受限水平狹縫中液橋的形貌和毛細力計算

馬姝靚,程震宇,陽 麗

(廣西師范大學 物理與科學技術學院,廣西 桂林 541004)

對于混凝土、裂縫巖石這樣的連續孔隙介質，當窄縫孔隙中滲透入一定量的雨水或者灌溉水等液體時，孔隙水壓力的變化會引起固體的微小形變，其力學特性也會隨之發生變化[1].例如，對于平行固體之間的狹縫，液體在孔隙中會形成小液柱(稱為液橋)，孔隙之間填充形成的液橋會產生靜態毛細管力和動態黏附力，使得土壤、巖石之間孔隙減小滲透率降低，這是土壤滲流中的一個重要規律.充分理解裂縫性多孔介質中的液體運移現象是成功描述許多工業過程的關鍵，如采油[2]、農業灌溉和排水[3]、印刷或涂層過程[4]、清潔應用中與多孔材料相連接的液體吸芯[5]、電子元器件的微型化封裝過程[6]等.因此，研究液體量和液體形貌變化對天然氣管道輸運、微機電系統、微電子組裝、土壤和巖石力學行為的影響具有十分重要的意義.

目前，對于兩固體平面間的靜態液橋結構，學者們大都采用有限元、有限體積軟件、蒙特卡羅模擬、分子動力學軟件等進行數值模擬或簡化理論計算分析[7-13].例如，Van Gols-Racht[7]研究裂縫中形成穩定的液體橋的條件，認為如果裂縫孔徑在50 μm以上，就無法實現沿一堆基質塊的毛細管連續性，毛管連續現象是裂縫性油藏原油滲流和裂縫性含水層污染物運移的重要原因.Dejam等[8]通過形成液橋模擬了多孔基質塊之間的毛細管連續性，認為裂縫毛細管壓力和塊體間的相互作用會顯著影響巖石基質塊體中物質的運移.Broesch等[9]利用Surface Evolver軟件仿真狹長裂縫幾何形狀中非軸對稱毛細管橋的形態演變，對比模擬和實驗關于扎釘角隨著高度變化的結果，發現理論結果隨著板間距的增加出現了偏差，認為這是由于模擬中的3個假設導致毛細橋的平均曲率被高估了.Dejam等[10]對平行狹縫間液體橋的靜態形狀進行了理論研究，提出了一種新的無量綱分析楊-拉普拉斯方程，其中液體橋表面的形狀可以用α和β表示為定義的無量綱參數，得到了描述液橋氣液界面變化的積分，并對其進行了數值求解.朱朝飛等[11]通過張力等效方法建立液橋的三維受力模型, 采用不考慮重力的球形近似求解液橋形態微分方程，研究狹長平行板間液橋的形態特征參數隨著接觸角、接觸長度和寬度等形態方面的參數變化的規律，以及液橋毛細力大小的變化，并將理論結果與Surface Evolver軟件仿真結果對比.張昭等[12]研究平行的片狀顆粒之間的液橋從形成到斷裂的毛細力的演化規律，并分析液橋形成時毛細力與液橋體積和固體接觸角的關系.杜凡等[13]關注平行板間薄液層的退縮和瞬間斷裂過程，觀察到液體的柱對稱形態，并計算了斷裂過程中液體內部或液體與固體之間的力.

國內外學者主要關注的是(不受限)無限大的固體平面間的液橋，現有模型多為等徑/不等徑球形雙顆粒模型、球形-平面模型、平面平行固體表面模型、圓柱-平面模型、圓錐-平面模型等[14].出于計算簡便，液橋一般近似為圓柱形狀，即將液橋的形態近似為以半弧形液橋繞中心軸線旋轉一周形成的三維形狀(圓環假定)[15].關于固體平面間液橋的研究還需考慮幾個問題：首先，環形近似使得液體橋表面有非恒定平均曲率，這與楊-拉普拉斯方程不一致[16]，而且環形近似只對于足夠小的液體體積和分離距離的液橋是準確的；其次，對于狹縫中的液體，固體平面提供了一個基本的約束空間，在平板幾何中流體被限制(受限空間)在兩個平行的平面固體壁面之間；最后，實驗中觀察到具有一定寬度的狹縫間的液橋并不是規則的圓柱體，而是呈現出類馬鞍形狀[17-18].因此，有必要對受限空間，例如狹縫間液橋的形貌曲面規律進行深入研究.本文以拉普拉斯方程為理論基礎，采用橢圓弧幾何近似法，對受限平行狹縫間的液體形貌特征參數進行數值計算，推導出液橋體積和毛細力的計算公式，從而探究受限空間和不受限空間內液橋的形貌變化規律的區別.

