基于物理約束U-Net網絡的地震數據低頻延拓

張巖,周一帆,宋利偉,董宏麗

(1.東北石油大學計算機與信息技術學院，黑龍江大慶 163318； 2.東北石油大學物理與電子工程學院，黑龍江大慶 163318； 3.東北石油大學人工智能能源研究院，黑龍江大慶 163318)

0 引言

當今油氣資源勘探的重心逐漸向復雜構造、碳酸鹽巖和非常規儲層等領域轉移[1-2]，對地下構造成像質量的要求越來越高。在地震勘探中，頻帶寬度對地震數據十分重要，特別是地震數據低頻部分攜帶信息的可靠度要遠大于高頻部分。低頻成分的質量很大程度上決定了深部地層的成像效果[3-7]。

目前，速度分析、層析成像和全波形反演是利用采集到的地震數據進行物性反演的主要方法。其中全波形反演綜合利用地震波場的運動學特征與動力學特征，是目前公認的地震勘探領域精度最高的反演方法[8]。全波形反演是強非線性的，極其依賴初始條件，如初始速度模型和地震數據的低頻分量[9-11]。然而在實際地震數據采集過程中，由于大地的濾波作用和人工震源自身局限性，以及檢波器畸變等干擾，采集到的地震數據通常損失大量低頻成分，使全波形反演結果易陷入局部極小值，極大降低了地震信號處理與解釋的精度。

盡管在解決地震數據低頻信息缺失問題上，新的低頻可控震源取得較大進展，實現可控震源的寬頻激發，并采用“兩寬一高”地震勘探技術進行地震數據采集、處理，大幅度提高了地震資料品質[12]，但由于其施工成本較高而無法作為常規震源。對于大量通過常規震源和技術采集到的地震數據，進行低頻恢復主要有兩類方法：

(1)基于模型驅動的方法?？刹殚喌拇硇晕墨I包括：管路平等[13]利用可靠的中間頻帶對低頻部分做自回歸預測，通過正向、反向誤差和最小原則進行頻譜外推[14]； Smith等[15]利用連續小波變換拓展地震數據的有效帶寬，補償地震數據低頻段； 韓立國等[16]基于壓縮感知理論建立并求解L1范數約束的稀疏反演問題，實現地震數據的低頻補償； 張盼等[17]通過利用被動源地震數據的低頻信息重構主動源地震數據的低頻缺失部分，實現能量匹配的低頻補償，但被動源噪聲干擾嚴重而難以去除； 魏繼東[18]利用反褶積方法恢復低頻成分，但同時增加了相應(有效頻段外)的噪聲，降低了數據的信噪比，應用難度較大； 丁燕等[2]基于壓縮感知理論，通過自適應計算L1范數權重因子并構建改進的俞式低通整形濾波器以補償地震低頻信息； 毛博等[19]通過相似性現象結合褶積與反褶積原理重構地震低頻數據。此類低頻恢復方法的基本原理為利用地震波傳播過程物理參數(振幅、頻譜)的變化規律進行建模并求解。實際應用時容易出現子波求取困難、噪聲干擾嚴重、參數求解復雜等問題。

