基于相場法的周期性多孔結構斷裂行為研究1)

應宇軒 黃瑋, 馬玉娥 彭帆

*(西北工業大學航空學院,西安 710072)

?(長安大學理學院,西安 710061)

引言

若材料在空間上由重復的且周期性的代表性單元(單胞)組成,則稱之為周期性結構[1].多孔結構是一類由隨機或周期性的微觀結構組成的輕質結構,其材料主要包括金屬、高分子以及陶瓷3 大類[2].隨機多孔結構又可稱為泡沫結構,周期性多孔結構常包括蜂窩結構、波紋結構等.因多孔結構獨特多樣的性能特點,逐漸成為了諸多領域學者研究的重點和熱點.多孔結構具有隔熱、輕質、吸音、相對密度低、比強度高、可變形等優異的性能,在航空航天、柔性電子器件、能量吸收、隔音和組裝框架等領域有著廣泛的應用[3].

斷裂破壞問題的預測一直以來都是學術界和工程界關注的難題.由于內部存在相互貫通或封閉的孔洞和不同的外部加載模式,周期性多孔結構的斷裂行為更加具有不確定性.Hayes等[4]探討了單胞孔洞為正方形的周期性多孔合金在復雜加載模式下的斷裂失效行為,杜映洪[5]給出了分層蜂窩周期性多孔結構在復雜應力狀態下的斷裂模式,Jelitto等[6]探究了泡沫多孔材料斷裂韌性、裂紋擴展與孔隙率、加載方式的關系,均說明了多孔材料斷裂時的裂紋擴展路徑會受到孔洞影響,且隨著外部加載模式的改變,裂紋擴展行為與裂紋數量也發生改變.因此可以發現,周期性多孔結構在復雜力學環境下,會呈現出復雜的力學響應與失效模式[3].經典斷裂力學理論難以解決裂紋形核以及擴展方向等問題[7-8],因此迫切需要尋找合適的斷裂問題數值模擬方法.

傳統有限元框架下模擬裂紋擴展的數值分析方法主要有單元刪除法[9]、界面單元法[10]、擴展有限元(XFEM)[11-12]等.單元刪除法將滿足條件的單元應力置0,但難以模擬裂紋分岔問題.界面單元法通過設置內聚力單元模擬裂紋擴展,但具有較強的網格依賴性.擴展有限元法通過擴充形函數使裂紋可以在網格內擴展,但較難處理三維問題[13].本文所采用的相場(phase-field)斷裂模型是一種彌散式裂紋模型.該方法基于傳統Griffith[14]理論,通過能量平衡理論研究裂紋的擴展行為.Francfort等[15]在該理論基礎上提出了斷裂變分準則,Bourdin等[16]通過引入彌散的相邊界來表征裂紋的尖銳邊界,引入序參量(即相場)來得到空間中描述損傷的標量場,并經過相場方程控制序參量的演化來顯式追蹤裂紋擴展路徑,極大地簡化了算法實現的復雜度.目前,相場斷裂方法已經廣泛應用于脆性斷裂[17]、塑性斷裂[18-19]、動態斷裂[20]、疲勞裂紋擴展[21]、各向異性材料斷裂[22]、多場耦合[23]等問題.該方法在三維模擬方面也體現出了優勢[24].對于復合材料、周期性點陣、周期性多孔結構等可能出現的裂紋軌跡難以預測、多裂紋交匯問題,相場法具有其獨特的優勢[25].

基于多尺度分析方法和均勻化理論[26],周期性結構宏觀模型的力學行為可以通過分析細觀尺度的代表性體積單元(representative volume element,RVE)模型的力學性能來表征,細觀力學分析方法如圖1 所示.在多尺度分析過程中,需要滿足基于均勻化理論的細-宏觀能量等價條件(hill-mandel 條件)[27].此外,需要給RVE 模型施加周期性邊界條件,來保證RVE 邊界處的變形、應力連續,由宏觀模型向微細觀模型傳遞信息[28].

圖1 細觀力學分析示意圖Fig.1 Mesomechanics analysis schematic

盡管多孔結構在單軸、雙軸或剪切載荷下的力學響應已經被廣泛研究[29-30],但在實際情況中,周期性多孔結構往往承受多軸復雜載荷,目前對于該方面斷裂問題的研究較少.此外,以往的大多數周期性邊界條件只是控制RVE 模型中對稱邊界的位移,但不能保證作用在RVE 模型上的多軸宏觀應力的比值恒定不變.

