基于博弈論-未確知測度理論的圍巖穩定性評價

彭意飛，張義平，2，黃 薇，侯天亮，蔣云萊

(1.貴州大學 礦業學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州一和科技有限公司，貴州 貴陽 550025)

0 引言

隨著我國經濟和工程技術的迅速發展，隧道、水電站和地下硐室等建設規模不斷擴大數量日益增加，圍巖穩定性分類方法也從定性到定量，單一到綜合發展，圍巖穩定性關系到工程的設計和支護，故合理可靠的評價圍巖穩定性等級備受關注，評價圍巖穩定性受多種不確定性因素的影響，對其進行準確評價有一定難度。對此，學者們基于不同理論建立各種評價圍巖穩定性的模型方法如可拓方法、粗糙集理論、集對聯系數、模糊可變集合、改進物元可拓模型、SVM-GIS模型、PCA-Fuzzy-PSO-SVC模型、模糊綜合評判法等[1-9]。這些方法在評價圍巖穩定性方面都取得了一定進展，但由于工程地質的復雜性和每種方法的側重不同，可能導致評價結果存在差異，如：可拓方法采用的最大隸屬度原則不能全面反映待評價樣本模糊性，信息容易丟失導致結果出現偏差；粗糙集理論在約簡時可能會刪掉影響較大的評價指標；主成分分析在特征值分解上有一定局限，在不屬于高斯分布情況下，得到的可能不是最優主元；粒子群算法和地理信息系統需要掌握專業的計算機知識；模糊數學的隸屬度函數不易確定；一些評價方法受限于需要大量的樣本數據，以上方法不能很好解決評價指標的不確定性，為合理評價圍巖穩定性分級。在前人的研究基礎上，本文建立博弈論-未確知測度理論的圍巖穩定性評價模型，通過博弈論對主、客觀權重進行最優線性組合，權衡專家主觀性和數據的客觀性，針對評價過程中諸多因素的不確定性，利用未確知測度理論和置信度判別準則對圍巖穩定性進行綜合評價。博弈論權衡主、客觀因素同時對指標進行優化組合，未確知測度則可處理各種不確定性并將指標定量化，上述方法無需進行繁瑣計算和掌握專業軟件技能，亦無需大量樣本數據。研究結果表明此模型較為簡單準確，為類似圍巖穩定性評價提供參考。

1 博弈論確定指標權重

指標權重確定是決策者綜合主觀經驗和客觀因素所得，反映指標對評價結果的重要性，為使所選指標能夠最好地反映客觀事實，本文分別采用主客觀賦權法確定評價指標的權重，通過博弈理論將所得的2種權重進行賦權得到最終的組合權重。

1.1 G1法

G1法[10]是郭亞軍學者提出的主觀賦權法，能夠很好地反映專家的經驗，主要是根據指標間的重要程度進行排序，然后比較相鄰指標的重要度從而確定指標權重。

rk=wk-1/wk，k=n，n-1，n-2…，3，2

(1)

c.計算權重系數wi。

計算第n個評價指標的權重：

(2)

而，wk-1=rk·wk,k=n，n-1，n-2，…，3，2

(3)

根據步驟a中的順序關系得到評價指標{X1，X2，…，Xn}的權重向量wi。

1.2 變異系數法

變異系數[11]是一種客觀賦權的方法，變異系數法是根據實測值的差異程度來賦權，差異程度越大則該指標的重要度越高，即權重值越大。

a.計算各指標的標準差Sj。

b.計算各評價指標的變異系數Vj。

(4)

式中：Xi表示各指標的平均值。

c.計算各指標權重。

(5)

1.3 博弈論組合賦權

主觀賦權很大程度上受決策者的主觀意識影響，而客觀賦權是基于實測數據，往往忽略主觀意向，單一使用其中一種都不可避免的存在片面性。故本文采用G1法和變異系數法分別計算出圍巖穩定性評價指標的主觀權重和客觀權重，結合博弈理論，在G1法和變異系數法所求得的權重之間尋求權重最優解，從而得到圍巖穩定性影響評價指標的組合權重[12]。

設有L種方法對指標賦權，得到權重集wk={wk1，wk2，…，wkn}，其中k=1，2，…，L。記L個權重向量的任意組合為w：

(6)