(2)基于數據驅動的方法。目前深度學習的方法在地球物理領域得到快速發展，在巖性識別[20]、斷層識別[21]、數據去噪[22]等領域都取得相應研究成果，表明深度學習方法在地球物理應用中具有很強的適應性。Ovcharenko等[23]對隨機地下模型的海洋地震勘探進行數值模擬并利用深度卷積神經網絡完成中高頻—低頻的映射，通過波數分析得到單炮二維地震數據比單道一維地震數據低頻外推具有更廣泛的適用性。Fang等[24]構建了12層的CNN網絡，通過輸入中高頻的二維模擬地震數據預測相應的低頻數據，并在反演測試中取得了較好的應用結果； Ovcharenko等[25]利用U-Net神經網絡完成二維地震數據從中高頻—低頻的非線性映射，實現了地震數據的低頻恢復。毛博[26]通過搭建卷積神經網絡實現單道地震數據的低頻拓展，網絡的輸出與真實地震數據低頻分量較接近。Nakayama 等[27]在監督學習框架下設計深度卷積神經網絡，通過時域進行地震數據低頻外推，外推頻率與先前存在的頻率之間的誤差較小。隨后，Sun等[28]合成多分量彈性波低頻地震數據，設計卷積神經網絡并通過擴大卷積獲取大的感受野，利用粒子速度的垂直分量和水平分量兩個數據集在時域做數據低頻外推且獲得較好效果。Jin等[29]基于稀疏促進帶寬拓展算法提出了低頻外推漸進式遷移深度學習算法，具有較高效率和精度，并有較強泛化能力。Zhang等[30]通過將測井數據與地震數據相結合，利用深度卷積神經網絡的非線性映射能力將疊后地震數據映射到更寬頻帶并得到阻抗，取得了較好效果。上述深度學習網絡可較好地恢復低頻地震數據的時域信息，主要問題在于忽略了地震波傳播過程頻率與相位等物理參數的變化規律，導致恢復的地震數據低頻部分中頻率和相位信息的精度不高。

針對該問題，為了提高地震數據低頻延拓的精度，本文根據物理模型約束數據驅動的思想，提出改進殘差模塊的U-Net卷積神經網絡，通過地震信號傳播過程的物理參數聯合約束，在提高信噪比的同時，保持低頻地震信號頻率、相位信息。

1 方法原理

1.1 應用深度學習恢復地震數據低頻成分

深度學習的應用領域不斷拓展，在地震數據處理方面得到廣泛使用。目前應用深度卷積神經網絡解決地震數據低頻延拓問題的方法過程歸納如下。

1.1.1 樣本組織

設網絡模型為Net，通過監督學習大量中高頻地震數據與低頻地震數據的非線性映射關系，得到訓練好的網絡模型。輸入中高頻地震測試數據，生成預測的低頻地震數據

(1)

式中θ為網絡參數。

1.1.2 神經網絡拓頻原理

在有監督學習過程中，神經網絡通過訓練大量樣本數據學習與標簽的映射關系，它以S上的平均損失作為經驗風險，記為

(2)

式中：L為損失函數；Ns為訓練集樣本數量。神經網絡算法以最小化經驗風險為目標，通過大量數據為驅動而建立模型。低頻延拓的目標是從已知的大量中高頻地震數據和低頻地震數據中建立非線性映射關系，然后對未知樣本進行回歸預測。因此，在經驗風險最小化的指導下，用于地震數據低頻延拓的網絡優化目標函數J為

(3)

針對J，直接求取卷積神經網絡的最優解相對困難，通常使用梯度下降法利用迭代思想逼近最優解，并將網絡參數θt+1表示為

θt+1=θt+μ[θi=1,2,…,tJ(x,θi,y)]

(4)

式中：θt為第t次迭代后神經網絡參數；μ指更新方向；θi=1,2,…,t為J相對于參數θi的梯度。

1.1.3 損失函數設計

神經網絡在訓練學習期間，用損失函數表征模型預測輸出的低頻成分與真實的低頻成分的擬合程度。常見的損失函數的計算方法有平均絕對值誤差(Mean Absolute Error，MAE)和均方誤差(Mean Square Error，MSE)，分別稱為L1loss和L2loss，具體定義式分別為

(5)

(6)

目前此類純數據驅動的、利用深度學習模型進行地震數據低頻恢復的方法，避免了傳統方法假設條件苛刻、求取參數復雜等問題，并且結果具有一定可靠性。但深度學習本質是一個優化問題，求解地震勘探中低頻延拓具有多解性，將地震波傳輸過程中的物理參數變化規律作為約束降低多解性是一個重要方法。

