基于Stackelberg博弈下的連續內部交易均衡的存在性

聶啟紅，周永輝

(1.貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州師范大學 大數據與計算機科學學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

在金融市場中，擁有私人信息的市場參與者，稱為內部人，常常會利用這些信息使得自己效用最大化。1985年，Kyle[1]首次提出了一類風險資產的多階段內部交易模型，并得到一類線性均衡的存在性。在該模型中，內部人在噪聲交易者的掩護下與做市商之間進行博弈，以使自身利潤最大化；而做市商對風險資產進行半強有效性定價。進一步，Holden等[2]將Kyle的模型擴展到多個知情內部人多階段的內部交易博弈模型，并得到序貫線性均衡的閉式解。此外，Gong等[3]還給出了領導者、追隨者等可能角色互換的序貫公平Stackelberg博弈的市場均衡。之后，Yang等[4]還考慮了兩階段投資者與“后手”投資者之間策略互動的內部交易模型，分別得到了純策略、混合策略下的博弈均衡。其他多階段單一內部人交易市場均衡研究，可見文獻[5-6]等。

1992年，Back[7]將Kyle模型推廣到連續時間內部交易情形，利用動態規劃原理證明了一類市場均衡的存在性。Back等[8]假定內部人僅知道資產價值分布，通過學習逐漸了解相關信息,得到內部交易策略與定價組合均衡。Cho[9]考慮了不同風險偏好的內部人在受歷史交易信息定價下影響的策略均衡。Campi等[10]研究了一類內部人還知道隨機破產時間的內部交易模型，發現均衡時的內部交易是不顯著的。Caldentey等[11]研究了風險資產受布朗運動驅動而交易隨機停止的情況。后來，Aase等[12]運用變分原理和濾波方法給出了線性均衡的閉式解。Ma等[13]進一步給出了一類受O-U型隨機微分方程驅動的風險資產在連續時間內部交易的市場均衡的必要條件，并得到了一類新的隨機微分方程在特定情形下的Q0-弱解。相關單個內部人連續內部交易研究，可見文獻[14-18]等。

2000年，Back等[19]首次研究了連續時間多個非完美信息的內部人進行的內部交易模型，并得到一類線性市場均衡的存在性。Zhou[20]指出，當兩個內部人擁有風險資產的完美信息，并在連續時間上進行古諾博弈時，市場不存在某種線性策略均衡。關于連續時間博弈下內部交易可見文獻[21]。

在市場中，內部人之間的關系復雜多變。本文主要研究兩個內部人在連續時間進行Stackelberg主從博弈，并討論一類市場均衡的存在性。

1 模型

在本文中所有隨機變量或過程均定義在同一個濾子化的概率空間上(Ω,F,{Ft},Ρ)，并且滿足通常性假設條件[22]。

(i)噪聲交易者：不知道資產價值v的任何信息，在t時刻隨機提交交易量zt

滿足[7]

(1)

其中，B是一個與v相互獨立的標準布朗運動；σZ是一個[0,T]上連續可微的、正的實函數。

(ii)領導者：知道風險資產價值v，并提交交易量xLt滿足[1]

dxLt=(v-Ρt)βLtdt

(2)

其中，βL為[0,T)的連續函數。

(iii)追隨者：也知道風險資產價值v，在時刻t接收到領導者的交易信息交交易量xFt，滿足[1]

dxFt=(v-Ρt)βFtdt

(3)

其中βF為關于βL的連續函數；βi(i=L,F)稱為內部人i在信息優勢(v-Ρt)下的交易強度。

(iv)做市商：知道風險資產價值v的分布，在t時刻收到市場交易訂單總量yt

yt=xLt+xFt+zt

(4)

(但不能區分噪聲交易者和內部人的交易量)，并根據交易總量制定價格Ρt滿足[1]

Ρt=λtdyt

其中λ是關于時間[0,T)的連續可微函數,稱為市場流動性[1]。

假設做市商是完美競爭和風險中性的，那么市場定價滿足

(5)

注意，對于給定內部人和做市商的三元策略組(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)，其中ΘL,ΘF,Λ分別為領導者、追隨者和做市商的策略集，還需滿足條件

(6)

于是，對于內部人來說，他們的期望利潤分別為

(7)

(8)

定義三元組(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)稱為市場的一個線性均衡，如果滿足以下條件：

