基于單光子探測器恢復時間的誤碼率分析

李曉亮，劉榮科，王 巖，王建軍，劉向南

（1 北京航空航天大學電子信息工程學院 北京 100191；2 北京遙測技術研究所 北京 100094；3 中國人民解放軍63618部隊 庫爾勒 841000）

引言

單光子探測器憑借極高的探測靈敏度，在量子計數、量子通信、激光測距、激光雷達、天文觀測、激光通信、生物光子學和醫學光子學等領域有著廣泛的應用[1?6]。隨著人類對宇宙的探索，深空探測的距離越來越遠，科學探測的內容也越來越多，對數據回傳的速率要求也越來越高，現有的微波通信已難以滿足深空通信要求，而激光通信在深空探測中的應用變得日益迫切。在深空激光通信中，采用單光子探測器和脈沖位置調制是提高通信靈敏度和通信速率的兩項關鍵技術。

單光子探測器的恢復時間（死時間）是決定激光通信速率的關鍵指標。單元探測器的恢復時間用計數率的倒數來衡量。對于常用的超導納米線單光子探測器（Superconducting Nanowire Single Photon Detector,SNSPD），當處于低溫超導狀態的納米線接收到光子后，會形成“熱島”破壞了超導態進入電阻態，超導材料的熱弛豫時間很短（～10 ps），在探測器兩端將產生一個快速電脈沖[7]。但由于電路中動態電感的存在，電信號消失比較慢，一般在幾納秒到幾十納秒，因此超導納米線單光子探測器的計數率一般在100 MHz 以下。SNSPD 常采用減小超導納米線長度（接收面積）和多元拼接的方法來降低探測器的恢復時間。對于另一種常用的單光子探測器—蓋革模式的雪崩光電二極管（Avalanche Photo Diode，APD），后脈沖是影響計數率的關鍵因素。后脈沖是雪崩光電二極管接收到光子產生雪崩效應，一部分雪崩電子被類似缺陷能級俘獲，在隨后一段時間內釋放出來，引起新的雪崩現象而產生的脈沖信號。此時無法區分脈沖信號是由于新光子到來形成的，還是后脈沖產生的，從而導致計數錯誤。APD 常采用門控方法和淬滅方法來降低死時間[8,9]。

為提高激光通信速率，在盡量降低探測器恢復時間（死時間）的同時，通常采用光學分集接收和多元單光子探測器探測方式。例如，美國月球大氣與粉塵環境探測器項目中的月球激光通信演示（Lunar Laser Communications Demon-stration，LLCD）系統[10]，采用四個400 mm望遠鏡分集接收技術，并且每個望遠鏡采用一個四單元超導納米線單光子探測器，實現了月地下行鏈路622 Mbps 的高速通信速率。

誤碼率是衡量激光通信質量好壞的一個關鍵指標，它與探測器恢復時間、通信速率等參數密切相關。南京大學閆夏超等基于接收到的光子服從泊松分布模型，分析了采用超導納米線單光子探測器的深空激光通信的誤碼率[11]，但沒有考慮探測器恢復時間的影響；重慶郵電大學鄧晨輝等建立了單光子探測器陣列接收機的誤碼率模型并進行了仿真，給出了恢復時間影響多個時隙情況下的光子探測陣列接收PPM 系統的誤碼性能[12]，但沒有對恢復時間超過一個符號時隙長度的情況進行分析。

本文將從單光子探測器的恢復時間特性出發，推導出探測器單元探測概率和虛警概率。建立基于信號“或”硬判決和基于最大計數值硬判決的多元單光子探測器陣列誤碼率模型，并給出理論仿真結果，可為后續的工程設計提供技術參考。

1 探測概率與虛警概率

1.1 單光子探測器單元的探測概率

探測概率是發送信號為“1”時（簡稱信號時隙），正確檢測出來的概率。當單光子探測器的恢復時間大于時隙寬度時，恢復時間內的某個時隙發送信號“1”，此時系統無法正確判斷探測器輸出的信號是當前信號時隙產生的，還是前一個信號時隙產生的。因此探測器單元的探測概率為

式中，p1work為該探測器可以正常工作的概率，即在光子達到前的恢復時間內未探測到光子的概率；p(1|1)為探測器在正常情況下的探測率，與探測器的暗計數噪聲、到達探測器單元的平均信號光子數和平均背景光子數有關。

式中，ns為一個信號時隙內到達單元探測器上平均信號光子數；nb為一個單元探測器在一個時隙內的平均背景光子數；nc為一個單元探測器在一個時隙內的暗計數；μ為探測器的量子效率。當前發送信號為“1”，探測器可正常工作的概率為

其中，p′(0|0)為發送信號“1”到達之前的恢復時間長度內未探測到背景光子的概率，p′(0|0)=exp[-(μ?nb+nc)d]；p′(0|1)為發送信號“1”到 達之前的恢復時間長度內未探測到信號光子數的概率。在恢復時間內出現信號時隙的個數（稱為信號時隙數）與PPM 的階數M、恢復時間所占時隙數有關。