1.2 地震信號物理參數分析

全波形反演將地質勘探中的反演問題，轉換為以正演模擬數據和觀測數據殘差的L2范數誤差最小的優化問題，屬于一個強非線性問題。通過Born近似[31]，將地震數據的擾動與地下介質模型參數的擾動線性化。由Born近似可知，全波形反演的誤差主要由高階散射引起，高階散射場對總場影響越小，Born近似越容易滿足。因此，低頻波場在Born近似下的誤差較小，有利于全波形反演的進行。

地震波是非平穩信號，波形、頻率和相位實際上是隨時間具有一定的變化規律。這種變化規律反映地震波在地下傳播介質的位置、結構和地層巖性等信息[32]，且頻率和相位信息對精確的反演同樣十分重要[33]。在地震勘探逐漸向高精度、高保真發展的情況下，準確地恢復地震數據的波形、頻率和相位是一個發展趨勢。

傅里葉變換是地震數據頻譜分析的主要工具?？焖俑道锶~變換(Fast Fourier Transform，FFT)是利用計算機實現離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)的高效、快速計算方法。設第i道地震數據xi的采樣點數為N，采樣頻率為Fs，其傅里葉變換后展開為復數形式

k=0,1,…,N-1

(7)

由歐拉定理可得實部和虛部分別為

(8)

(9)

那么振幅譜和相位譜計算公式分別為

|f[k]|

(10)

(11)

式中：|f[k]|為每一道地震數據中不同頻率對應波形能量；φ[k]為不同頻率對應的相位值。

由圖1可見：地震信號在時域上的信息僅描述波形能量隨時間變化規律； 而振幅譜包含主要波形的頻率成分信息，更重要的是與信號的相位譜描述一定的頻譜成分和波形的運動狀態，三者結合可更完備地表征地震信號的信息。

圖1 一維信號的波形(a)、振幅譜(b)和相位譜(c)

2 基于物理約束的U-Net網絡模型

地球物理勘探領域的應用場景相對于傳統深度學習領域而言，更具有復雜性?？紤]地震數據樣本的特殊性，有針對性地改進傳統通用網絡模型可有效提高結果的準確性。

U-Net網絡是Ronneberger等[34]在2015年提出的網絡結構，最初用于醫學圖像分割，是一種經典的編—解碼器結構，該網絡在地震數據超分辨率[35]、地震斷層檢測[36-37]和地震相識別[38]等應用中具有較好效果。

U-Net網絡結構包括三個主要部分： ①下采樣——網絡中前半部分進行4次下采樣，每次由兩個3×3的卷積層、兩個ReLU激活函數及一個最大池化層組成，主要功能是進行特征提取與壓縮； ②上采樣——后半部分進行4次上采樣，每次由兩個3×3的卷積層、兩個ReLU激活函數及一個反卷積操作組成，主要功能是進行數據恢復與重建； ③特征融合——U-Net網絡在每一次上采樣后都會與對應特征提取部分相同尺度的特征圖在通道上進行拼接。但淺層網絡描述的是結構特征，與上采樣部分的高級語義特征具有一定的差別，直接拼接容易影響網絡的后續處理效果。

為保持低頻信息的主要特征，本文對U-Net網絡進行以下改進(圖2)：

(1)通過對稱補零操作使卷積前后的數據大小不變，避免特征融合時的裁剪操作，加強對地震數據邊緣特征的提??；

(2)在卷積層與激活函數之間加入批標準化層(Batch Normalization layer，BN)，以加快網絡收斂速度，減小對初始化參數的依賴，提高網絡泛化能力；

(3)激活函數用來提高神經網絡模型的非線性表達能力，考慮到地震數據的類型為實數，而使用ReLU激活函數會使網絡中過多的神經元失活(輸出為0)，因此本文使用LeakyReLU激活函數;

