建立聯系：讓復習有深度
——以“立體圖形的表面積和體積復習課”為例

江蘇省南京市溧水區第三小學 易 露

一、教學目標

（1）復習立體圖形表面積公式和體積公式的推導過程，并歸納、分析各立體圖形表面積和體積計算方法的內在聯系。

（2）經歷觀察、探究、發現直柱體體積間的聯系和表面積間的聯系的過程，培養學生發現與提出問題的能力以及歸納和推理的能力。

（3）在解決問題的過程中讓學生獲得成功體驗，激發學生的學習興趣。

二、教學過程

（一）創設真實情境，激發思維活力

（出示：有圓柱的車庫圖）

師：在這個地下車庫里，你看到了什么？想求什么？

生1：我看到四個圓柱，想求它們的體積。

生2：如果給圓柱的側面刷油漆，可以求刷油漆的面積。

生3：還有整個車庫是個沒畫完的長方體！可以求它的容積和表面積。

師：大家的空間想象力真豐富！剛才的問題都是關于立體圖形的表面積或體積的。今天，我們就一起來溫習這些知識，看看會不會有新的收獲。

【設計意圖】情境圖的創設使學生將思維聚焦到立體圖形的表面積和體積上，既揭示了課題，又體現了數學與生活的密切聯系。另外，長方體空間沒有完整呈現，也是對學生空間想象力的一次挑戰。

（二）梳理交流分享，促進思維條理化

師：大家選擇了不同的整理方式對知識進行梳理，現在，誰來帶我們回顧立體圖形表面積和體積的相關知識呢？

生1：（上臺）我來介紹立體圖形的表面積，長方體是S=2（ab+ah+bh），正方體是S=6a2，圓柱是S=2πr2+2πrh。

生2：長方體和正方體的表面積都是求出表面六個面面積的總和。圓柱的表面積是求兩個圓形底面和一個側面的面積和。

師：知其然還知其所以然，為你點贊!誰能介紹介紹體積呢？

生1：長方體的體積計算是用長、寬、高三者相乘得到的。圓柱是將它轉化成長方體來計算體積。圓錐的體積是通過和與它等底等高的圓柱體積進行比較得出的。

生2：我補充一下長方體體積公式其實是用體積單位進行測量的，體積單位的個數可以用“長×寬×高”來計算。

師（出示課件，見圖1）：觀察體積的計量方法和面積、長度的計量方法，你有什么發現？

圖1

生1：我發現它們其實是相通的，計量體積就是看其中有多少個體積單位，計量面積就是看里面有多少個面積單位。

生2：我來具體解釋一下，計量長度就是看里面有多少個長度單位。只不過長度可以直接數出來；面積有長和寬兩個維度，可以用一行的個數乘行數；體積有長、寬、高三個維度，可以先用長和寬求出一層的個數，再乘層數，也就是高。所以，無論長度，還是面積或體積的計量的道理是一樣的。

師：分析得既透徹又深入！

【設計意圖】在課堂上給學生提供充分的時間和空間，讓學生在課堂上像“小先生”一樣地講解，充分體現了學生的主體地位。引導學生從體積的推導過程中反思發現，這與面積和長度的計量方式是有聯系的，并發現它們都是計量單位的疊加過程。

（三）溝通聯系體積，提高思維靈活性

1.再認識直柱體體積

師：看來這些都難不倒你們，（出示圖2）這兩個立體圖形的體積，你會求嗎？

圖2

生1：左邊的可以先求長方體的體積，再乘二分之一，就是3×4×5×。

生2：右邊這個可以先求圓柱的體積，再乘二分之一，也就是π×（2÷2）2×4×。

師：這兩個算式又怎么理解呢？

生1：也就是可以直接算出這個圖形的底面積，再乘高，就得到了它的體積。

生2：我發現它們的體積和長方體、正方體和圓柱一樣，都可以用“底面積×高”來計算。

師：真是了不起的發現！那么，請大家觀察這些可以用“底面積×高”來計算體積的立體圖形，從外形上看，它們有什么相同點？

生：從下往上都是一樣粗細的。

動畫演示（見圖3）：由一張長方形紙不斷往上疊加成長方體的動畫。

圖3

師（小結）：像這樣上下一樣粗細的、直直的柱體就叫作“直柱體”，它們的體積都可以用“底面積×高”來計算。

【設計意圖】對于這部分內容，教師在教學時，一方面通過話語引導，讓學生在比較活動中進行思維碰撞和知識的深度建構，并發現體積可以用“底面積×高”來計算的立體圖形的本質共同特征；另一方面，由于學生對“動”的圖形會更有學習熱情，因此通過動畫演示，在圖形“動”的過程中讓學生直觀地感受到它們的共通之處在于都是由同一個平面圖形不斷向上平移積累而成。這樣的過程也使學生對“面動成體”有了更為深刻的體會。

