的矩陣形式[21]：

Kχ=f。

(5)

其中：全局剛度矩陣

(6)

應變載荷

(7)

其中應變ε中包含6個應變分量：ε11=(1,0,0,0,0,0)T，ε22=(0,1,0,0,0,0)T，ε23=(0,0,1,0,0,0)T，ε12=(0,0,0,1,0,0)T，ε23=(0,0,0,0,1,0)T，ε13=(0,0,0,0,0,1)T。

基于I-WP型極小曲面的高度對稱性，其等效彈性矩陣可以簡化為：

(8)

根據式(9)，可以使用等效彈性矩陣中的分量C11和C12來計算等效體積模量

KH=(C11+2C12)/3。

(9)

(10)

兩種I-WP型曲面結構的歸一化等效體積模量對比數據如圖8所示。圖中數據結果表明，I-WP型空心多孔結構在任意體積分數下的歸一化等效體積模量均高于其基礎結構。

如圖9所示為空心多孔結構和基礎結構在不同體積分數下的彈性模量曲面，由曲面形狀和數值可知，I-WP型空心多孔結構具有高度對稱性，在6個正方向的模量明顯高于基礎結構。

3 多孔結構壓縮與吸能特性分析

3.1 多孔結構壓縮實驗

為分析I-WP空心多孔結構的壓縮和吸能特性，進一步驗證有限元分析的準確性，選擇兩種多孔結構進行物理實驗。將體積分數為0.25的空心多孔結構和基礎結構進行增材制造成型，選EOS-P760型3D打印機，采用選擇性激光燒結(Selective Laser Sintering, SLS)[22]技術，PA2200材料，打印了尺寸為40 mm×40 mm×40 mm多孔結構樣件。增材制造樣件如圖10所示，左側為I-WP型基礎結構，右側為I-WP型空心多孔結構。

選用型號為WDW-100E的微機控制電子式萬能試驗機，對增材制造樣件進行壓縮實驗。在壓縮實驗過程中，多孔結構置于實驗臺，上表面施加5 mm/min的沖擊載荷，加載時間為370 s，通過視頻記錄完整的實驗壓縮過程。

3.2 多孔結構壓縮性能分析

為分析多孔結構在特定相對密度下的壓縮性能，采用Gibson-Ashby模型[23]描述了多孔結構彈性模量、屈服強度、致密化應變與相對密度之間的關系：

(11)

(12)

(13)

式中：ES、ρS和σS分別表示多孔結構的彈性模量、密度和屈服強度；EB、ρB和σB分別表示基體材料的彈性模量、密度和屈服強度；εD表示多孔結構在致密化階段的初始應變值以及多孔結構實際吸收能量的應變極限值。在達到致密化應變之后，結構將以應力轉移為代價繼續吸收能量。通過擬合壓縮測試結果計算恒定參數C1、C2、n、m和β。

多孔結構單位體積吸收的能量表達式為：

(14)

壓縮實驗過程如圖11所示，按應變分為5個階段：0%、15%、30%、45%和60%。分析壓縮過程可知，在發生致密化之前，多孔結構每一層同時發生變形，呈現均勻變化。圖12所示為通過實驗數據繪制的兩種結構的應力—應變曲線，通過分析可得到兩種結構的彈性模量、屈服強度、致密化應變和單位體積吸收的能量，具體數值如表1所示。

表1 力學性能和吸能特性參數

表1數據表明，I-WP型空心多孔結構的彈性模量和屈服強度明顯高于基礎結構，在數值上分別為2.03、1.93倍。I-WP型空心多孔結構開始發生致密化的百分制應變為54.3%，相比其基礎結構高6%，說明空心多孔結構具有更長的平臺應力期。取n=2、m=3/2[24]，基于實驗數據，可以得到系數C1、C2和β的值，具體數值如表2所示。根據Gibson-Ashby理論，C1、C2和β的取值范圍分別為0.1～4、0.25～0.35和1.4～2.0。由表2中的結果可知，I-WP型空心多孔結構C2的取值超出了Gibson-Ashby理論給出的范圍，表明其平臺強度高于Gibson-Ashby理論預測的平臺強度，因此，相對于其基礎結構，空心多孔結構具有更高的平臺強度。

表2 Gibson-Ashby系數

3.3 多孔結構吸能特性分析

多孔結構吸能特性取決于單位體積所吸收的總能量。當結構被壓實后，可通過式(14)計算出結構從初始點到開始致密化過程中，單位體積所吸收的總能量，其數值大小即為壓縮過程中應力對應變的積分，單位體積的能量—應變曲線如圖13所示。由圖13可知，在結構發生致密化之前，I-WP型空心多孔結構單位體積吸收的能量—應變曲線的斜率更大，具備更優的吸能特性。

將結構單位體積吸收的能量WN和應力σ對結構彈性模量EB歸一化處理，分別得到歸一化能量和歸一化應力，兩者間的數值變化關系如圖14所示。將圖14中的曲線劃分為Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三個階段，分別對應結構在壓縮過程中的線彈性階段、平臺應力階段和開始致密化至完全壓實的階段。在階段Ⅰ中，曲線呈現線性變化，能量吸收速度較快，結構處于線彈性范圍內;在階段Ⅱ中，屈服強度出現波動，結構發生破壞，但吸收的能量還在持續增加，結構處于平臺應力階段;在階段Ⅲ中，結構從開始致密化到被壓實，依舊在持續吸收能量，吸收過程出現明顯轉折，結構應力急劇上升。

4 結束語

本文基于I-WP型三周期極小曲面，采用布爾運算設計了I-WP型空心多孔結構。數值均勻化法和有限元法分析結果表明，I-WP型空心多孔結構較其基礎結構具有更高的等效體積模量和更強的靜態承載能力。壓縮試驗揭示了I-WP型空心多孔結構還具有優良的壓縮和吸能特性。通過本文研究，提升了I-WP型極小曲面多孔結構的壓縮強度和吸能特性，豐富了極小曲面多孔結構力學內涵與防撞領域的工程應用。

考慮到空心極小曲面多孔結構優異的力學性能，未來的研究工作將重點探索極小曲面空心多孔結構的失效機理、幾何特征與力學性能間的耦合規律，為防撞領域中多孔結構定制化設計提供借鑒。