本文基于ABAQUS 有限元軟件平臺建立了周期性多孔結構的RVE 模型,施加以多軸加載比例為控制參數的周期性邊界條件,實現了對于RVE 模型的比例加載,結合相場斷裂方法從而研究周期性多孔結構在復雜多軸加載狀態下的斷裂失效行為.

1 相場斷裂方法

1.1 斷裂變分準則

首先在本文中定義φ∈[0,1] 的標量來定義相場變量表示裂紋拓撲.當φ=0時表示材料完好,φ=1時表示材料完全破壞,引入一維桿件的彌散裂紋模型與相場函數[31],如圖2(a)和圖2(b)所示,其裂紋表面密度函數為

圖2 一維桿件的彌散裂紋與相場函數Fig.2 Diffused crack and phase-field functions in 1D rods

由此推導出二維和三維的表面密度函數

式中,l0代表裂紋的彌散寬度.

斷裂變分原理認為彈性體 Ω 的勢能 ΠΩ由彈性應變能Estr和斷裂表面能Wfrac組成,其表達式為

式中,ψe為彈性應變能密度,ε(u)為應變張量,Gc為臨界能量釋放率.

由于在損傷過程中應變能會減少,故引入二次退化函數

式中,k是一個很小的參數,可以防止φ=1 時剛度矩陣奇異.本文取k=1.0×10-7,因此有

1.2 相場控制方程

圖3 彌散裂紋與彈性體受力情況,左側為尖裂紋,右側為彌散裂紋Fig.3 Diffused crack and elastomeric stresses,with sharp cracks on the left and diffused crack on the right

系統的總勢能 Π=ΠΩ-Wext,其對φ和u求變分后可以得到

式中,n為法線向量,σ和u分別為柯西應力張量和位移張量.根據變分原理,式(7)應滿足 δΠ=0,因此得到相場與位移場耦合的形式為

1.3 彈性應變能的拉壓分解

考慮到材料中只有拉伸載荷會引起裂紋擴展,若不分離應變能中的拉應力和壓應力部分,會產生裂紋偽分岔現象[32].首先對應變張量進行譜分解

式中,ε+為拉應變張量,ε-為壓應變張量,εi為主應變值,ni為主應變值的方向.m代表空間維數,尖括號算子定義為:〈x〉+=(x+|x|)/2,〈x〉-=(x-|x|)/2.由此,彈性應變能密度分解為

式中,λ和μ為拉梅常數.考慮到剛度退化僅作用于拉伸應變能,則 ψe可表示為

1.4 相場斷裂模型的分步算法

相場控制方程組往往是非線性的,若通過Newton 迭代法直接求解,在ABAQUS 隱式求解中容易造成不收斂.因此,可以對控制方程進行解耦,使位移場方程和相場演化方程交錯迭代求解.本文用一層UEL 計算相場,一層UMAT 計算位移場并完成可視化[33].

首先推導式(9)中方程的弱形式

對位移場和相場變量進行離散可得

式中,n是每個單元的結點數,Nu和Nφ分別為單元的位移場矩陣和相場形狀函數,和分別為結點i的位移場形狀函數矩陣和相場形狀函數,其表達式如下所示

式中,Ni為結點i的形狀函數.相應地可以得到u和φ的梯度表達式為

式中,Ni,x和Ni,y為結點i處的形狀函數分別對x和y的導數.將上述離散后的值代入弱形式平衡方程(13)中,可以分別得到位移場和相場的右端殘余向量為

為了能夠獲得穩定的隱式求解公式,采用Newton-Raphson 迭代法,對位移場和相場進行解耦求解,表達式如下

式中,C0為彈性體的初始剛度矩陣.

2 多軸比例加載的周期性邊界條件

在尺度轉換的分析過程中,常用體積平均應變和體積平均應力來描述RVE 模型的各項宏觀特性.在本文中,以作用在RVE 模型上的名義應力作為宏觀量.首先,RVE 模型的宏觀和細觀第一Piola-Kirchhoff 應力張量表示為PM和Pm,其宏觀和細觀變形張量表示為FM和Fm

式中,V0和Ω為RVE 模型的體積和域.通過式(25),可以實現尺度轉換下對應參量的轉換,使RVE 模型的宏觀名義應力可用于表征宏觀模型的承載能力.

