考慮高頻損耗的ZPW-2000A軌道電路暫態響應分析

趙 斌，陳 磊，歐靜寧，王 東，于光昊

（蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院,甘肅 蘭州 730070）

軌道電路作為自動、連續監測線路占用情況的基礎設備，具有調整、分路、斷軌3 種工作狀態，當有列車占用軌道區段時軌道電路的工作狀態須對應準確顯示。然而，分路不良現象時有發生，嚴重時會危及行車安全。近年來，利用軌道電路的暫態響應判別工作狀態的變化成為研究的課題，因此，準確分析軌道電路的暫態響應尤為重要［1］。

目前，針對軌道電路暫態響應的研究，主要基于時域有限差分法計算接收端軌面電壓。時域有限差分法，是用中心差商代替場量對時間和空間的1階偏微商，通過在時域內的遞推和迭代得到計算結果［2］。由于ZPW-2000A 軌道電路模型中存在補償電容、調諧單元等集總參數元件，不能直接利用時域有限差分法計算接收端軌面電壓，需要將軌道電路模型分為傳輸線和集總參數元件2 個部分單獨迭代計算，計算過程復雜［3］。另外，考慮高頻損耗時，采用時域有限差分法時需要利用矢量匹配法對參數進行擬合，根據得到的極點、留數和常數項推導軌道電路的有理近似函數，再基于分段線性遞歸卷積推導軌道電路兩端的電壓和電流關系，結合離散方程最終得到軌道電路接收端軌面電壓［4］，推導過程復雜，且計算難度大。

本文采用傅里葉變換結合Q-D 算法分析高頻損耗下的ZPW-2000A 軌道電路暫態響應。根據ZPW-2000A 軌道電路模型及傳輸線理論，建立包含傳輸線與集總參數元件2 部分的節點導納時域方程，利用拉普拉斯變換將時域方程變換到復頻域，在復頻域內直接考慮高頻損耗，經變換解耦得到接收端軌面電壓復頻域解；最后，利用傅里葉變換結合Q-D 算法求得數值時域解，進而分析ZPW-2000A軌道電路暫態響應。

1 考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓求解方法

1.1 軌道電路模型

ZPW-2000A 軌道電路由鋼軌及補償電容、調諧單元、空心線圈等集總參數元件構成。其中，補償電容讓傳輸通道趨于阻性，保證軌道電路具有良好的傳輸性能，增加信息在軌道電路上的傳輸距離；調諧單元和空心線圈構成電氣絕緣節，實現相鄰區段的電氣隔離和信號傳輸［5］。根據軌道電路傳輸特性，將鋼軌等效為均勻有損傳輸線［6］，按照標準TB/T 3206—2017《ZPW-2000 軌道電路技術條件》，設定傳輸線總長度為1 km，建立軌道電路模型如圖1 所示。圖中：L1和L2為調諧單元的電感；C1，C2和C3為調諧單元的電容；R1，R2和R3為調諧單元的電阻［7］；Rg和Lg分別為鋼軌的電阻和電感；Rs和Ls分別為空心線圈的電阻和電感；Rt和Lt為鋼軌引接線的電阻和電感；Cb為補償電容，電路中只配置了2 個補償電容，實際應用時配置的補償電容數量一般大于2 個，因為多個補償電容的建模方法和圖1中類似，為了增加可讀性進行省略；Rf為分路電阻；MTL 為多導體傳輸線（Multiconductor Transmission Line，MTL）；l為MTL2 的長度；鋼軌1 為信號源所加鋼軌，則另一條鋼軌為鋼軌2。

圖1 軌道電路模型

圖1 中，MTL 部分是由多個完整的單位長度等值電路構成，單位長度傳輸線等值電路如圖2 所示。圖中：Rnn，Lnn，Cnn(n=1，2)分別為第n根鋼軌的單位長度自電阻、自電感、自電容；L12，C12分別為鋼軌之間的互電感、互電容；G11，G22分別為對應鋼軌與大地間的漏電導；G12為鋼軌1與鋼軌2 經由道砟和軌枕的道床電導，由道床電阻Rd表征，為1/Rd；z為節點距傳輸線始端距離；Δz為z的增量；t為時間；a為整數系數；Ii(z，t)為傳輸線上的電流，i=1，2；Vi(z，t)為傳輸線的對地電壓［8］。