式中：αk為線性組合系數；w表示可能的權重向量集。根據博弈論的思想，可得對策模型：

(7)

由矩陣的微分性質，得式(7)的最優一階導數條件[9]：

(8)

式(8)對應如下的線性方程組：

通過求解線性方程組可得(α1，α2，…，αL)，用式(9)對(α1，α2，…，αL)進行歸一化處理，代入式(10)可得到組合權重。

(9)

(10)

2 未確知測度理論計算

假設m個評價對象Ri(i=1，2，…n個評價指標x1，x2，…xn)，指標集合X={x1，x2，…xn}，若Xij表示評價對象Ri的第j個評價指標的測量值。設每個評價指標Xij有p個評價等級，組成向量C=[c1，c2，…ck，…cp]，同時設ck為圍巖穩定性等級，規定ck>ck+1表示k等級比k+1級高。若{c1，c2，…，cp}滿足c1>c2>…>cp，則稱{c1，c2，…，cp}是評價空間C的一個有序分割類[13]。

2.1 單指標未確知測度

令μijk=μ(Xij∈ck)表示測量值Xij屬于第k個評價等級ck，當μ滿足0≤μ(xij∈ck)≤1，且μ滿足歸一和可加性。則稱μ為未確知測度，簡稱測度。矩陣(11)為單指標未確知測度矩陣[14]：

(11)

2.2 多指標未確知測度

令μik=μ(Xij∈ck)表示圍巖Ri屬于第k個評價等級ck，有:

(12)

則多指標測度評價矩陣為[15-16]：

(13)

這里引入置信度判別準則對評價對象進行評價[17]，若c1>c2>c3>…>cp，令：

(14)

設λ為置信度(λ>0.5，常取0.6)，則可確定評價對象Ri屬于第k0個評價等級ck。

3 博弈論—未確知測度評價模型

3.1 選取評價指標和等級劃分

為驗證所構建模型的準確性和合理性，本文以汪明武、周智勇等[18-19]提供的廣州抽水蓄能電站隧洞1洞段圍巖樣本研究對象，選定的巖石質量指標RQD/%(X1)、巖石單軸抗壓強度/MPa(X2)、巖石完整性系數(X3)、結構面強度系數(X4)、地下水滲水量/L·(min·10 m)-1(X5)等因素為評價指標，結合《工程巖體分級標準》[20]和文獻[18]、文獻[19]將圍巖穩定性記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ級，即對應穩定、較穩定、一般穩定、不穩定、極不穩定，如表1所示，樣本實測數據見表2。

表1 圍巖穩定性等級劃分[18-20]Table 1 Classification of stability of surrounding rock[18-20]指標分級巖石質量指標(X1)/%單軸抗壓強度(X2)/MPa巖石完整性系數(X3)結構面強度系數(X4)地下水滲水量(X5)/[L·(min·10 m)-1]Ⅰ90～100120～2000.75～10.8～10～5Ⅱ75～9060～1200.45～0.750.6～0.85～10Ⅲ50～7530～600.30～0.450.4～0.610～25Ⅳ25～5015～300.20～0.300.2～0.425～125Ⅴ0～250～150～0.200～0.2125～300

表2 各評價指標原始數據樣本[18-19]Table 2 Sample raw data of each evaluation index[18-19]樣本X1X2X3X4X5P126.036.00.220.355P250.040.20.500.5010P352.025.00.200.505P471.090.00.350.3018P575.095.00.700.500P677.590.00.570.4510P750.070.00.500.255P850.934.00.320.3521

3.2 確定組合權重

利用G1法和變異系數法分別求出各指標的主、客觀權重，隨后基于博弈論的組合賦權求5個評價指標的綜合權重，結果如表3所示。

表3 各評價指標組合賦權值Table 3 Weighting value of each evaluation index combinati指標wiwjα1α2w′iX10.233 6 0.135 9 0.812 60.187 40.215 3X20.166 8 0.218 60.812 60.187 40.176 5X30.086 9 0.188 0 0.812 60.187 40.105 8X40.139 0 0.112 1 0.812 60.187 40.134 0X50.373 7 0.345 40.812 60.187 40.368 4