2.1 周期性邊界條件

如圖4 所示,在二維笛卡爾坐標系下,x1和x2分別表示水平方向和豎直方向,RVE 模型的尺寸為2l1×2l2.考慮RVE 模型處于多軸加載狀態[34],P11,P22和P12分別為作用在RVE 模型上的水平、豎直方向的宏觀名義應力和面內剪切名義應力.

圖4 基于多軸加載的二維RVE 模型Fig.4 2D RVE model based on multiaxial loading condition

在施加雙軸以及面內剪切載荷的工況下,RVE模型的宏觀變形張量可以寫為

式中,λ11和λ22分別是RVE 模型水平、豎直方向的宏觀變形量,λ12是面內剪切的宏觀變形量.ei(i=1,2,3)是當前變形下的笛卡爾坐標系基向量,Ei(i=1,2,3)是未變形時的笛卡爾坐標系基向量.

RVE 模型的廣義周期性邊界條件表示為

式中,uA和uB是RVE 模型中任意兩對稱邊界上節點對的當前位移,即圖4 中用紅色部分標出邊界A和邊界B,或用藍色標出的邊界A和邊界B;XA和XB是RVE 模型中對稱邊界上節點對的初始位置;HM是宏觀應變張量,I則是單位張量.

根據Hill-Mandel 的宏、細觀能量守恒條件,整個RVE 模型的宏觀應變能密度應等于該模型中所有單元的平均應變能密度,其數學表達式為

靜力加載下,忽略體力和慣性的作用,RVE 模型在多軸加載下的宏觀總功變化率可以表示為

式中,A是二維RVE 模型的面積,P為RVE 模型的宏觀應力張量,是宏觀變形變化率梯度張量,為宏觀變形率.

2.2 比例加載周期性邊界條件的數值實現

引入虛擬節點,在虛擬節點上施加相應的位移載荷,可以將周期性邊界條件施加到RVE 模型上.基于均勻化思想,通過能量守恒將RVE 模型的宏觀應力、應變與虛擬節點的自由度、反力關聯起來.

如式(26)所示,在多軸加載條件下,RVE 模型的宏觀變形梯度張量FM存在3 個非零分量.在二維平面內,每個節點可以提供兩個自由度,因此本文需要引入兩個虛擬節點ghostnode1和ghostnode2.

首先,考慮RVE 模型在水平和豎直方向的變形能與作用在虛擬節點ghostnode1 的外力做功應滿足能量相等的條件,用變化率的形式可以表示為

式中,q1,q2和p1,p2分別是虛擬節點ghostnode1在水平(x1)方向和豎直(x2)方向的位移與反力.上面的公式意味著變換前后的內積不變,因此兩者應滿足正交變換

在式(32)中,令p1=0,可以得到

從而可以得到虛擬節點ghostnode1 上的非零反力p2的表達式為

然后引入剪切應變能,考慮RVE 模型的總變形能與作用在虛擬節點ghostnode2 的外力做功應滿足守恒的條件,同樣用變化率的形式可以表示為

式中,q3,q4和p3,p4分別是虛擬節點ghostnode2在水平方向和豎直方向的位移與反力.同理,通過正交變換可以得到下式

1.2方法 對照組采用常規小兒肺炎對癥治療,具體措施為:幫助患兒取合適體位促進痰液快速排出體外,確?；純汉粑〞?對患兒采取抗感染治療,靜脈滴注30-40萬U/kg/d的青霉素鈉與50mg/kg/d的頭孢唑啉,同時服用復合維B、維C與小兒止咳顆粒,體溫超38.5℃患兒需使用藥物退熱。研究組在對照組基礎上加用鹽酸氨溴索(江蘇漢晨藥業有限公司,國藥準字H20066523)與鹽酸丙卡特羅(四川大冢制藥有限公司,國藥準字H20093290)治療,用法用量:鹽酸氨溴索10-30mg/次,根據年齡調整劑量,3次/d;鹽酸丙卡特羅12.5-25μg/次,根據年齡調整劑量,2次/d,共治療1周。

在式(37)中,令p3=0,則有

此時,作用在虛擬節點ghostnode2 的非零反力p4為

通過式(33)和式(38)的逆變換,可以得到

綜合式(41)和式(42),對虛擬節點自由度重新編號,可以得到關聯RVE 模型宏觀變形率與虛擬節點位移變化率的轉換矩陣T

同理,可得RVE 模型宏觀名義應力與虛擬節點反力的轉換方程

式中,q1,q2和p1,p2分別是虛擬節點ghostnode1在水平方向和豎直方向的位移和反力,q3和p3分別是虛擬節點ghostnode2 在水平方向的位移和反力.