(4)利用殘差模塊(圖2中Res部分)縮小下采樣與上采樣的語義差別，使網絡模型能更容易學習低頻信息特征。圖3所示殘差模塊結構由兩組卷積、BN和LeakyReLU激活函數構成，以提高網絡特征融合的效果，改進傳統U-Net的跳躍連接。

圖2 本文改進的U-Net網絡模型

圖3 Res殘差塊結構

損失函數是深度神經網絡優化目標的學習準則，在一定程度上決定了網絡的優化方向與解空間的大小，因此損失函數與實際問題的關聯程度非常重要。本文通過設計聯合損失函數實現地震波物理參數多維度的約束，進一步提高改進后U-Net網絡模型的低頻延拓效果。

聯合損失函數由時域、頻率、相位3個維度的誤差組成。其中，時域誤差使用L2loss計算方法，而在頻率、相位損失上使用L1loss計算方法，保證網絡能充分學習到地震波傳播過程中的3個維度物理參數及其變換規律?；谖锢砑s束的聯合損失函數由加權平均的形式定義為

(12)

式中：f、φ分別為振幅譜和相位譜算子；α、β分別是振幅譜和相位譜的權重系數。本文整體的網絡處理流程如圖4所示。

3 實驗

3.1 數據組織

圖5 樣本數據展示

3.2 超參數設置與評價指標

本文基于Pytorch框架搭建網絡模型，網絡訓練采用Adam算法優化目標函數，學習率設置為0.01。迭代次數(Epoch)為300，批大小為8，網絡輸入輸出均為400×200?；謴托Ч暮饬繕藴视镁秸`差MSE和信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)表征，對應表達式為

(13)

(14)

兩式中：M為時間采樣總數；N此處為地震道采樣總數；yt,s為y中坐標為(t,s)的采樣點值。

3.3 物理約束策略與參數設置

3.3.1 約束函數測試

本文將物理約束通過損失函數結合到深度學習網絡中并對權重參數進行調整，在保證延拓的低頻地震數據時域部分具有較好恢復效果的基礎上，提高振幅譜和相位譜的效果。而多約束聯合損失函數優化在機器學習中屬于多任務學習范疇，通過利用相關任務訓練特征中包含的特定維度信息(振幅譜和相位譜)改善網絡性能及泛化。由于不同約束的損失值對網絡的影響不同，對應的數量級很可能存在較大差異，因此將各部分聯合損失直接相加的方式可能導致多任務學習過程被某個任務所主導而偏離網絡的逼近方向。本文結合多任務學習的思想與實踐經驗實現地震數據低頻延拓聯合約束損失函數的權重參數分析與調整。

首先測試地震波物理參數對網絡模型的約束效果。將只采用時域約束的模型Ⅰ、聯合相位譜約束的模型Ⅱ、聯合振幅譜約束的模型Ⅲ及同時聯合振幅譜、相位譜約束的模型Ⅳ進行對比測試，各約束的損失函數權重參數均設為1。訓練時在時域上初次損失值達到104～105數量級，而在振幅譜和相位譜上初次損失值數量級在102。在訓練集上每訓練3次在驗證集上驗證1次，共驗證100次。驗證集上SNR曲線如圖6所示，可見模型Ⅱ和模型Ⅲ的SNR高于模型Ⅰ，但模型Ⅲ的SNR曲線整體波動幅度較大； 而模型Ⅳ的SNR略高于模型Ⅰ，說明加入物理參數約束對模型效果產生一定的影響。具體在時域、振幅譜和相位譜上的MSE指標如表1所示。

