基于伸縮因子的toric-Bézier曲線自由變形

王 涵，朱春鋼

基于伸縮因子的toric-Bézier曲線自由變形

王 涵1，朱春鋼2

(1. 山東工商學院計算機科學與技術學院，山東 煙臺 264005； 2. 大連理工大學數學科學學院，遼寧 大連 116024)

為了得到理想的幾何變形效果，將伸縮因子和toric退化理論作用到toric-Bézier曲線上，最終實現曲線的自由變形。首先給定提升函數構造出帶參數的權因子集，從而得到帶參數的toric-Bézier曲線；然后選取變形中心、變形區間以及變形區間邊界光滑度，根據控制函數()的選取原則選取適當的控制函數，確定伸縮因子進而構造出變形矩陣，再將其作用到上述帶參數的toric-Bézier曲線上；最后，當趨于無窮大時，得到目標曲線，實現toric-Bézier曲線的自由變形，通過交互改變控制參數，可達到預期的變形效果，并可給出toric-Bézier曲線的變形動畫演示。實驗表明，該技術計算簡單、易于控制，可兼顧整體與局部對曲線進行自由變形，具有可調性和預見性，疊加使用可得到豐富的變形動畫效果，適用于幾何造型和計算機動畫等領域。

幾何造型；toric-Bézier曲線；提升函數；伸縮因子；自由變形

在幾何造型和計算機動畫領域，幾何變形方法一直是一個熱點研究課題。而自由變形技術是幾何變形方法的典型代表。2010年，徐崗等[1]詳細闡述了自由變形技術的發展與應用。1984年，BARR[2]提出整體與局部的變形方法，該方法及其推廣能夠進行如彎曲、扭曲、尖角等常規變形，但很難產生任意形狀。為克服此難題，SEDERBERG和PARRY[3]在1986年提出了基于Bézier體的變形方法，首次提出了自由變形(free- form deformation，FFD)的概念，此方法被廣泛應用于幾何造型、計算機動畫、科學數據可視化領域。1994年，CHANG和ROCKWOOD[4]提出了基于Bézier曲線de Casteljau算法的自由變形方法。BECHMANN和ELKOUHEN[5]則詳細給出了該算法的實現過程。同年，LAZARUS等[6]提出了基于軸曲線的軸自由變形方法(axial deformations，AXDF)。1996年，FENG等[7]提出了基于參數曲面的自由變形方法。上述方法不同程度的改進了FFD的方法，使得在產生物體的變形方面具有良好的交互性和可控性。

在實際中，曲線變形也為人們所重視。所謂曲線變形就是曲線所在空間自身到自身的一個映射。近些年來，王小平等[8]提出了基于伸縮因子的曲線自由變形方法，基本思想是通過伸縮因子構造變形矩陣，然后將變形矩陣作用于一般參數曲線方程，從而實現曲線變形的目的。自此，陸續有多名學者發展此思想，通過改進伸縮因子來實現對參數曲線的變形。宋來忠等[9]通過對指數函數積分構造伸縮因子；劉植等[10]提出帶參數的多項式伸縮因子；陸友太等[11]提出基于乘冪函數的伸縮因子；張莉等[12]提出基于平臺函數的伸縮因子。以上伸縮因子實際應用起來各有利弊，但共同的優點是數學背景簡單，易于操作和控制。因此，通過伸縮因子實現曲線的自由變形是可行的。

2002年，KRASAUSKAS[13]定義了一種多邊形曲面——toric曲面(定義1)，該曲面與一個有限整數格點集相關。而且一維toric曲面經過一個簡單的參數化可轉換成經典的有理Bézier曲線，本文稱之為toric-Bézier曲線(定義2)。在幾何造型中，toric-Bézier曲線的控制結構具有良好的定義和幾何意義。事實上，toric-Bézier曲線的形狀不僅由控制頂點所定義的控制多邊形所控制，而且還被其權因子所控制，當所有的權因子都足夠大時，曲線被拉至相應的控制結構，即曲線的極限形式為正則控制曲線，該過程稱為toric-Bézier曲線的toric退化[14]。Toric退化在曲線曲面的單值性[15]和等幾何分析[16]中都有重要的應用。

本文將toric退化與伸縮因子相繼作用到待變形toric-Bézier曲線上，最終實現曲線變形的目的。該技術基本思想如下：首先給定提升函數構造帶參數的權因子集，從而得到帶參數的toric- Bézier曲線；然后選定曲線變形中心、變形區間以及變形區間邊界光滑度，根據控制函數的選取原則以及伸縮因子各參數的調控方式，選取連續控制函數()確定伸縮因子，進而構造出變形矩陣；最后將變形矩陣作用到上述帶參數的toric- Bézier曲線上，受toric退化和伸縮因子的影響，當趨于無窮大時，實現toric-Bézier曲線的自由變形，同時可給出變形動畫演示。最終實驗表明，該技術計算簡單、易于控制，可兼顧整體與局部對曲線進行自由變形，具有可調性和預見性，疊加使用可得到豐富的變形動畫效果，適用于幾何造型和計算機動畫等領域。

