一種G2連續組合曲線的表示

嚴蘭蘭， 宋希辰， 魏子華， 謝 磊

一種2連續組合曲線的表示

嚴蘭蘭， 宋希辰， 魏子華， 謝 磊

(東華理工大學理學院，江西 南昌 330013)

針對Bézier曲線以及現有眾多含形狀參數的擴展Bézier曲線的2拼接條件均對控制頂點有嚴格要求的問題，擬提出一種2連續組合曲線，其能綜合Bézier與B樣條方法的優點，其基函數具有顯式表達式，既具有B樣條方法的自動光滑性，又能輕松擁有Bézier曲線的端點幾何特征。為此，構造了一組含6個參數的基函數，按照3次Bézier曲線的定義方式由之構造了基于4個控制頂點的曲線段，根據曲線段的拼接條件，按照3次B樣條曲線的定義方式構造了基于4點分段的組合曲線?；瘮稻哂腥?，其同時包含3次Bernstein基函數和所有由內部節點重復度均為1的節點向量所確定的3次B樣條基函數作為特例。曲線段具有保凸性、端點位置以及形狀可調性，其同時包含3次Bézier曲線和3次B樣條曲線段作為特例。組合曲線的定義方式自動保證了其整體2連續，將部分參數取特定值，即可使其端點插值、端邊相切，此時其中依然存在用于調整內部形狀的獨立參數。按一定規則選取組合曲線中的參數，即可重構2連續的3次B樣條曲線。

曲線設計；B樣條方法；Bézier方法；幾何連續；形狀參數

Bézier方法與B樣條方法是幾何設計中描述自由型曲線曲面的基本方法，二者各具優點，但也存在一個共同的不足，即在一定條件下不具備形狀可調性。具體地，Bézier方法采用Bernstein多項式作為基函數，控制頂點的數量決定其所需基函數的次數，而次數一旦指定，基函數便完全確定。B樣條方法采用B樣條作為基函數，指定其次數，再給定節點向量(其所含節點數量與基函數次數有關)，B樣條基函數便隨之確定。因此，對于Bézier方法而言，一旦控制頂點給定，Bézier曲線曲面的形狀便被唯一確定；對于B樣條方法而言，若控制頂點和節點向量均給定，則B樣條曲線曲面的形狀也被唯一確定。正因為如此，文獻[1-14]均以增加形狀調整自由度為主要目標展開了對Bézier或B樣條方法的擴展研究，大量含形狀參數的擴展Bézier或擴展B樣條曲線曲面應運而生。上述文獻的共同之處在于構造了含自由參數的基函數，且具有類似于Bernstein基函數[1-7]或B樣條基函數[8-14]的諸多性質，由其定義的曲線曲面分別具有類似于Bézier或B樣條曲線曲面的眾多性質，同時還擁有Bézier與B樣條方法不具備的形狀可調性，即可以通過改變基函數中的自由參數來調整曲線曲面的形狀。雖然文獻[15-18]的主要研究目標有別于上述文獻，但其中給出的曲線曲面模型同樣具有獨立于控制頂點和節點向量的形狀調整自由度。

注意到在曲線設計中，對于開曲線而言，通常希望其具有Bézier曲線的端點幾何特征。即：曲線首末端點為控制多邊形的首末頂點，曲線在端點處與控制多邊形相切。若直接采用Bézier方法進行曲線設計，該特征自動滿足，但單一的Bézier曲線段難以描述復雜形狀，組合Bézier曲線具有描述復雜形狀的潛能，但為了保證組合曲線在連接處的光滑性，相鄰曲線段的控制頂點之間需滿足嚴格的約束關系。相比而言，B樣條曲線在連接處的光滑性由B樣條基函數在相應節點處的連續性自動保證。鑒于此，采用B樣條方法描述復雜形狀更加方便。為了使B樣條曲線具有Bézier曲線的端點幾何特征，需將兩端的節點重復度取為+1 (為曲線次數)，而內部節點，只要在數學上成立即可。但無論內部節點是否均勻，此時的B樣條基函數都屬于非均勻型，因此在定義域內各節點區間上，即使采用局部參數表示，其基函數也不會具有像均勻B樣條基函數那樣統一的顯式表達式。因此，要獲取基函數表達式，只能由具體的節點向量通過遞推公式進行遞推計算。概括而言，Bézier曲線具有良好的端點幾何特征，Bernstein基函數具有統一的顯式表達式，2個優點都是B樣條曲線不具備的，但B樣條曲線勝在自動光滑。

雖然現有文獻給出了各種擴展的Bézier曲線或擴展的B樣條曲線，但目前沒有哪種擴展方法能集Bézier與B樣條方法的優點于一身。大部分擴展Bézier曲線的拼接條件與Bézier曲線類似，因此在描述復雜形狀時并不方便，雖然文獻[19]給出了易拼接的擴展Bézier曲線，但其在端點處的曲率為零。雖然文獻[10-14,17-18]給出的擴展B樣條基函數具有顯式表達式，但其無法自動具備Bézier曲線的端點幾何特征。