圖6 不同模型SNR曲線對比

表1 不同模型測試結果MSE

由表1可見模型Ⅱ、模型Ⅲ在時域、振幅譜、相位譜的MSE均低于模型Ⅰ，且具有較高的SNR，說明網絡在低頻地震信號恢復處理過程中，結合振幅譜、相位譜約束的引導具有較好效果，但后者約束的有效性高于前者。原因在于，震源激發的地震波在地下介質中傳播過程中，在地質界面處發生散射和反射后由檢波器接收，振幅譜體現的是不同頻率成分的能量，同類地質模型和震源條件下觀測得到的地震數據振幅譜分布具有一定的相似性，而相位譜反映信號在空間的狀態信息，可更充分表征地下介質的差異。模型Ⅳ在時域和振幅譜的MSE低于模型Ⅰ，高于模型Ⅱ、模型Ⅲ，原因在于多約束條件下結果偏向均衡化，影響低頻延拓整體結果，通過進一步研究不同約束權重的合理比例，提高最終效果。

2.3.2 權重比例設置

為考察不同權重參數對網絡性能的影響，分別進行不同比例實驗測試。對于模型Ⅱ，分析各約束損失值的數量級，要保證時域損失為主要loss，因此β值控制在100以內。通過分段評估的方法，相位譜約束權重β分別設置為5、10、20、50、100進行對比，結果如表2所示，可以看出：

表2 模型Ⅱ不同權重時MSE與SNR

(1)當β=5、10、20、50時，相位的MSE均低于β=1時，β=10時最小，β=5時時域和振幅譜MSE值最小，但隨著權重的增大，時域與振幅譜MSE有升高的趨勢，導致SNR降低，其中在β=50時時域和振幅譜MSE值相對較大；

(2)當β=100時，時域、振幅譜和相位譜的MSE都有增加的趨勢，導致SNR相對較低。

為方便展示實驗效果，給出β=1、10、100時網絡訓練過程中后60次驗證在時域上的loss值曲線和100次驗證在相位上的loss值曲線(未乘β，圖7)。由圖7a可知，當β=1時，時域的loss曲線有小幅波動，當β為10和100時，loss曲線波動較大但后期較為平穩，且當β=10時loss最??； 同樣圖7b相位譜loss曲線中，β=10時曲線下降最快。由此也說明β過大會影響時域和相位譜的恢復效果，但適當增大可以在保證時域恢復的情況下提高相位譜的恢復效果。

圖7 模型Ⅱ不同權重在時域(a)和相位譜(b)上的驗證loss曲線

結果表明，合理設定β取值范圍(100以內)模型效果優于不聯合物理約束情況，地震數據低頻延拓效果得到相應提升，再次說明物理約束的有效性。而在調節β取值時發現，當β≤20時相較于不加物理約束，結果在時域、振幅譜和相位譜上的誤差均有大幅度減??；雖然和β=1相比，在時域和振幅譜上的誤差有上升趨勢，但在相位譜上誤差有相應的減小，且減小幅度相對較大，使得低頻延拓在相位譜恢復上的效果較好。

顯然，適當提高β的比例(20以內較為合理)可以強化低頻延拓結果在相位譜上的精度，但β的比例過大(50、100)會較大影響時域與振幅譜的效果，甚至對相位譜的恢復會起到反作用。

為進一步分析振幅譜和相位譜聯合約束的合理性，在模型Ⅳ的基礎上分別對振幅譜約束權重參數與相位譜約束權重參數β，進行不同的配比測試，α∶β=1∶1為初始權重，共設置了13組對比實驗，結果如表3。對比表3中結果可得出：

表3 模型Ⅳ不同權重下MSE與SNR

(1)當α<β時，相位譜的MSE比初始權重情況下有所降低，當α∶β=5∶10時降低到最小，且在時域和振幅譜上的MSE低于初始權重。在α∶β為5∶10和20∶50時，時域、振幅譜、相位譜的整體誤差低于模型Ⅱ。

(2)當α≥β，振幅譜與相位譜MSE在α∶β為10∶5和10∶10時，下降相對明顯；在α∶β為20∶5、50∶20、80∶50、100∶100情況下，時域、振幅譜、相位譜誤差變化較小且有增加的趨勢。