(i)最大化利潤：給定λ，函數βi(i=L,F)分別使得(7)、(8)式達到最優；

(ii)半強有效性定價：給定βi(i=L,F)，λ滿足

2 線性均衡的存在性定理

下面給出存在性定理，證明將留在下一節。

定理1存在唯一的線性均衡(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)：

(9)

對應的內部人最大利潤為

(10)

對應的剩余信息為

(11)

評注定理1表明，當市場處于均衡時，領導者不參與交易；而追隨者壟斷整個市場，相當于文獻[12]中所描述的單個內部人的內部交易市場特征。這可能是兩者之間在連續時間上博弈，領導者及其他所有信息時刻被追隨者所追蹤，而領導者又必須遵從這種主從博弈結構所致；由此領導者期望利潤遠小于追隨者的期望利潤，這與文獻[3]中所描述的單階段Stackelberg博弈下的內部交易均衡特征相似。

3 存在性定理的證明

定理1的證明將分為4個步驟。首先考慮市場半強有效性定價的必要條件。其次，注意,對于追隨者的隨機控制問題，狀態方程為反饋系統，其應用最大值原理和動態規劃原理求解是等價的[23]；這里，我們將應用動態規劃原理，給出追隨者最優線性策略的必要條件。第三,由于兩個內部人遵從Stackelberg博弈結構，作為領導者，其策略需在每一時刻考慮追隨者的歷史信息，動態規劃原理求解不再適用；在此，我們將應用最大值原理，求解領導者的最優線性策略的必要條件。最后，整合前面步驟的結論得到存在性定理。

第一步半強有效性定價的必要條件

引理1 假設給定(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)，若λ使得Ρt滿足市場有效性定價，則

(12)

而剩余信息γt滿足常微分方程

(13)

證明由方程(1)～ (4)可得到信號、觀察系統

(14)

Ρt滿足市場有效性定價(5)，由文獻[24]中定理12.1得到

(15)

第二步追隨者最優線性策略的必要條件

證明記mt=v=Ρt，則由式(1)～(4)以及式(15)得到mt所滿足的SDE：

s∈[t,T],m∈

(16)

則對追隨者而言，對于給定的βL，λt，相應的條件值函數為

(17)

假設JF滿足It公式的正則性條件，運用文獻[23]中的動態規劃原理，易得到JF滿足的HJB方程如下：

(18)

從而，等價地

(19)

于是

由式(19)的第二個式子可得到

(20)

由式(20)意味著

因此得到

(21)

第三步市場均衡的必要條件

引理3 假設(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)是一個市場均衡，則有

證明下面將分3個子步驟進行。

計算領導者期望利潤

(22)

注意，根據式(13)和式(21)，可改寫為

其中C0為1個常數。

為了利用最大值原理，我們將討論下列函數關于βL的變分問題

其中，ξt為[0,T]上的任意連續函數。則有下列變分式子成立：

(23)

(24)

(25)

領導者的最優線性策略的必要條件

定義函數

(26)

由于βL為最優策略，根據最大值原理，則g在y=0處取得最大，從而

上式運用積分交換順序化簡得到

(27)

對所有的連續函數ξt∈ΘL都成立，因此等價得到

(28)

等式兩邊關于t求導得到

(29)

整理得到

(30)

第四步定理1的證明

假設(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)是一個市場均衡，根據引理2及引理3得到

βLt=0

可見，在市場均衡時，領導者不參與交易，這時追隨者壟斷整個市場，即與文獻[12]所研究的單個內部人交易市場相同。注意,對于追隨者的隨機控制問題，狀態方程為反饋系統，其最大值原理和動態規劃原理的求解是等價的[23]。所以，本文模型中追隨者的最優交易強度和市場流動性與文獻[12]中應用最大值原理所得到定理1結果一致，即

對應的內部人最大利潤為

對應的剩余信息為

從而定理得證。

4 總結

本文建立了兩個內部人在連續時間進行Stackelberg主從博弈的內部交易模型,并給出了一類線性市場均衡的閉式解。研究發現，市場處于均衡時，風險資產價值的所有信息體現在定價之中。由于內部人之間遵循主從博弈準則，追隨者時刻追蹤領導者的交易信息以完全了解風險資產價值信息，導致領導者不參與交易，追隨者壟斷整個市場。那么，如果在實際情況下，誰都不愿意作為領導者，除非硬性要求。因此，領導者如何在真實的博弈中適當向追隨者透露部分信息使得自身利潤最大化，我們將另行文研究。