1 模型和計算方法

圖1為水平裂縫之間液橋的簡化模型，θ是固液接觸角，α是三相接觸線的釘扎角，Rn為兩端液面最細處寬度.以裂縫寬度方向為X軸，長度方向為Y軸，以此建立三維直角坐標系，M(xm，ym，zm)為液面輪廓線上任意一點.rc、rd分別為液橋側面和端面的曲率半徑，H是裂縫表面間距，W為裂縫寬度.模型基于3個假設：1)將狹縫簡化為一對平行的不考慮表面粗糙度的平面；2)不考慮重力作用，液橋形態呈現軸對稱分布；3)兩端液面最細處的“頸部”半徑為狹縫寬度的一半.隨著兩板間距的變化，液固界面寬度受狹縫長度方向的邊界約束保持不變，但液橋會沿著狹縫長度方向自由地伸長縮短，即液橋具有平動的不變性.液橋的形貌隨上下狹縫平面間距的變化而不同.

圖1 水平裂縫中的液橋模型

1.1 液橋體積的計算

液橋的力學特征取決于其表面幾何形狀，因此需要對液橋表面形貌進行準確的計算.由于液橋中段和兩端的形狀各異，因此液橋總體積為兩部分之和：

V=Vtwo ends+Vmiddle,

(1)

液橋的兩端呈現類馬鞍形狀，彎月面的輪廓呈現弧形，因此任意一點M的坐標為：

ym=Rn+rd-rdsin(β1+θ),

zm=rd[cosθ-cos(β1+θ)],

其中兩端和兩側角度的積分微元取值范圍分別為β1∈[0,π-2θ],β2∈[0,π-2α].將液橋三相接觸線在xy二維平面內采用橢圓方程描述(橢圓弧假定)[15-16]，通過數值積分可以得到液橋兩端體積為[19]：

(2)

液橋中段的體積[20]為：

(3)

其中Ly表示中段潤濕長度，可通過計算系統的總能量(包括液氣、固液和固氣接觸面)，然后根據能量最小化原理得到

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)中，可將液橋的總體積表示為α的函數表達式.假定液體在短時間內不可壓縮，并忽略蒸發，則液橋的體積在狹縫空間內不變.當γ、θ、V、H、W等參數可測量時，可以求得液橋的形貌特征參數α和Ly的數值，進一步得到液橋上任意一點M的坐標，從而掌握液橋的所有幾何特征值.

1.2 毛細力的計算

毛細力是毛細壓力差和表面張力共同作用的結果，這與液橋的幾何形狀和潤濕特性有關.通過計算液體作用于固體表面的壓力和表面張力可以得到，即液橋在豎直方向上受到液氣界面內外壓差產生的拉普拉斯力FL(沿著固體被濕潤區域的液橋軸線方向)和液氣界面張力在軸線方向上的分量FT(在三相接觸線上沿著液橋軸線方向).總的毛細力可以寫為

(5)

其中：Ω表示液體與上部固體接觸的潤濕區域的表面積,lu表示上部固體表面三相接觸線的長度，ΔP為液橋內外界面壓力差(毛細壓力)，ΔP=Pin-Pout.可根據楊-拉普拉斯方程計算得到

(6)

(7)

其中：γ是液體表面張力系數,rd和Rn是兩個正交方向的主曲率半徑,rd=H/(2cosθ),這里規定若半徑在液橋內部，則其符號為正;若半徑在液橋外部，則其符號為負.在沒有重力的情況下，ΔP為常數，它的值由H、θ決定.

三相線上液體表面張力引起的拉力在液橋軸線方向的作用力FT為：

FT=γlu,

(8)

將式(6)～(8)代入式(5)可得(液橋力)毛細力表達式為：

(9)

2 模型驗證

下面基于本文的理論模型對影響狹縫內的液橋形貌的參數進行研究.影響參數包括液橋體積V、板塊寬度W、接觸角θ、液橋高度H、表面張力γ，液橋幾何特征參數釘扎角α、Ly和M的坐標值直觀反應了液橋的形貌.當V、W、θ、γ、H的數值通過實驗測量得到之后，利用matlab求解隱式方程組(1)～(4)即求解得到α的數值，繼而得到M的坐標和Ly的數值.再通過式(9)得到相應的毛細力的結果.