分別給出網絡訓練過程中后60次迭代驗證時域loss曲線和100次迭代驗證相位譜loss曲線(未乘α、β)如圖8所示?？芍敠痢忙?5∶10時，在時域和相位譜上均下降最快收斂最好，而α∶β=100∶100時下降緩慢，時域loss曲線波動較大，說明當權重過大時，網絡訓練在時域上的收斂性有所下降，擬合效果不理想，最終在時域恢復及SNR上表現較差，同時也影響到了相位譜上loss的收斂效果，導致在相位譜上的MSE值有所上升。

圖8 模型Ⅳ不同權重在時域(a)和相位譜(b)上驗證loss曲線

以上實驗表明，加入振幅譜和相位譜的物理約束與無物理約束相比有明顯提升，且在調節α∶β的取值時發現，α與β取值50以內時在時域、振幅譜和相位譜上誤差均有減小的趨勢，但和只有相位譜約束的模型Ⅱ相比部分實驗效果接近。當α≤20、β≤50且α<β時，模型預測結果在時域、振幅譜和相位譜上誤差降低幅度較明顯，SNR相對較高，對地震數據低頻延拓效果有大提升?？梢?，聯合振幅譜與相位譜的約束后，通過調節α和β權重參數比例，可達到同時提高地震數據低頻延拓結果在時域、振幅譜與相位譜上的效果。綜合比較，取α∶β=5∶10相對合理，SNR達到31.807dB，且時域、振幅譜與相位譜綜合MSE達到最小。

3.4 U-Net網絡改進效果測試

3.4.1 改進殘差模塊測試

為證明改進U-Net殘差塊的網絡結構對低頻延拓的有效性，與傳統U-Net網絡進行性能對比，SNR結果如圖9所示。在模型Ⅰ中使用改進殘差跳躍連接整體波動性更小，具有較高的SNR。模型Ⅳ(權重比例為5∶10)下，使用殘差跳躍連接后收斂較快，迭代75次后就逐漸趨于平穩且收斂于較高的SNR。

圖9 改進殘差模塊的網絡SNR曲線對比

3.4.2 網絡處理過程分析

為了直觀分析數據在提出的網絡處理過程中的特征變化，研究網絡模型的中間狀態，任選1個測試集樣本(圖10)在模型Ⅳ(5∶10)第1、3、4次下采樣的特征提取階段和第2、4次上采樣的特征恢復中的部分特征圖進行可視化輸出(圖11)。從圖11a～圖11c中可見，在下采樣過程中可以有效提取測試樣本的主要特征，且隨著網絡的加深，提取的特征從淺層的形狀紋理信息逐漸抽象。從圖11d～圖11e可見，在上采樣過程中，逐步將壓縮的樣本特征進行映射恢復，恢復的特征隨著網絡的加深，從抽象特征逐漸恢復出低頻信息，最終輸出延拓的低頻地震數據。輸出結果如圖12，可見網絡可以較好地從地震數據中高頻部分，學習延拓低頻成分的非線性逼近關系，并具有較高的恢復精度。

圖10 測試數據

圖11 五種采樣方式下網絡不同層的部分特征

圖12 網絡測試結果及殘差圖

圖13是第105道地震信號的時域、頻率、相位延拓結果(相位譜中由于相位本身計算方式和精度問題導致有效頻率外有誤差產生)，可見本文網絡模型恢復地震低頻信號過程中，在保持時域與頻率恢復效果的同時，具有較高的相位恢復精度。

圖13 第105道地震數據的時域波形(a)、振幅譜(b)和相位譜(c)

圖14展示U-Net網絡中傳統跳躍連接下的特征融合結果和本文所用殘差跳躍連接下的特征融合結果?？梢娤噍^于U-Net的傳統跳躍連接，殘差跳躍連接特征融合結果有更完整的特征信息。殘差模塊的添加改善了下采樣特征與上采樣特征間的語義差別，使得低頻延拓效果有進一步提高。