1 Toric-Bézier曲線

1.1 Toric-Bézier曲線的定義

1.2 Toric-Bézier曲線的退化

定理1[14].。

圖1 三次toric–Bézier曲線及其控制多邊形

圖2 提升函數λ誘導的正則分解

圖3 正則控制曲線

例1中圖1本為一條自交曲線，但是通過對其進行toric退化，使得最終得到的正則控制曲線避免了出現自交點的情況(圖3)，保證了曲線的單值性，該性質在圖像壓縮、變形、三維變形和體變形中都有重要的作用。且利用toric退化對曲線做整體變形處理具有預見性，即當給定提升函數之后就可以分析出由其誘導的正則分解，從而預見變形后的曲線形狀(即正則控制曲線)。

2 伸縮因子、曲線變形與控制

文獻[8]提出的基于伸縮因子的曲線自由變形方法，不需要借助如FFD方法中的平行六面體格子或AXDF方法中的軸等輔助工具。不需要像Barr的方法先微分再積分，而是利用伸縮因子作用于待變形曲線方程，改變曲線形狀。而且伸縮函數具有操作簡單易行、可多參數調控以及支持局部變形等優點。本節對待變形toric–Bézier曲線同時作用toric退化和伸縮因子，可從整體與局部對曲線做自由變形處理，使得最終變形后的曲線形狀具有可調性和預見性。

定義5.分段函數

稱為伸縮因子，[0,1]為變形區間，其中正整數,≥2，()為控制函數。

伸縮因子的性質：

再根據定理1得

在實際應用中，通常一次自由變形不能得到理想的效果，需要對曲線進行多次自由變形，那么需要注意的是每次自由變形的變形區間是否為同一區間，因為相同的變形區間和不同的變形區間，疊加方法不同。

變形過程中，控制函數()的選取原則：

(1) 基于伸縮因子的曲線變形，不再受權因子和控制多邊形的約束，曲線變形處的伸縮幅度會隨著()值的增大而加大。因此，為了避免出現變形處伸縮幅度過大導致的極度變形效果，失去自由變形意義，特作如下約束，即

(2) 為了保證曲線能夠在變形處實現動態變形，控制函數()應為連續函數，且值域范圍應滿足式(8)。而()的選取以形式簡單為首要原則，如要加快變形速度，在滿足式(8)的前提下，可適當選取次數較高的控制函數()。

變形過程中，伸縮因子和提升函數對toric– Bézier曲線變形的調控可通過以下方式實現：

(1) 控制函數()的正負值可以控制曲線變形處的伸縮方向，如圖4中紅色曲線部分所示(此時=10)，黑色點為曲線變形處的極值點，參數見表1，當參數≥0時，情形與情形，情形與情形的曲線變形處伸縮方向均關于垂直方向(即軸方向)對稱，情形與情形，情形與情形的曲線變形處伸縮方向均關于水平方向(即軸方向)對稱，情形與情形，情形與情形曲線變形處伸縮方向相反。

圖4 f (t)的正負值可控制曲線的伸縮方向

表1 提升函數和伸縮因子參數表

(2)()值的大小可以控制曲線變形處的伸縮幅度，如圖5中紅色曲線部分所示(此時=10)，黑色點為曲線變形處的極值點，參數見表1，1()的值情形與情形相同，2()的值情形是情形的2倍，故情形變形處曲線的極值點高度是情形的2倍，同理情形與情形，情形與情形。

圖5 f (t)值的大小可控制曲線的伸縮幅度

(3) 改變，可以使變形后曲線在變形區間邊界光滑度發生變化，如圖6中紅色曲線部分所示(此時=10)，參數見表1，紅色線在變形區間[1,2]端點處分別具有2階光滑度，而紅色虛線在其變形區間[1,2]端點處具有1階光滑度。

圖6 改變p，q可控制曲線在變形區間邊界的光滑度

(4) 改變0，1可以控制曲線的變形區間，如圖4～8中紅色曲線部分所示，其中情形～的變形區間為[1,2]，情形的變形區間為[0,1]，情形的變形區間為[2,3]，參數見表1。