以RVE 模型在豎直方向的宏觀名義應力P22作為參考應力,則可以用兩個應力比參數來描述作用在RVE 模型上3 個宏觀應力之間的關系

將式(45)代入式(34)和式(39),與 α1和α2相關的三角函數可以表示為

由式(43)可以得到RVE 模型在右邊界(x1=l1)的節點位移方程為

同理,RVE 模型在上邊界(x2=l2)的節點位移方程可以表達為

本文的數值仿真工作基于ABAQUS 通用有限元分析軟件平臺(版本:6.14)開展,比例加載的周期性邊界條件通過編寫ABAQUS 的用戶子程序(user subroutine) 實現.在數值模擬中,只在虛擬節點ghostnode2 的水平(x1)方向施加位移載荷q3,則該方向的節點反力p3為非零值.當多軸加載的應力比參數已確定,通過式(49)即可求解得到RVE 模型在豎直(x2)方向的宏觀名義應力

然后,通過宏觀應力比關系就可得到加載過程中作用在RVE 模型上的其他宏觀名義應力.

3 多軸比例加載下的周期性多孔結果斷裂行為研究

3.1 周期性多孔結構的RVE 模型

針對周期性多孔結構,本文建立其二維RVE 模型,其中含孔單胞的數量為 2×2,尺寸為5 mm×5 mm,孔洞半徑R為 1.0mm,RVE 模型的幾何構型如圖5 所示.其有限元模型采用四邊形平面應變單元(CPE4)劃分網格,單元數為115 200,節點數為116 637,模型中對稱邊界上的節點數均為241 個.

圖5 周期性多孔結構RVE 模型的幾何構型(單位:mm)Fig.5 Geometric configuration of the RVE model for periodic porous structures(unit:mm)

RVE 模型的裂紋彌散寬度l0=2h,其中h為模型網格的最小尺寸.對本文建立的模型,h=13 μm,l0=26 μm.

本文計算所用的材料拉梅彈性參數分別為λ=121.15 kN/mm2,μ=80.77 kN/mm2,臨界能量釋放率Gc=2.7 N/mm[35].計算過程中加載步長固定為Δu=5 μm.

3.2 與 8×8 常規邊界條件模型的計算結果比較

為了驗證采用比例加載周期性邊界條件后所表征的斷裂行為的正確性,本文建立了一個施加常規邊界條件的 8×8 周期性多孔結構模型,模型下端約束豎直方向的位移,上端施加位移載荷.并與2×2的RVE 模型在單軸拉伸條件下斷裂行為的數值模擬結果相比較.

8×8周期性多孔結構的邊界條件與幾何構型如圖6 所示,模型下端約束豎直方向的位移,上端施加位移載荷;其孔洞半徑R為 1.0mm,有限元模型的單元數為204 800,節點數為210498,l0=80μm,采用的材料參數與 2×2 RVE 模型一致.

圖6 8×8 多孔模型的單軸拉伸邊界條件Fig.6 Boundary conditions for uniaxial stretch of 8×8 periodic porous model

對于2×2 RVE 模型,施加x2方向單軸拉伸載荷時,應力比 ρ1=ρ2=0.在加載過程中,作用在虛擬節點ghostnode2 上的非零反力p3的峰值為p3-max=86 791 N,通過式(49)可以計算得到RVE 模型在x2方向宏觀名義應力的極值P22-max為867.91 MPa,這即是周期性多孔結構在單軸拉伸條件下的極限強度.

為了驗證 2×2 RVE 模型網格獨立性,本文在原有115 200單元數模型的基礎上,分別建立了單元數為80000和156 800的稀疏網格和加密網格模型,后兩者的最小單元尺寸分別為h=15.7 μm和h=11.2 μm,裂紋特征寬度參數依然取為l0=2h.3 組不同單元數的模型在單軸拉伸載荷下的名義應力-應變曲線如圖7 所示.可以發現,3 組模型的曲線吻合度較高,極限載荷值相差極小.因此綜合考慮模型計算精度和計算成本,本文選擇單元數為115 200的 2×2 RVE模型進行后續研究與討論.