圖14 普通跳躍連接(U-Net)與本文使用殘差的跳躍連接網絡特征融合恢復結果對比

3.5 算法對比分析

現將本文提出的模型Ⅳ(α∶β=5∶10)與當前比較先進的同類算法：原始U-Net網絡、VDSR網絡、文獻[24]的網絡模型及文獻[26]的低頻延拓網絡模型的輸出效果進行對比。使用相同的數據集訓練后，在驗證集上MSE結果如表4，可見本文網絡模型在時域、振幅譜、相位譜上的誤差均小于其他四個模型。用測試數據(圖10)進行測試，圖15可見VDSR網絡的輸出結果相對模糊，信息損失嚴重； 文獻[24]中網絡的輸出結果較VDSR有所提升，但細節處仍有較嚴重的損失； 文獻[26]中網絡模型由于輸入、輸出的是單道地震數據，因此最后拼接出的二維地震數據有明顯豎紋，未考慮地震道間的相關性； U-Net網絡輸出結果與本文模型Ⅳ(α∶β=5∶10)在時域、振幅譜和相位譜上相對較差。對比時域、振幅譜、相位譜的誤差，本文網絡模型效果相對較好。抽取第160道地震數據在時域、振幅譜、相位譜上進行對比(圖16)，可知在時域、振幅譜恢復上，本文網絡模型優于其他方法，且在相位的恢復效果方面具有大幅度提升。

圖15 不同算法對地震低頻數據的恢復效果對比

圖16 不同模型第160道地震數據的時域波形(a)、頻率譜(b)、相位譜(c)效果對比

表4 各模型MSE結果與SNR值對比

3.6 遷移學習

考慮到實際地震樣本難以獲得，容易導致訓練樣本特征覆蓋不充分的問題。為測試本文模型的應用前景，選取一個深層斷裂速度模型(圖17)，通過有限差分正演生成地震數據作為測試地震樣本，以遷移學習的方法采用本文預訓練好的模型參數初始化網絡權重，然后利用少量中、高頻地震數據和低頻地震數據對網絡模型進行再訓練(圖18)，經過微調參數后再對地震數據進行低頻延拓。

圖17 速度模型

圖18 遷移學習訓練數據

網絡模型經再訓練精調參數后，樣本測試發現網絡能較準確地延拓出低頻地震數據。另外，對主頻為20和30 Hz的雷克子波生成的地震數據進行測試(表5)?？梢娔Ｐ蛯Σ煌黝l的雷克子波生成的地震數據有較好恢復作用，具有一定泛化能力。

圖19 15 Hz雷克子波生成地震數據測試結果

表5 不同主頻雷克子波下延拓結果MSE

由表5可見，使用遷移學習方法可在一定程度上減小因訓練數據與實際測試數據的差異，而對本文模型產生的不利影響，且在實際應用中憑借相對少量訓練樣本和訓練時間，就可得到較準確結果。

4 結論

本文提出一種基于物理約束的改進U-Net網絡進行地震資料低頻恢復的方法，得出以下結論：

(1)聯合時域、振幅譜與相位譜信息，可以利用地震波的物理參數約束多維度的恢復效果，考慮到權重比例對網絡模型結果的影響，通過大量實驗得出較好的權重比例，使網絡在聯合約束下延拓出的低頻地震數據不僅具有較高的時域恢復效果，還能保持頻率與相位恢復特征。

(2)使用殘差模塊改進U-Net網絡的跳躍連接部分，通過中間層分析可見，改進后的網絡模型提高下采樣與上采樣間的語義差別，使網絡恢復的特征更豐富，增強恢復效果。

(3)遷移學習與本文網絡模型的結合，使其具有較高的實用性，可以利用少量樣本延拓出相對精確的低頻地震數據，節省制作樣本標簽時間和人力成本，實現高效、自動化地震數據低頻延拓。

綜上所述，本文網絡模型具有較好的地震資料低頻恢復效果，在提升時域與頻率恢復的基礎上，著重提升了網絡模型在相位方面的恢復效果。