式中，d為恢復時間所占時隙數目；M為PPM 的階數（即每個符號所占時隙數目）；k為d/M的整數部分，r為d/M的余數部分。

當前信號時隙出現的位置i不同，則信號時隙數也不同。當1≤i≤r-1 時，如圖1 中的第①種情況，如果第k+1 個符號內信號時隙出現在r-i區間，則信號時隙數為k+1，按照傳輸信息符號等概率分布考慮，則此時概率為(r-i)/M；如果第k+1 個符號內信號時隙未出現在r-i區間，則信號時隙數為k，此時概率為(M-r+i)/M。同理，當r≤i≤M時，如圖1 中的第②種情況，如果第k個符號內信號時隙出現在(M+r-i)區間，則信號時隙數為k，此時概率為(M+r-i)/M；如果第k個符號內信號時隙未出現在(M+r-i)區間，則信號時隙數為k-1，此時概率為(i-r)/M。因此，信號時隙數有k-1、k、k+1 這三種可能，出現的概率與當前信號時隙位置關系如表1所示。

圖1 恢復時間與時隙位置示意圖Fig.1 Recovery time and slot position

表1 發送信號“1”時不同信號時隙數的概率Table 1 Probability of signal slot within sending signal “1”

因此，信號時隙前的恢復時間長度內未探測到信號光子數的概率為

單光子探測器的探測概率為

1.2 單光子探測器單元的虛警概率

虛警概率是當發送端發送信號為“0”（簡稱非信號時隙），探測器誤輸出脈沖信號的概率為

式中，p(1|0)為探測器在非信號時隙探測到光子的概率，表示為

p0work為在光子達到前的恢復時間長度內未探測到光子的概率，即這段時間內既沒有探測到信號光子和背景光子，也沒有暗計數產生，其計算公式如下：

當d=k?M+r時，則信號時隙數有k－1、k、k+1、k+2 這四種可能，出現的概率與當前信號時隙位置i有關，如表2所示。

表2 發送信號為“0”時不同信號時隙數的概率Table 2 Probability of signal slot within sending signal “0”

同理可推導：

因此，單光子探測器的虛警概率為

2 誤碼率模型

2.1 單光子探測器陣列的誤符號率

對于單光子探測器陣列接收機，信號的判決分為硬判決和軟判決兩種。硬判決在解調時根據接收機接收到的光子計數值直接判別信號時隙的位置，軟判決在解調時只是根據接收機接收到的光子計數值，對信號時隙的位置進行概率統計，解碼時根據統計的概率進行綜合判斷，給出信號時隙最可能出現的位置（最大似然估計）。由于軟判決的計算相當復雜，一般采用硬判決。常見的硬判決有兩種：一種是采用信號“或”的方式，當陣列接收機有一個探測器單元接收到信號，則認為該時隙為信號時隙。這種方式適用于信號光弱、背景光與暗計數相當低的情況；另一種是采用光子計數值最大的時隙作為信號時隙，這種方式可一定程度地減小背景光與暗計數的影響。

2.1.1 信號“或”方式硬判決的誤符號率

采用信號“或”方式，在任何一個時隙內只要探測器陣列有一個探測器單元探測到信號，則認為該時隙有可能為信號時隙。美國的月地激光通信鏈路中LLCD 采用4 個望遠鏡分集接收方式，每個望遠鏡接收到光信號通過多模光纖耦合到4單元的超導納米線單光子探測器陣列上，采用信號“或”的方式進行硬判決，從而實現下行鏈路的622 Mbps 的遠距離高速通信。這種方式誤符號的概率為

式（13）中等式右邊第二項表示為正確檢測到發射信號“1”的概率，信號時隙隨機出現在1～M時隙內的任何位置i。當前面i-1個位置都未檢測到信號，而第i個位置檢測到信號則認為該位置為信號時隙位置（后面不再檢測和考慮）。此時正確檢測的概率為

式（13）中等式右邊第三項表示為在信號時隙和無信號時隙都未檢測到光子，從M個位置中隨機選取一個位置作為信號時隙的正確概率。

2.1.2 最大計數值硬判決的誤符號率

采用最大計數值進行硬判決時，假設探測器陣列的單元數為N，則單光子探測器陣列的最大計數值的取值范圍為0～N。此時有三種情況能夠正確探測到信號時隙位置：一是在信號時隙有k個單元探測到光子，非信號時隙探測到光子的單元數小于k；二是在信號時隙有k個單元探測到光子，同時有m個非信號時隙也有k個單元探測到光子，則此時正確判決的概率為1/(m+1)。當m=0 時，即為第一種情況。第三種情況是所有時隙均未探測到光子，此時正確判決的概率為1/M。接收機有k個單元接收到光子的概率分布函數為