圖2 單位長度傳輸線等值電路

根據軌道電路模型和節點導納法，可得節點導納時域方程為

式中：CM為由電容、電感決定的N×N型矩陣；N為由節點數決定的常數；P為MTL 的數量［9］；nk為第k段MTL 的端口數；GM為由電阻決定的N×N型電導矩陣；IM(t)為由信號源決定的N×1 型電流矩陣；VM(t)為由節點電壓和電感電流決定的N×1 型矩陣；Ik(t)為流入第k段傳輸線的nk×1型電流矩陣［10］；Dk為MTL端口選擇矩陣。

由于軌道電路模型中存在空心線圈、調諧單元等集總參數元件，不能直接利用時域有限差分法建立方程，需要將軌道電路模型分為傳輸線和集總參數元件2 部分，分別建立方程。而利用節點導納法能夠直接建立包含傳輸線部分和集總參數元件部分的節點導納時域方程。

1.2 基于節點導納方程的軌面電壓復頻域解

為方便計算高頻損耗，將節點導納時域方程轉換到復頻域內進行求解，避免了在時域內需要結合矢量匹配法對參數進行擬合以及極點、留數的復雜計算。

將式（1）進行拉普拉斯變換，且設為零初始條件，得到復頻域方程為

其中，

式中：s為拉普拉斯算子；Ik，1(s)和Ik，2(s)分別為MTL輸入端和輸出端的電流矩陣。

由單位長度傳輸線等值電路及傳輸線理論，可得

式中：R，L，G和C分別為單位長度MTL 的電阻、電感、電導和電容矩陣。

將式（3）轉換為復頻域形式，為

其中，

式中：V(z，s)和I(z，s)分別為對距離MTL 輸入端z處電壓和電流進行拉普拉斯變換得到的電壓和電流矩陣；Z(s)和Y(s)分別為阻抗矩陣和導納矩陣［11］。

MTL 損耗表現為導體損耗和周圍介質損耗，一般情況下這些損耗都與頻率有關，且高頻時會產生額外的高頻損耗。高頻損耗主要由導體中的集膚效應和電介質中的極化現象引起的，而極化損耗對MTL 影響甚微，可以忽略不計［12］。因此，考慮集膚效應損耗，將阻抗矩陣Z(s)表示為

式中：Rdc為直流電阻矩陣；f0為轉折頻率；K為高頻損耗。

為方便計算，將式（4）寫為緊湊矩陣形式為

傳輸線輸入端與輸出端的緊湊矩陣關系為

其中，

式中：W(0，s)和W(l，s)分別為距傳輸線始端z=0和z=l處的矩陣；(s)為積分矩陣。

根據上述計算式，可得

其中，

根據上式可知Ik(s)=Yk(s)Vk(s)；再將其代入式（2），求得節點導納復頻域方程為

1.3 基于傅里葉變換結合Q-D 算法的軌面電壓時域解

針對式（9），利用傅里葉變換結合Q-D 算法可求得VM中包含的節點電壓時域解，再進行暫態響應分析，并根據拉普拉斯基本定義式，可得

式中：c為收斂橫坐標。

將式（10）進行離散化，再劃分積分域后得到表達式［13］為

其中，

式中：T為周期；K為由離散點決定的正整數；Er為設定的相對誤差；NT為常數；α為函數的指數階數。

式（11）等號右側括號中第1 項和第3 項分別由快速傅里葉變換和快速傅里葉逆變換算法進行求解；而第2 項和第4 項為無限求和項，因此用連分式近似代替無窮冪級數的和［14］，即為

式中：P取正整數；dn（n=0，1，…，2P）為連分式各項系數。

式（12）中dn(n=0，…2P)可用Q-D菱圖進行求解，其算法如圖3所示。

圖3 Q-D菱圖

圖3中，前2列元素的計算式為

其余列元素的計算式為

由此可得連分式各項系dn的計算式為

2 方法驗證

ZPW-2000A 軌道電路的載頻頻率為1 700，2 000，2 300 和2 600 Hz，調諧區的引接線參數見表1，傳輸線參數參見文獻［16］。

表1 引接線參數

軌道電路發送端和接收端的調諧區參數相同［17］，1 700～2 300 Hz 載頻軌道電路調諧單元BA1和BA2的參數見表2。

表2 調諧單元參數

選取鋼軌類型為60 kg·m-1，信號源電壓Vs(t)=sin2(ωt)，其 中ω=2 πf，假定頻率f=1 700 Hz，Rg=0.021 Ω，Lg=18.2 μH，Rs=0.03 Ω，Ls=33 μH，Cb=55 μF，運用時域有限差分法與本文方法進行比較，計算結果如圖4所示。