首先關注狹縫的關鍵參數H、W、θ對α、Ly的影響.圖2(a)將等式(5)的計算結果與實驗結果[9]的H-α曲線進行對比，點狀為實驗結果，實線為計算結果，可以看到兩者具有很好的一致性.但是當狹縫間距較大的時候，計算值與實驗值之間出現了微小誤差，這可能是由于重力引起的液橋不對稱情況導致的，本文模型中并未考慮到重力引起的液橋形變.從圖2(a)中看出，在低于H時，α是銳角，隨著H的增加，α變為鈍角，差不多增大到160°左右.因此釘扎角的變化主要劃分為3個范圍：70°<α<90°，α=90°和90°<α<180°.釘扎角的增加與平均曲率從凹(負)到凸(正)的過渡有關.圖2(b)顯示彎月面的變化示意圖，其中暗含液橋側面曲率的變化.當α為銳角的時候，側面曲率rc為正值，平均曲率為負值，液面內凹.當α為鈍角的時候，側面曲率rc為負值，平均曲率為正值，液面外凸.α增加意味著液橋彎月面隨著間距的增大由凹(concave)變為矩形框(rectangular box)，最后變凸(convex).這是因為狹縫中的液橋隨著距離的增加，其長度同時在收縮(圖2(c))，液橋逐漸變短變粗.同樣的狹縫寬度時，體積越大，液橋長度越長.同樣的體積時，寬度越小，液橋越長.其次關注液體接觸角對α的影響.圖2(d)給出了改變接觸角時H-α變化曲線.從圖中可以發現，接觸角對液橋的形貌影響也比較大.在同一個體積和寬度下，接觸角越大，隨著H的增加，α角越大，即液橋兩側越凸.液橋的兩端形狀能直觀的反應出觸角的影響，在親水情況下，即θ小于90°時，液橋兩端彎月面一直為凹液面;在疏水情況下，即θ大于90°時，液橋兩端彎月面一直為凸液面[16].

圖2 理論計算結果(溫度25 ℃，純水表面張力γ=0.072 75 N/m)

3 毛細力的計算結果

在相對較大的體積和較小的分離距離下，根據式(5)計算得到毛細力的關系曲線.為定性表示結果，將毛細力采用無量綱處理，可知任意體積、寬度、表面張力等條件下毛細力.圖3(a)顯示了無量綱毛細力以及其中的兩項隨H/W的變化趨勢.可以看出毛細力與單獨參數V、H、W無關，與H/W和θ的比值密切相關.此結果與文獻[9]中有限元軟件Surface Evolver軟件模擬數值結果一致，驗證了本文理論分析的正確性.

圖3 毛細力理論計算結果

圖3(a)結果顯示Fcap、FL、FT隨著液橋狹縫體積寬度比的增大而減小.在不同的體積或寬度情況下,Fcap、FL、FT幾乎相等，這與Valencia等[17,21-22]的模擬結論一致.圖3(a)表明F-H/W曲線明顯表現出兩個階段，即隨著間距增大而減小的(絕對值)快速下降階段和最后趨于平緩階段.當距離較小時，Fcap、FL、FT下降趨勢較快；當距離較大時，下降趨勢減緩.當F為負值(negative)的時候，液橋兩側彎月面呈現凹形(圖2(b)中concave)，液橋表現為毛細引力，液橋的存在使得狹縫上下平面相互聯結，F值越大，液橋的穩定性越好.當F為正值(positive)的時候，彎月面呈現凸形，液橋力為毛細斥力.狹縫間的毛細連結作用會受到液橋的穩定性降低的影響而減弱.