因此采用最大計數值硬判決的誤符號率為

2.2 單光子探測器陣列的誤碼率

檢測出PPM 的符號后，每個符號通過編碼的逆映射到log2M個比特的串上。假設所有誤符號概率都相等，則誤碼率為

采用硬判決解碼，進行符號判決后送到RS(n,k)解碼器，可糾正多種形式的錯誤。當信道狀態由符號擦除占主導時，RS 解碼器的性能會得到改善，擦除RS 解碼器不會產生未被發現的錯誤。當接收碼字中擦除的數目為dmin=n-k+1 或更少時，此時碼字都能被正確解碼；當接收碼字的擦除數目超過dmin時，解碼器會發出警報并且無法正確解碼。因此在擦除信道中，RS 編碼后的誤碼字率為

采用RS編碼解碼時系統的誤碼率近似為

3 仿真分析

從上述理論分析可以得到如下結論：無論是編碼前還是編碼后，無論是采用信號“或”硬判決還是采用最大計數值硬判決，系統的誤碼率均與時隙內信號光子數、背景光子數、器件暗計數、通信速率、PPM 調制體制階數、接收陣列探測器單元數和恢復時間等參數有關。下面進行仿真分析，并得到如圖2～圖10所示的仿真結果。

圖2 未編碼N=16時的誤碼率（信號“或”）Fig.2 BER with no coding in N=16(signal “or”)

圖3 編碼后N=16時的誤碼率（信號“或”）Fig.3 BER with coding in N=16(signal “or”)

圖4 編碼后N=4時的誤碼率（信號“或”）Fig.4 BER with coding in N=4(signal “or”)

圖5 編碼后N=9時的誤碼率（信號“或”）Fig.5 BER with coding in N=9(signal “or”)

當采用信號“或”硬判決方式時，圖2給出了編碼前通信速率為1.22 Gbps、暗計數為100 cps、背景光子數為1 000 光子數/秒、16-PPM、接收陣列探測器單元數為16 時，未編碼時誤碼率在不同恢復時間、不同信號光子情況下的關系示意圖；若采用高效糾錯的RS(15,8)編譯碼，則編碼后的誤碼率如圖3 所示。圖4～圖7 分別給出了接收陣列探測器單元數N=4、9、25、36，RS(15,8)編碼后的誤碼率曲線。

從圖3～圖7的仿真結果可以看出：采用多元探測器可有效克服探測器恢復時間的影響，降低系統的通信誤碼率。為滿足通信誤碼率優于10-7的要求，當接收機探測器單元數為4時，探測器恢復時間應≤3.2 ns；當接收機探測器單元數為9 時，探測器恢復時間應≤4.8 ns；當接收機探測器單元數為16 時，探測器恢復時間應≤7.2 ns；當接收機探測器單元數為25時，探測器恢復時間應≤10 ns。

圖6 編碼后N=25時的誤碼率（信號“或”）Fig.6 BER with coding in N=25(signal “or”)

圖7 編碼后N=36時的誤碼率（信號“或”）Fig.7 BER with coding in N=36(signal “or”)

當采用最大計數值硬判決時，圖8給出了采用RS(15,8)編碼，通信速率為1.22 Gbps、暗計數為100 cps、背景光子數為1 000 光子數/秒、16-PPM、接收陣列探測器單元數為16 時，誤碼率在不同恢復時間、不同信號光子情況下的曲線關系。對比圖3 與圖8，可以看出兩者變化曲線比較接近，但采用信號“或”硬判決更有利于降低通信誤碼率，這種情況適用于在背景光子數比較少的時候。隨著背景光子數的增加，采用最大計數值硬判決的優勢逐漸越來越明顯，如圖9～圖10 所示。當背景光子數增加到一定程度，如背景光子數超過109個/秒時，信號“或”硬判決方式已經不再適用，無論探測器恢復時間再短也達到不到誤碼率優于10-7的通信要求，此時采用最大計數值硬判決在探測器恢復時間較短時，還能滿足誤碼率優于10-7的要求。

圖8 編碼后N=16時的誤碼率（最大計數）Fig.8 BER with coding in N=16(maximum count)

圖9 背景光子數為108光子/秒時的誤碼率曲線Fig.9 BER with 108/s photons in background

圖10 背景光子數為109光子/秒時的誤碼率曲線Fig.10 BER with 109/s photons in background

4 結束語

從單光子探測器的恢復時間特性出發，推導了探測器單元探測概率和虛警概率模型，建立了基于信號“或”硬判決和最大計數值硬判決的多元單光子探測器陣列誤碼率模型。仿真分析結果表明：在16-PPM 調制體制、RS（15,8）編碼下，為實現通信速率為1.22 Gbps、誤碼率優于10-7，當探測器單元數為4 時，探測器單元恢復時間應≤3.2 ns；當探測器單元數為25 時，探測器單元恢復時間應≤10 ns。同時在背景光子數較少（如夜晚）的情況下，采用信號“或”硬判決可以降低系統誤碼率，在背景光子數較多（如白天）的情況下，必須采用最大計數值硬判決方式。