圖4 接收端軌面電壓暫態響應

由圖4 可知，將本文方法與時域有限差分法求解的結果進行對比，誤差在8%以內，具有較高的計算精度，驗證了本文方法的正確性。

同等條件下，利用時域有限差分法和本文方法計算軌道電路接收端軌面電壓，耗時分別為368 和117 s。

因此，利用本文方法將集總參數元件及高頻損耗在復頻域內進行處理，避免了時域內的卷積計算和迭代計算，計算時長僅約為時域有限差分法的32%。

3 暫態響應分析結果

3.1 MTL沿線軌面電壓

鋼軌1 與鋼軌2 上MTL 沿線電壓的計算過程相同，因此，在考慮高頻損耗時，只計算了鋼軌1上MTL的沿線電壓，結果如圖5所示。

由圖5 可知，利用本文方法可得到沿線電壓的暫態響應三維圖，不僅能反映時間上的沿線電壓響應，還能反映空間距離上的沿線電壓變化。

圖5 鋼軌1沿線電壓

圖5 鋼軌1沿線電壓

3.2 影響因素對暫態響應的影響

3.2.1 高頻損耗

考慮高頻損耗時，阻抗計算式為式（5）；未考慮高頻損耗時，式（5）中表示高頻損耗項“K”為0?；谝陨戏治龇椒?，選取頻率為1 700 Hz，將對應的阻抗分別代入后續的計算，得到考慮高頻損耗與否的接收端軌面電壓暫態響應如圖6所示。

圖6 不同高頻損耗下接收端軌面電壓暫態響應

由圖6 可知，考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓的幅值小于未考慮高頻損耗時得到的軌面電壓幅值，符合有損傳輸線規律［18］。

3.2.2 頻率

ZPW-2000A 軌道電路的載頻信號頻率為1 700，2 000，2 300 和2 600 Hz，因此將其作為計算頻率進行分析，得到不同頻率下的接收端軌面電壓暫態響應如圖7所示。

圖7 不同頻率下接收端軌面電壓暫態響應

由圖7 可知，頻率越大，接收端軌面電壓幅值越小。隨著信號頻率增大，鋼軌和大地的集膚效應就越強，高頻損耗也就越明顯，電壓幅值也就越小，圖7呈現的結果符合這一規律［19］。

3.2.3 分路電阻

當軌道電路表面生銹或積污時，分路電阻過高致使軌道電路分路不良［20］，得到不同分路電阻下接收端軌面電壓與分路電阻的關系如圖8所示。

圖8 不同分路電阻下接收端軌面電壓暫態響應

由圖8 可知：隨著分路電阻增大，接收端軌面電壓降越來越小，小到一定值時可能導致軌道電路出現分路不良的情況；在列車駛入和出清時，無論分路電阻如何變化，暫態過程依然存在。

3.2.4 調諧區狀態

將調諧區設置為故障狀態，對比正常狀態時接收端的軌面電壓暫態響應，結果如圖9所示。

由圖9 可知，當調諧區故障時，接收端軌面電壓暫態響應與正常狀態時的暫態響應有所區別，為軌道電路的故障診斷提供一定的參考［21］。

圖9 不同調諧區狀態下接收端軌面電壓暫態響應

3.2.5 道床電阻

道床電阻在外界環境中易受溫度和濕度的影響，其作為一次側參數會影響信號在鋼軌上的傳輸，因此，為研究道床電阻對軌道電路接收端軌面電壓的影響規律，得到不同道床電阻下軌面電壓暫態響應如圖10所示。

圖10 不同道床電阻下軌面電壓暫態響應

由圖10 可知，在其他參數不變的情況下，隨著道床電阻的減小，信號在傳輸過程中的漏泄電流增大，接收端軌面電壓的幅值也隨之減小，且當道床電阻過小時，可能出現“紅光帶”故障情況［22］。

4 結論

（1）針對ZPW-2000A 軌道電路中因高頻損耗影響而難以準確分析暫態響應的問題，提出在復頻域內直接將高頻損耗項納入阻抗計算式進行計算，避免了時域有限差分法的復雜計算。

（2）通過分析ZPW-2000A 軌道電路暫態響應，可知考慮高頻損耗的軌道電路接收端軌面電壓小于未考慮高頻損耗時的電壓幅值。在列車駛入和出清時，接收端信號均出現暫態變化，且接收端軌面電壓降隨著分路電阻的增大而減小，隨著道床電阻的增大而增大，但是分路電阻過高可能導致分路不良情況，道床電阻過小可能導致“紅光帶”故障情況。

（3）與利用時域有限差分法的計算結果進行對比，求解方法誤差在8%以內，且計算耗時短；該方法可以準確、高效地分析高頻損耗下ZPW-2000A軌道電路暫態響應，為軌道電路暫態響應的分析提供理論參考。