2.再認識圓錐體積

師（追問）：那圓錐的體積可以用“底面積×高”來計算嗎？

生：不能，它底面的圓片越上升越小，最上面的成了一個點，所以圓錐不是直柱體，因此不能這樣計算。

師：剛才大家介紹圓錐是與它等底等高的圓柱體積的三分之一，結合剛才的探究，一定要是“圓”柱嗎？

生1：長方體也行，只要是和圓錐等底等高就可以。

生2：只要與它等底等高的任何直柱體都可以，因為等底等高的直柱體體積都是一樣的。

生3：我總結一下，圓錐的體積是和它等底等高的直柱體體積的三分之一。

【設計意圖】在以往圓錐體積的新授課中，由于實驗的幫助，學生對于“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一”記憶很深刻。本節課復習這部分內容時，引導學生結合剛剛探究的直柱體體積的聯系進行推理：上述結論一定要強調“圓柱”嗎？從而將學生思維推向更深處。

（四）重新認識表面積，拓寬思維廣度

師：這些直柱體的體積都可以統一成“底面積×高”，那表面積呢？

生1：都可以統一成“兩個底面+一個側面”。

生2：它們的側面其實都可以沿高剪開，展開成一個長方形，而且長都是直柱體的底面周長，寬都是直柱體的高，所以，側面積都可以用“底面周長×高”來計算。

【設計意圖】先引導學生進行合情推理：直柱體既然如此相像，體積有共通公式，那么，表面積會不會也是共通的呢？在猜想和觀察的基礎上，學生便能發現它們的表面積也可以統一成“兩個底面+一個側面”，在學生回答的基礎上，動態呈現每個立體圖形展開的過程，讓學生深刻體會到表面積的共通之處。

三、教學總結

（一）在聯系中建立知識體系

本課伊始，學生自主梳理關于立體圖形表面積和體積的教學環節分為兩個層次：第一層次是對四種立體圖形建立初步的整體認知；第二層次是溝通了長度、面積和體積計量的相通之處。課前，教師先讓學生用自己喜歡的方式整理了立體圖形的表面積和體積的相關知識。自主整理的過程很好地展現了學生個性化整合的思維。同時，學生在溝通中將長方體、正方體、圓柱和圓錐的體積和表面積的公式、推導過程及聯系進行了完整的回顧和梳理，對知識有了一定的整體建構。然后，教師引導學生自主發現長度、面積和體積的計量方法上的相通之處，使學生在觀察、比較、反思中感受到長度，或面積，或體積的多少都是取決于它們長度單位，或面積單位，或體積單位的個數，引導學生建構“量是量出來的”這一知識根基，從而促使學生對一維、二維和三維的知識建立更為緊密的聯結體系。

（二）在聯系中優化認知結構

長方體、正方體和圓柱都屬于直柱體，本身具有高度一致性。但在分散的新授課中，學生只關注到單個立體圖形的特征，而忽視了它們的內在關聯性。作為一節整合的復習課，教師有必要引導學生關注到它們更深層次的統一性，從而讓學生所建立的認知結構更具完整性。通過觀察、演示的過程，學生對直柱體的共同特質有了更深刻的體會，從而將知識建立聯結，形成最簡、最優的知識結構。至此，學生對長方體、正方體和圓柱的認知已不再是割裂的知識點，而是發現了它們的內在一致性，都是由一個平面圖形豎直不斷疊加形成的圖形，即都為直柱體。如此，學生在聯系的過程中對知識結構進行了優化。

（三）在聯系中發展高階思維

在圓錐體積的復習過程中，考慮到通過以往的學習，學生對于“圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的三分之一”記憶非常深刻，在課的前一部分，教師總結了直柱體體積的統一性后，有必要引導學生關注這里的圓柱可以替換成其他任何與之等底等高的直柱體。這里引導學生進一步的思考既是對前一部分內容的鞏固，也是一次思維進階的契機，學生的思維層次也在這樣的推理過程中走向高階。

（四）在聯系中走向深度學習

本課在復習表面積的過程中，先引導學生進行合情推理：直柱體的表面積會不會和體積一樣，也是有著緊密聯系的。學生通過觀察和想象，便能發現它們的表面積也可以統一成“兩個底面+一個側面”。此時，教師引導學生在頭腦中將側面依次展開：通過這種有效的動態想象，使知識的聯系更為緊密，也是對學生空間想象力的進一步培養，學生的學習也真正走向了深處。

整節復習課，通過觀察、發現、推理、反思等過程將立體圖形進行整合、建立聯結，打通了“體”與“面”“線”之間的聯系。學生對整個“圖形與幾何”領域的知識體系也有了整體的把握。在復習課的教學中，教師要能通過單元知識的有機整合，甚至根據完整的知識體系，引導學生建立所學系列內容之間的聯系，在這樣的過程中將知識形成體系，形成更為優化的認知結構，從而發展學生的高階思維，也讓復習更具深度。