(5) 改變可以控制曲線的相對變形中心。如圖4～8中紅色曲線部分所示，其中情形～的變形中心為(1,1)，情形的變形區間為(3,1)，情形的變形區間為(2,1)，黑色點為曲線變形處的極值點，綠色點為曲線的相對變形中心，參數見表1。情形，，，，，，當1()與2()的取值范圍均為正時，極值點遠離變形中心；情形，當1()與2()的取值范圍均為負時，極值點靠近變形中心；情形，當1()與2()的取值范圍為一負一正時，極值點與情形的極值點關于軸方向對稱，且軸方向靠近變形中心，軸方向遠離變形中心；情形，當1()與2()的取值范圍為一正一負時，極值點與情形的極值點關于軸方向對稱，且軸方向遠離變形中心，軸方向靠近變形中心。

圖7 λ={1,3,1,3}，O=(3,1)

圖8 λ={0,3,3,0}，O=(2,1)

實際應用時，可同時改變各控制參數，也可疊加使用得到豐富的變形動畫效果。

從例2可以看出，伸縮因子的良好性質，可以對曲線做局部變形，且不受權因子和控制多邊形的約束，從而實現自由變形。通過調控伸縮因子的各個參數以及提升函數，便可得到豐富的曲線變形效果。

3 實 例

本節共列舉3個實例，給出toric–Bézier曲線的具體變形過程以及圖示，其中圖中紅色表示在toric退化和伸縮因子雙重作用下曲線的變形，藍色則為僅在toric退化作用下曲線的變形。

圖9 提升函數λ={1,1,1,1,1,1}曲線的變形動畫演示((a)五次toric–Bézier曲線；(b) t=5；(c) t=10；(d) t=15)

表2 伸縮因子參數表

圖10 不同的提升函數誘導出不同的變形效果

圖9(d)是當提升函數取值={1,1,1,1,1,1}時的曲線變形動畫效果，圖10(a)為提升函數取值={1,3,3,3,2,1}時的曲線變形動畫效果，圖10(b)為提升函數取值={1,2,3,3,3,1}時的曲線變形動畫效果。由于不同的提升函數誘導不同的正則控制曲線，即對曲線做不同的整體變形處理，所以不同的提升函數可以誘導出不同的曲線變形效果。

圖11 Toric-Bézier曲線的變形動畫演示

圖12 提升函數λ={1,1,1}時得到的變形曲線

圖13 提升函數λ={1,3,1}時得到的變形曲線

此例表明曲線的變形效果同樣是受toric退化和伸縮因子的影響，兼顧整體與局部對待變形曲線做自由變形處理，得到的目標曲線多種多樣，變形動畫效果更加豐富。

4 總結與展望

本文主要通過對待變形toric-Bézier曲線同時作用toric退化和伸縮因子來實現對曲線的自由變形。與已有技術相比，具有以下優點：

(1) 此技術兼顧了整體和局部的自由變形處理。Toric退化可以對曲線做整體變形，伸縮因子可以自由選擇變形區間對曲線做局部變形，并且在變形區間中不受權因子和控制多邊形的約束，從而實現自由變形，同時也可以保證非變形區間不受影響。

(2) 利用toric退化對曲線做變形處理具有預見性，即當給定提升函數之后就可以分析出由其誘導的正則分解，從而預見目標曲線形狀(即正則控制曲線)。

在以后的工作中，將繼續研究toric-Bézier空間曲線和曲面的自由變形，希望得到更加豐富的曲線曲面變形動畫效果。

[1] 徐崗, 汪國昭, 陳小雕. 自由變形技術及其應用[J]. 計算機研究與發展, 2010, 47(2): 344-352.

XU G, WANG G Z, CHEN X D. Free form deformation and its application[J]. Journal of Computer Research and Development, 2010, 47(2): 344-352 (in Chinese).

[2] BARR A H. Global and local deformations of solid primitives[J]. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1984, 18(3): 21-30.

[3] SEDERBERG T W, PARRY S R. Free-form deformation of solid geometric models[J]. ACM SIGGRAPH Computer Graphics, 1986, 20(4): 151-160.

[4] CHANG Y K, ROCKWOOD A P. A generalized de Casteljau approach to 3D free-form deformation[C]//The 21st Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques - SIGGRAPH’94. New York: ACM Press, 1994, 28(4): 257-260.

[5] BECHMANN D, ELKOUHEN M. Animating with the “multidimensional deformation tool”[M]//Eurographics. Vienna: Springer Vienna, 2001: 29-35.

[6] LAZARUS F, COQUILLART S, JANCèNE P. Axial deformations: an intuitive deformation technique[J]. Computer-Aided Design, 1994, 26(8): 607-613.

[7] FENG J Q, MA L Z, PENG Q S. A new free-form deformation through the control of parametric surfaces[J]. Computers & Graphics, 1996, 20(4): 531-539.

[8] 王小平, 葉正麟, 孟雅琴, 等. 基于伸縮因子的參數曲線自由變形[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2002, 14(1): 66-69.

WANG X P, YE Z L, MENG Y Q, et al. Free-form deformation based on extension factor for parametric curve[J]. Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics, 2002, 14(1): 66-69 (in Chinese).