基于上述分析，同時考慮到2連續可以滿足工程中大部分設計需求，因此本研究希望給出一種新的曲線表示方法，使其既具有顯式表達的基函數，又能自動實現2連續，同時還可以輕松擁有Bézier曲線的端點幾何特征。

1 基函數及其性質

1.1 基函數的表示

3次Bernstein基函數給出一組新的基函數。

其中，

1.2 基函數的性質

其余全為0，其中，,kl為的與行，與列形成的子式；的16個3階子式為

2 曲線及其性質

圖1 端點在端邊上的3次aP曲線((a)對稱；(b)非對稱)

圖2 端點不在端邊上的3次aP曲線((a)對稱；(b)非對稱)

3 曲線拼接條件

由式(4)和式(5)可得

若

其中，

說明曲線()在節點2處2連續。

4 組合曲線的定義

根據拼接條件(7)，接下來定義一種在分段連接點處能自動滿足2連續性的組合曲線。

注7：在實際的組合曲線設計中，如果并不要求所有的連接處都2連續，例如某些指定的曲線段之間只需滿足1或0連續，則只需讓指定曲線段的參數之間僅滿足式(9)中前2行或第1行的關系即可。

5 組合曲線參數的選取

這些條件可以轉化為更易于使用的等價形式

(1) 根據約束條件(11)選取第1段的參數。

(2) 由第1段的參數，根據式(9)通過計算確定第2段的前4個參數，根據約束條件式(11)選取第2段的后2個參數。

6 B樣條曲線的重構

將3次B樣條曲線的方程從整體表示改寫成分段表示后，每一段上的基函數即由式(12)給出。

與上述情形對應的曲線即為由相應控制頂點定義的3次準均勻B樣條曲線。

7 組合曲線圖例

圖3 C2連續組合3次aP曲線((a)均勻；(b)準均勻； (c)非均勻)

按照第5節所述流程，獲取如下3組參數

圖5(a)中第3段與第4段之間0連續，其余段之間2連續。圖5(b)中第2段與第3段之間0連續，其余段之間2連續。

圖5 數字設計((a)數字2；(b)數字3)

8 總 結

下一步的研究計劃是構造基于(≥5)點分段的G(2≤≤-2)連續組合曲線，并對相應的組合曲面展開分析。

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Representation of a kind of2continuous composite curve

YAN Lan-lan, SONG Xi-chen, WEI Zi-hua, XIE Lei

(College of Science, East China University of Technology, Nanchang Jiangxi 330013, China)

To meet the strict requirements for the control points made by the2continuity conditions of the Bézier curve and many existing extended Bézier curves with shape parameter, a2continuous composite curve representation method was proposed. The method could synthesize the advantages of the Bézier method and B-spline method, and its basis function had explicit expression. It was of the automatic smoothness as that of the B-spline method, easily possessing the end-point geometric characteristic of the Bézier curve. To this end, a set of basis function with six parameters was constructed. On this basis, a curve segment based on four control points was constructed according to the definition mode of the cubic Bézier curve. According to the -continuity conditions between the curve segments, a kind of composite curve on four-point piecewise scheme was constructed according to the definition mode of the cubic B-spline curve. The basis function was of total positivity, and contained the cubic Bernstein basis functions and the cubic B-spline basis functions that were determined by the node vector with the repetition degree of all internal nodes being one. The curve segment had the feature of convexity-preserving, endpoint position, and adjustable shape, and contained the cubic Bézier curve and the cubic B-spline curve segment as special cases. The definition of the composite curve could automatically ensure its2continuity at each junction. The composite curve could have end-point interpolation and end-edge tangency by setting some of its parameters as specific values. At this point, the composite curve still contained independent parameters used to adjust its internal shape.As long as the parameters of the composite curve were selected according to certain rules, the2continuous cubic B-spline curve could be reconstructed.

curve design; B-spline method; Bézier method; geometric continuity; shape parameter

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061057

A

2095-302X(2022)06-1057-13

2022-07-25；

：2022-10-13

國家自然科學基金項目(11261003，11761008)；江西省自然科學基金項目(20161BAB211028)；江西省教育廳科技項目(GJJ160558)

嚴蘭蘭(1982-)，女，教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：yxh821011@aliyun.com

25 July，2022；

13 October，2022

National Natural Science Foundation of China (11261003, 11761008); Jiangxi Natural Science Fund (20161BAB211028); Jiangxi Provincial Department of Education Science and Technology Project (GJJ160558)

YAN Lan-lan (1982-), professor, Ph.D. Her main research interest covers computer aided geometric design. E-mail：yxh821011@aliyun.com