圖7 單軸拉伸載荷下單元數分別為80000,115 200和156 800的周期性多孔結構的2×2 RVE 模型名義應力-應變曲線的比較Fig.7 Comparison of nominal stress-strain curves of the RVE model with 80000,115 200and 156 800elements under tensile loading condition

此外,Miehe等[32]在應用斷裂相場方法時,也對模型的網格獨立性開展了相似討論,同樣發現模型網格的疏密程度對于得到的載荷-位移曲線影響程度較小.

如圖8 所示,在單軸拉伸載荷作用下,基于2×2 RVE 模型與基于 8×8 常規模型得到的名義應力-應變曲線吻合較好.可以發現,兩條曲線在斷裂失效時刻的承載極限P22-max和應變值 ε22都幾乎一致.

圖8 單軸拉伸載荷下周期性多孔結構的 2×2 RVE 模型與 8×8 模型的名義應力-應變曲線的比較Fig.8 Comparison of nominal stress-strain curves of the 2×2 RVE model and the 8×8 periodic porous model under uniaxial tensile loading condition

圖9 分別為周期性多孔結構的 2×2 RVE 模型與 8×8 常規模型在施加豎直(x2)方向單軸拉伸載荷后的漸進斷裂相場云圖.在相同的加載條件下,比較圖9(a)和圖9(d)、圖9(b)和圖9(e)、圖9(c)和圖9(f) 的斷裂相場云圖發現,周期性多孔結構的2×2 RVE 模型與 8×8 常規模型均是在孔邊水平位置萌生裂紋,并且裂紋均沿水平方向擴展(φ=1 的路徑).在相同的應變值下,兩種模型的裂紋擴展模式基本一致.圖9(f)中模型的破壞程度不完全一致是由于,在本文所給的常規單軸拉伸載荷作用下,受邊界條件的影響,8×8 模型內部孔洞的應力分布與模型邊緣孔洞的應力分布有一定的差別,模型內部孔洞的應力狀態更接近RVE 模型的應力狀態.8×8模型邊緣孔洞的應力集中稍大,因此孔邊裂紋的擴展會稍快于中間位置的孔洞.從宏觀上來看,可以認為周期性多孔結構的 8×8 常規模型與 2×2 RVE 模型的裂紋擴展模式基本一致,且本文圖8 中兩組模型的名義應力-應變曲線吻合較好.因此,采用RVE 模型研究周期性多孔結構在復雜加載下的力學響應及斷裂行為是有效可行的.

圖9 單軸拉伸載荷下的周期性多孔結構的 2×2 RVE 模型與 8×8 模型的斷裂相場云圖Fig.9 Phase-field fracture contours of the 2×2 RVE model and 8×8 model for periodic porous structure under uniaxial tensile loading

綜上所述,本文采用基于多軸比例加載的周期性邊界條件的RVE 模型,可以正確有效模擬周期性結構在復雜載荷作用下的力學響應,從而評估結構的宏觀力學性能.通過典型算例驗證,表明該多尺度分析方法與相場斷裂方法相結合用以研究周期性多孔結構在多軸加載下的損傷斷裂行為具有可行性和可靠性.

3.3 雙軸比例加載下周期性多孔結構的斷裂行為

首先考慮周期性多孔結構在雙軸載荷作用下的斷裂行為,即令剪切應力比 ρ2=0.以RVE 模型在豎直方向的拉伸載荷為主應力,研究水平方向載荷的引入對多孔結構的裂紋萌生、擴展以及承載能力的影響.這里選取雙軸應力比 ρ1=-1,-0.5,0,0.5,1 ;當 ρ1<0時,表明在水平方向施加的是壓縮載荷.

表1 給出了當 ρ2=0時,周期性多孔結構的2×2 RVE 模型在不同雙軸應力比 ρ1下的豎直方向的拉伸承載極限P22-max和斷裂相場云圖.可以發現,RVE 模型在承受一個方向的拉伸載荷時,另一個方向的拉伸載荷會提高結構的承載能力,而另一個方向的壓縮載荷則會促進裂紋的擴展,降低結構的承載能力.

表1 雙軸比例加載下的周期性多孔結構的承載極限 P22-max 與斷裂相場云圖Table 1 Extreme load P22-max and phase-field fracture contours for the RVE model under biaxial proportional loading condition

值得注意的是,當 ρ1<1 時,孔邊裂紋擴展路徑保持水平.當 ρ1=1.0時,模型表現出十字正交型裂紋擴展模式.這是由于多孔結構的RVE 模型具有中心對稱性,在雙軸等值拉伸載荷作用下,模型在兩個方向產生等量的變形,水平和豎直方向的孔邊應力、應變狀態相同.因此,當雙軸應力比 ρ1=1.0時,孔邊裂紋在水平和豎直方向同時萌生并同步擴展.