[9] 宋來忠, 彭剛, 楊文穎, 等. 用于參數曲線自由變形的新的伸縮因子[J]. 工程圖學學報, 2009, 30(3): 87-93.

SONG L Z, PENG G, YANG W Y, et al. A new extension factor for free-form deformation of parametric curves[J]. Journal of Engineering Graphics, 2009, 30(3): 87-93 (in Chinese).

[10] 劉植, 鄔弘毅, 張莉, 等. 參數曲線曲面自由變形的多項式因子方法[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2009, 21(3): 412-418.

LIU Z, WU H Y, ZHANG L, et al. Method of polynomial factor for free-form deformation of parametric curves and surfaces[J]. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2009, 21(3): 412-418 (in Chinese).

[11] 陸友太, 周來水, 王志國, 等. 基于乘冪伸縮因子的參數曲線自由變形[J]. 南京航空航天大學學報, 2011, 43(6): 793-798.

LU Y T, ZHOU L S, WANG Z G, et al. Free-form deformation based on power extension factor for parametric curves[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2011, 43(6): 793-798 (in Chinese).

[12] 張莉, 余慧芳, 檀結慶. 帶平臺伸縮函數的參數曲線變形[J]. 中國圖象圖形學報, 2015, 20(10): 1374-1383.

ZHANG L, YU H F, TAN J Q. Deformation of parametric curves based on platform extension function[J]. Journal of Image and Graphics, 2015, 20(10): 1374-1383 (in Chinese).

[13] KRASAUSKAS R. Toric surface patches[J]. Advances in Computational Mathematics, 2002, 17(1): 89-113.

[14] GARC'IA-PUENTE L D, SOTTILE F, ZHU C G. Toric degenerations of Bézier patches[J]. ACM Transactions on Graphics, 2011, 30(5): 110.

[15] YU Y Y, JI Y, ZHU C G. An improved algorithm for checking the injectivity of 2D toric surface patches[J]. Computers & Mathematics With Applications, 2020, 79(10): 2973-2986.

[16] ZHU X F, JI Y, ZHU C G, et al. Isogeometric analysis for trimmed CAD surfaces using multi-sided toric surface patches[J]. Computer Aided Geometric Design, 2020, 79: 101847.

[17] 王涵. Toric曲面的正則控制曲面研究[D]. 大連: 大連理工大學, 2018.

WANG H. The regular control surfaces of toric patch[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2018 (in Chinese).

[18] WANG H, ZHU C G, ZHAO X Y. The number of regular control surfaces of toric patch[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2018, 329: 280-293.

Free-form deformation based on extension factor for toric-Bézier curve

WANG Han1, ZHU Chun-gang2

(1. School of Computer Science and Technology, Shandong Technology and Business University, Yantai Shandong 264005, China; 2. School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

To gain ideal geometric deformation results, the expansion factor and the toric degeneration are applied to the toric-Bézier curve, realizing the free-form deformation of the curve. Firstly, the with parameterweight factor was constructed by the given lifting function, thereby obtaining thewith parametertoric-Bézier curve. Secondly, according to the selected center of deformation, region of deformation, smoothness of deformation region boundary, and select rule of the control function(), the appropriate control function was selected,and the extension factor was determined, thus constructing the deformation matrix. Then, the deformation matrix acted on the with parametertoric-Bézier curve. At last, whentended to reach infinity, the target curve was obtained, andthe free-form deformation of the toric-Bézier curve could be achieved. By changing the control parameters interactively, the expected deformation result could be attained, and the deformation animation demo of the toric-Bézier curve could be yielded. The experiments showed that the technique was simple and easy to control. The curve could be deformed freely both globally and locally, and the technique was of adjustability and foreseeability. Such a technique could be in repeated use, thereby generating the rich deformation animation results, which could be applicable to many fields, such as geometric modeling and computer animation.

geometric modeling;toric-Bézier curve; lifting function; extension factor; free-form deformation

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061070

A

2095-302X(2022)06-1070-10

2022-07-31；

：2022-10-24

國家自然科學基金項目(12001327，12071057)

王 涵(1988-)，女，講師，博士。主要研究方向為計算幾何、計算機圖形學等。E-mail：wanghan19881214@126.com

朱春鋼(1977-)，男，教授，博士。主要研究方向為計算幾何、計算機輔助設計等。E-mail：cgzhu@dlut.edu.com

31 July，2022；

24 October，2022

National Natural Science Foundation of China (12001327, 12071057)

WANG Han (1988-), lecturer, Ph.D. Her main research interests cover computation geometry and computer graphics. E-mail：wanghan19881214@126.com

ZHU Chun-gang (1977-), professor, Ph.D. His main research interests cover computation geometry and computer aided design. E-mail：cgzhu@dlut.edu.com