剩余類環上全矩陣環的擬零因子圖性質

趙壽祥，唐高華，南基洙

(1.大連理工大學 數學科學學院，遼寧 大連 116024；2. 桂林師范高等?？茖W校 數學與計算機技術系，廣西 桂林 541199；3. 北部灣大學 理學院，廣西 欽州 535011)

令R是一個環。為研究環性質與圖性質之間的關系，人們在環上按照一定關系定義了多種圖(無向圖和有向圖)。如，1988年，Beck[1]將環的所有零因子作為圖的頂點，引入交換環上零因子圖的概念，進而研究環的著色問題。1999年，Anderson等[2]改進了交換環上零因子圖的概念，把環的所有非零零因子作為圖的頂點，并規定2個頂點相連當且僅當這2個頂點的乘積等于零，他們還研究了環性質與圖性質之間的一些關系。2002年，Redmon[3]將環的零因子圖概念推廣到非交換環，即將環的所有非零零因子作為圖的頂點，并規定從頂點x到頂點y有一條邊x→y相連當且僅當xy=0。2008年，Behbood等[4]引入環的強零因子圖概念。2015年，Alibemani等[5]引入環的零因子理想圖概念。文獻[6-8]研究了矩陣環和群環上的零因子圖和中心圖的性質。文獻[9-13]分別研究了高斯整數環、群環、矩陣環的性質與圖的性質之間的聯系。文獻[14]引入環的擬零因子圖概念。文中圖論和代數相關知識可參看文獻[15-16]。

對于環R中元素a，如果存在環R中一個非零元素b，使得aRb=0或者bRa=0成立，則稱元素a為環R的一個擬零因子。如果把環R中所有非零擬零因子組成的集合作為圖的頂點集合，并規定從頂點x到另一個頂點y有一條邊x→y相連當且僅當xRy=0，稱這樣得到的圖為環R上的擬零因子圖，記為Γ*(R)。

下面介紹一些本文要用到的概念。有向圖G是指一個有序三元組(V(G),A(G),ψG)，其中V(G)是非空的頂點集合，A(G)是與V(G)不交的邊集合，ψG是關聯函數，它使G的每條邊對應G的一個有序頂點對。有向圖G的有向路徑是一個有向的點邊交錯序列W=v0e1v1…vk-1ekvk，其中，vi∈V(G)，ej∈A(G)，邊ej是從頂點vj-1到vj的邊，0≤i≤k，1≤j≤k。對有向圖G中的任意2個頂點x和y，如果都存在一條從x到y的有向路徑，那么就稱有向圖G是連通的，否則稱有向圖G是不連通的。對于有向圖G中的頂點x，所有形如x→y這樣的邊的數量總和稱為頂點x的出度；所有形如y→x這樣的邊的數量總和稱為頂點x的入度；頂點x的出度和入度的和稱為頂點x的度。從頂點x到頂點y的所有有向路徑中包含邊數最少的路徑稱為從頂點x到頂點y的最短路徑。對于有向圖G中的2個不同頂點x和y，從頂點x到頂點y的最短路徑中的所有邊數的總和稱為從頂點x到頂點y的距離，記為d(x,y)。

在文獻[14]基礎上，本文研究剩余類環Zm上全矩陣環Mn(Zm)的擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))的一些性質，分別給出矩陣A是圖Γ*(Mn(Zm))中的頂點的充分必要條件，以及圖Γ*(Mn(Zm))中任意2個頂點的距離等于1、2、3的充分必要條件。最后證明2個剩余類環上全矩陣環的擬零因子圖是同構的當且僅當全矩陣環所在的剩余類環同構，且全矩陣環的階數相同。

1 預備引理

2 主要結果及證明

故A·Mn(Zm)·B≠0，即在擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))中從A到B之間不存在邊相連，這與A→B矛盾。因此，假設不成立，即命題成立。證畢。

推論1擬零因子圖Γ*(Mn(Zm))是一個空圖當且僅當剩余類環Zm是一個域。

其次證明 ②。

進而d(A,B)=2。

A·Mn(Zm)·C=C·Mn(Zm)·B=0

最后，由Γ*(Mn(Zm))的直徑小于等于3和結論 ①、②就能得到 ③。證畢。

推論2在圖Γ*(Mn(Zm))中任取2個頂點A=(aij)和B=(buv)，以下結論成立：

①d(A,B)=1?d(B,A)=1；

②d(A,B)=2?d(B,A)=2；

③d(A,B)=3?d(B,A)=3;

從例1可知剩余類環上全矩陣環的擬零因子圖和剩余類環的子系統上擬零因子圖之間并沒有相互包含關系。

定理3設Zm1和Zm2為2個剩余類環,則擬零因子圖Γ*(Mn1(Zm1))和Γ*(Mn2(Zm2))同構當且僅當等式n1=n2和m1=m2同時成立。

證明充分性顯然成立。下證必要性。

由定理3的證明過程可得以下推論3。