3.4 多軸比例加載下周期性多孔結構的斷裂行為

在3.3 節的基礎上,引入面內剪切應力,在周期性邊界條件模型中改變剪切應力比 ρ2的取值,討論周期性多孔結構在同時承受雙軸和剪切的復合加載下的斷裂行為.由于在面內剪切方向上,順時針和逆時針的剪切載荷具有對稱性,為了減少計算成本,本文的P12只選取為順時針方向,并且仍以豎直方向的拉伸載荷P22為主應力.這里,ρ2的考察范圍為[0,1],取值分別為 ρ2=0.25,0.5,0.75,1.0.

表2 給出了周期性多孔結構的2×2 RVE 模型在不同多軸比例加載工況下的斷裂相場云圖.觀察表2 后可以發現,在不同的雙軸應力比 ρ1和剪切應力比 ρ2組合范圍內,RVE 模型的裂紋萌生和擴展模式存在一定的規律性.為此,歸納5 種不同的裂紋擴展模式的表征符號和漸進破壞的相場演化云圖,如表3 所示.

表2 多軸比例加載下的周期性多孔結構的斷裂相場云圖Table 2 Phase-field fracture contours of periodic porous structure model under multiaxial proportional loading

表3 5 種不同裂紋擴展模式的表征符號和漸進破壞的斷裂相場云圖Table 3 Representative symbols and progressive phase-field fracture contours for the five distinguished crack propagation modes

從多孔結構的斷裂失效模式來看,當 ρ1<0且ρ2較小時,裂紋從孔兩邊對稱萌生,初始擴展路徑與水平軸成一定的夾角,在擴展過程中與相鄰孔邊裂紋相互靠近并最終匯合成為S 型單裂紋;當 ρ1>0且ρ2較大時,孔邊裂紋萌生點、初始擴展方向與水平軸的夾角進一步增大并趨向于45°,裂紋擴展方向隨載荷的增加逐漸轉向水平,最終擴展至水平相鄰孔邊形成雙弧線型裂紋.

Sarac等[36]對錯位排列的金屬玻璃異質周期性多孔結構施加單軸拉伸載荷,并認為孔洞附近同時存在拉應力和剪應力,實驗結果如圖10所示,水平相鄰的孔洞之間呈現雙弧線型的裂紋,并逐漸擴展到相鄰的孔洞位置.雖材料不同,該實驗結果與本文多孔結構在相似載荷工況下的模擬結果較一致,可以認為采用本文所提出方法得到的模擬結果是有效可信的.

圖10 錯位排列的金屬玻璃異質周期性多孔結構在單軸拉伸載荷下的斷裂行為[36]Fig.10 Fracture behaviour of MG heterogeneous periodic porous structures under uniaxial tensile loading[36]

對于S 型和雙弧線型裂紋模式來說,隨著 ρ1和ρ2的增大,裂紋萌生、擴展與水平方向的夾角均逐漸增大.當雙軸應力比 ρ1=1.0時,施加面內剪切載荷后,多孔結構呈現出45°斜裂紋擴展模式,而且剪切應力的增大對45°斜裂紋的擴展路徑并無顯著影響.

圖11 給出了在不同多軸加載比例下,周期性多孔結構在豎直方向的拉伸承載極限P22-max隨應力比ρ1和ρ2變化的曲線.曲線上的不同標記點符號對應于表3 中相應的裂紋擴展模式,并以黃色“×”符號表示裂紋擴展模式的轉變點.

從圖11 中可以發現,當雙軸應力比 ρ1固定時,隨著剪切應力比 ρ2的增加,多孔結構在豎直方向的拉伸承載極限顯著降低;而且,ρ1越大,承載極限下降的幅度越明顯,說明本文所研究的周期性多孔結構的抗剪切性能較弱.