分別計算出毛細力中的FT和FL,可以看到，FL這項的正負值取決于ΔP的符號.當H增加時，附加壓力ΔP指向液面的曲率中心，當液面為凹液面時為負值，凸液面時為正值.相應的FL曲線有3個特征階段，隨著距離的增加其值(絕對值)下降—過渡—隨著距離增加而增加.當H/W約為1時，液橋側面彎月面發生從凹到凸的過渡，平均曲率從負值到正值的轉變，同時扎釘角從小于90°變成大于90°的過渡，FL從吸引力變為排斥力.大約在H/W=1.45時，FL達到最大值.隨著H/W增加，FT絕對值慢慢減小，但是力始終為負值，為吸引力.因為FT是表面張力在垂直方向的投影，它的作用是將固體表面移近減少液氣界面的面積，從而減小表面自由能.總體來說，當H增加時，FL從負值變成正值，FL從吸引力變為排斥力.但是在相同的H/W處，FT項在數量級始終超過FL分量，它起主要作用，所以總的毛細力始終是吸引力.如果H/W繼續增加，當液橋的頸部變為最窄后，液橋不能再承受任何形式的拉伸，最后液橋斷裂.

圖3(b)結果表明，毛細力與接觸角的大小有著密切的關系，毛細力隨接觸角的減小而增大，隨H/W的增大而減小.θ越大，液橋兩端液面的曲率rd越大，從而式(6)中ΔP的數值(絕對值)越小，因此毛細力越小.

4 討論

本文計算得到的液橋形貌變化規律與經典液橋模型得到的規律不盡相同.主要表現為狹縫間液橋隨著間距變化變得“越短越胖”，扎釘角隨著高度增加而增大.而典型(不受限空間)兩球形模型或者兩平面模型之間的液橋形態變化是從凸變為凹或者凹形逐漸變細，即填充角隨著高度的增加而減小.當間距到達臨界高度之后，液橋最終斷裂.出現不同現象的原因有4個：1)兩狹縫之間的空間為受限空間，受限空間內的液橋的寬度阻止了三相接觸線沿橋的寬度方向擴展，這點與兩圓柱形纖維間液橋的形貌變化規律相似[23].而不受限空間中液橋可以向四周拓展[24-25],這也是受限空間液橋規律與不受限空間中液橋規律的最大不同點.2)本文計算中間距的數值遠沒有達到斷裂高度，沒有涉及臨界斷裂高度和液橋破裂能的計算，而大部分文獻中研究的是接近斷裂高度的液橋變化規律.3)本文研究的液橋體積較大，為毫升數量級，而大部分文獻中，例如Swain等[26]研究的是小體積液橋，微納米量級.當小體積的液橋高度接近斷裂距離時，因為其表面(最細的“頸部”處)的自由能變小，出現斷裂.4)大部分文獻中，例如Valencia等[17]研究的是接觸角為0的液橋，當兩個表面之間的潤濕液體可自由調整但不能自由平移的時候，小體積液橋形態為“anvil-like”形狀，與本文中討論的大體積液橋不同.Yaneva等[27]研究的是大接觸角(θ=73°)和小體積(V/W3=0.65)接近臨界斷裂點的高度下的液橋，因此出現了填充角隨著高度的增加而減小的現象.

5 結語

關注受限的水平狹縫中的液橋的三維形貌，使用橢圓近似方法計算液橋的體積以及分析參數對體積的影響.具體為建立了液體在水平狹縫內的外觀輪廓的理論模型，采用橢圓弧假定推導出液橋體積和毛細力的計算公式.分析軸對稱液橋形貌特征參數受到液體體積、間距、接觸角和寬度等諸多因素的影響規律.將計算結果與實驗結果和有限元軟件模擬的結果相比較，吻合結果良好,說明該模型能較好地預測和描述液橋形貌及其輪廓特征參數.此外,計算結果表明毛細力隨著高度寬度比的增大而減小之后趨于平緩.總的來說，雖然拉普拉斯力隨著高度寬度比的增加，從吸引力變化為排斥力，但液橋內部仍以表面張力為主，所以總的毛細引力為吸引力.受限狹縫內的液橋隨著間距的增加由凹變凸，即液橋逐漸變短變胖，這與不受限空間的液橋形貌變化大不相同.

本文模型為流體靜力平衡中的液橋，也可用于探索液體對顆粒材料結構由干化-濕化的水力-力學耦合作用的細觀機理和孔隙流體的液橋效應.但是理想模型沒有考慮到液橋不對稱、平面的粗糙度、液體重力因素等影響，使得模型及計算方法仍具有可開發性.后面將考慮更加復雜的不規則平面之間液橋問題以及液橋斷裂的動態過程，以期能更深入了解狹縫中液體的形貌和受力狀態.