3.3 構建單指標測度函數

(15)

式中：ai、ai+1表示指標等級的取值范圍。

根據式(15)將表2中的樣本數據代入未確知測度函數，得出指標的測度矩陣。本文以巖石質量指標(X1)為例，其測度函數為：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

同理，可得各評價指標的單測度函數如圖1所示。

將表2中5個評價指標的實測值分別代入圖1中，得到單指標測度評價矩陣為：

(a)巖石質量指標的測度曲線

(21)

3.4 計算多指標測度評價向量

根據表2中樣本1的指標組合權重，結合式(12)和單指標測度矩陣(21)得樣本1的多指標測度評價向量：{0.368 4，0，0.139 4，0.230 6，0.261 6}。同理，可得其余樣本的多指標測度評價向量，如表4所示。

表4 各個樣本評價等級Table 4 Evaluation grade of each sampe樣本c1c2c3c4c5本文評價模糊可變集合可拓方法[18]聯系云[18]物元分析法[19]P10.368 400.139 40.230 60.261 6ⅣⅣⅣⅣⅣP200.335 10.519 60.145 30ⅢⅢⅢⅢⅢP30.368 400.278 50.247 30.105 8ⅢⅢⅢⅢⅢP400.271 20.573 60.155 20ⅢⅢⅢⅢⅢP50.468 40.316 90.214 700ⅡⅡⅡⅡⅡP600.706 00.260 50.033 50ⅡⅡⅡⅡⅡP70.368 40.156 80.233 10.174 70.067 0ⅢⅢⅡⅢⅢP800.022 40.644 30.333 30ⅢⅢⅢⅢⅢ

采用置信度準則對評價對象作最后的等級評定[17]，一般取λ=0.6，此時c1，c2，c3，c4，c5分別表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ。從c1到c5：0.368 4+0.139 4+0.230 6=0.738 4>0.6，故樣本P1圍巖穩定性等級為Ⅳ。同理可得其余實測樣本的圍巖穩定性等級(見表4)：樣本P2、P3、P4、P7、P8屬于Ⅲ級，樣本P5、P6屬于Ⅱ級。將博弈論-未確知測度模型與模糊可變集合、可拓方法[18]、聯系云[18]和物元分析法[19]的結果進行對比，得該模型與模糊可變集合、聯系云、物元分析法的評價結果一致，表明基于博弈論-未確知測度模型評價圍巖穩定性是可靠的。而可拓法在計算關聯度時可能存在遺漏重要約束條件導致樣本P7的評價結果出現誤差，本文采用博弈思想組合主、客觀權重，避免單一賦權使評價結果不準確，既考慮決策者的主觀經驗，又反映原始數據的客觀性，一定程度上消除了評價指標間的差異性，同時以未確知測度為基礎引用置信度判別準則對圍巖穩定性進行評價，解決評價指標的不確定性，使得評價結果準確。博弈論-未確知測度模型比可拓方法的評價結果準確，且該模型原理和計算過程較聯系云的可拓模型、物元分析云模型簡單，故博弈論-未確知測度模型具有較好的實用性。

4 結論

a.針對影響圍巖穩定性因素的不確定性，運用博弈論組合權重的思想將G1法的主觀權重和變異系數法的客觀權重進行組合，減少了主觀人為影響和避免了客觀數據差異，使得各指標權重更為可靠。

b.對巖石質量指標、單軸抗壓強度、巖體完整性系數、結構面強度系數和地下水涌水量等5個評價指標建立單指標測度函數，結合博弈論組合權重求出多指標測度向量，引入置信度準則，建立綜合評價模型對圍巖樣本進行等級判定，避免了可拓方法遺漏重要信息的缺陷。

c.將構建的博弈論-未確知測度模型與模糊可變集合、可拓方法、聯系云的可拓模型、物元分析云模型的評價結果進行對比，本文模型與模糊可變集合、聯系云的可拓模型和物元分析云模型的評價結果一致，表明博弈論-未確知測度模型用于評價圍巖穩定性是可行的，且無需收集大量樣本數據就能反映圍巖穩定性情況，相比之下該評價模型更便于實際應用。