圖11 周期性多孔結構在豎直方向的承載極限 P22-max 隨應力比ρ1和ρ2 變化的曲線:(a)保持應力比 ρ2 不變,(b)保持應力比 ρ1 不變,(c)局部放大圖Fig.11 Changing curves of 2-directional extreme load P22-max withρ1 and ρ2 for periodic porous structures:(a) keep ρ2 unchanged,(b) keepρ1 unchanged and(c) partial enlarged graph

當0<ρ2≤0.5 時,隨著 ρ1由負向正增加,即橫向載荷由壓縮向拉伸狀態轉變,多孔結構在豎直方向的拉伸承載能力呈先增加后減少的趨勢;而當0.5<ρ2≤1.0時,結構的承載極限隨 ρ1的增加而降低;說明:隨著剪切載荷的增加,其對多孔結構極限強度的影響逐漸起到主導作用.

此外,當 ρ1=1.0,ρ2=0,即多孔結構承受雙軸等量拉伸載荷時,其極限承載強度達到最大值.

圖12 總結了周期性多孔結構在復雜多軸比例加載范圍內的斷裂相圖.根據表3 中所列出的5 種裂紋擴展模式,斷裂相圖總共被劃分為5 個區域,并用黃色虛線表示斷裂模式轉變的相邊界,圖12(b)、圖12(c)和圖12(d)分別為相圖局部區域的放大圖.

圖12 周期性多孔結構在不同多軸加載條件下的裂紋擴展模式相圖Fig.12 Phase diagram of crack propagation mode for periodic porous structure under different multiaxial proportional loading

在雙軸和剪切載荷同時作用下,周期性多孔結構的裂紋擴展模式主要呈現為S 型與雙弧線型,且這兩種擴展模式的分界線(即相邊界)呈近似線性.當剪切應力比 ρ2≤0.03 時,裂紋擴展模式由S 型向水平裂紋過渡;當雙軸應力比 ρ1≥0.94 時,裂紋擴展模式由雙弧線型向45°斜裂紋過渡;在ρ1≥0.95 且ρ2≤0.04的很小區域內,裂紋擴展模式呈現十字正交型.

觀察圖12 可以發現,當剪切應力比 ρ2趨近于0時,面內剪切應力P12相對于豎直方向的拉伸應力P22已經很小,可以認為RVE 模型退化為承受豎直和水平方向的雙軸比例加載,多孔結構表現出水平裂紋擴展的失效模式;同理,當雙軸應力比 ρ1趨近于1 時,模型承受水平和豎直方向的等量加載并耦合面內剪切加載,多孔結構展示出45°斜裂紋擴展的失效模式;當作用在模型上的多軸應力趨近于等值狀態時,結構表現出十字正交裂紋擴展的失效模式.

4 結論

本文建立了周期性多孔結構的RVE 模型,采用相場斷裂方法結合周期性邊界條件,通過引入兩個多軸應力比控制參數,實現模型在復雜應力狀態下的恒定比例加載,并探究其在多軸比例加載工況下的裂紋萌生、擴展行為和承載極限等力學問題.數值仿真結果得到如下結論.

(1)采用細觀力學方法,建立RVE 模型,施加比例加載的周期性邊界條件,可以正確表征周期性結構的宏觀力學性能.在此基礎上,與相場斷裂方法相結合,可以有效模擬周期性多孔結構在復雜加載條件下的斷裂行為.

(2)周期性多孔結構在雙軸加載狀態下,剪切應力比 ρ2=0.結構在承受單軸拉伸載荷基礎上,另一個方向的拉伸載荷會提高結構的拉伸承載能力,壓縮載荷則會降低結構的承載能力,且雙軸加載下裂紋擴展路徑保持水平.當雙軸應力比 ρ1=1.0時,多孔結構表征出十字正交裂紋的斷裂模式,這是由結構的幾何、載荷和邊界條件的對稱性導致的.

(3)周期性多孔結構在同時承受復雜多軸比例加載條件下,剪切應力比 ρ2>0.從承載極限來看,隨著面內剪應力的增加,結構的極限拉伸強度顯著降低,而且雙軸應力比 ρ1越大,強度極限下降幅度越大;當0<ρ2≤0.5 時,隨著 ρ1增加,多孔結構的抗拉強度先提高再降低;當0.5<ρ2≤1.0時,結構的抗拉強度隨著 ρ1的增加而持續下降,但下降幅度不大.從裂紋萌生與擴展行為來看,周期性多孔結構展現出S 型、雙弧線型和45°斜裂紋型3 種模式;對于前兩者,ρ1和ρ2的增大時,裂紋擴展后與水平方向的夾角逐漸增大;對于后者,ρ2的增大對其裂紋擴展路徑并無顯著影響.