具有隨機切換的泛函Liénard方程的平均法

徐燕,李彩月

(河北大學 數學與信息科學學院,河北 保定 071002)

隨機微分方程作為一種動態模型,廣泛應用于復雜的生物、物理、化學和工業等領域.在自然界和工程實踐中,由于隨機擾動的影響許多現象或過程具有多尺度特征.例如：在經典的基因表達模型中,由于轉錄過程快于翻譯過程,所以可用雙時間尺度系統刻畫，另外,地理方面的大氣和海洋現象等許多物理現象也都具有空間或時空的多尺度特征，因此,用多尺度系統理論來描述或分析這些現象或過程是十分有必要的.對于多尺度的定性分析,平均法提供了極大幫助.多尺度的隨機微分方程的平均法就是在一定的條件下,將快變量過程視為隨機噪聲并將其消除從而得到一個極限過程,使得極限過程的解逼近原始方程中慢變量的解.

平均法廣泛應用于力學、物理、控制等領域,是簡化動力系統從而得到微分方程近似解的有力工具.平均原理首先由Krylov等[1]提出,而后由Gikhman[2-3]推廣到非線性常微分方程.1968年,Kh?minskii[4]首次將平均法推廣到隨機微分方程.此后,隨機微分方程的平均法便引起學者們廣泛關注.文獻[5-8]討論了在Lipschitz條件下的雙時間尺度隨機微分方程的平均法.Xu等[9]拓展文獻[5-8]中的結果,將平均法應用到非-Lipschitz條件下的隨機微分方程.通過消除快變量建立了耦合系統平均方程存在定理,從而將系統簡化為單個隨機微分方程.結果表明,該慢變量強收斂于相應的平均方程的解.

另一方面,某些過程在已知現在時刻所處的狀態條件下,其在將來時刻處的狀態,只與過程在時刻所處的狀態有關,而與過程在時刻以前所處的狀態無關.當在不確定性條件下的實際系統出現這樣的過程時,通常使用Markov模型.Yin等[10]收集了分散在其他關于Markov鏈文獻和奇異攝動的一些觀點.但在處理不確定條件下的實際系統時,往往非常復雜.因此，希望將一個復雜的、大維度的系統劃分為許多更簡單、低緯度的子系統，否則,即使有強大的計算設備,也很難處理.同時,Markov鏈通常受制于頻繁的波動,為突出空間狀態中不同的波動速率,引入一個小參數ε>0,可以表明Markov鏈在單個狀態Wk中波動很快,但從狀態Wi跳躍到狀態Wj卻很慢(i≠j).因此,在Wk中的狀態可以聚合為一個狀態k.這樣通過分離-聚合的思想從而使潛在的問題是可解決的.對于此類的Markov模型，Yin[11]推廣了一般的保險風險模型,研究了由連續時間Markov鏈調制的雙時間尺度跳躍擴散模型，其中,Markov鏈在文章中表示保險風險模型在不同的社會環境中所處的狀態.Yin等[12]利用平均法研究了具有隨機切換的隨機Liénard方程,對于系統中同時出現的連續變量(隨機Liénard方程的解)及離散變量(在很大但有限的狀態空間中的Markov鏈),結合分離聚合的思想、鞅問題公式,得到一個弱收斂結果.

隨機微分方程的平均法已經取得了很大的進展,但對于隨機泛函微分方程的平均法的研究卻很少.Dupire[13]利用分段泛函導數建立了泛函It公式,量化了路徑在端點處的泛函變化.泛函It公式的建立改變了隨機泛函微分方程的發展格局,解決了許多由于長期缺乏工具而無法解決的問題,并為隨機泛函微分方程的發展奠定了基礎.Wu等[14]拓展泛函It公式到混合泛函微分方程的It公式,利用混合泛函It公式和鞅表示定理得到具有雙時間尺度的路徑相關泛函擴散系統的漸進性質.受此啟發,本文將泛函It公式應用到具有隨機切換的泛函Liénard方程,利用平均法得到隨機泛函Liénard方程的平均方程, 得到的極限過程可以用于逼近和計算分析原始方程, 以降低計算復雜度.

1 預備知識和符號假設

定義過程xt={x(σ∧t):0≤σ≤T}為[0,T]上的函數,即有效信息始終在[0,T]內,其中xt表示對歷史的依賴;R2表示具有歐幾范數|·|的2-維歐幾里得空間;D([0,T];R2)表示在[0,T]內右連左極且取值在R2內的函數空間,其范數定義為最大范數‖·‖∞;C([0,t];R2)為從[0,T]到R2的連續函數族;對任意N>0,BN={x：|X|

首先,給出水平導和垂直導的相關概念.

定義1[15]設xt={x(σ∧t):0≤σ≤T},若非預期泛函F：[0,T]×D(0,T];Rn)→R的極限

存在,則非預期泛函F在(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)處水平可微,稱DF(t,x)為F在(t,x)處的水平導數.

定義2[15]設xt={x(σ∧t)：0≤σ≤T},若泛函映射e→F(t,xt+e1[t,T])在0處可微,則非預期泛函F：[0,T]×D([0,T];Rn)→R在(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)處垂直可微,其在0處的梯度稱為F在(t,x)處的垂直導數:

xtF(t,x)=(?1F(t,x),…，?nF(t,x)),

其中,

如果F對所有(t,x)∈[0,T]×D([0,T];Rn)垂直可微,則稱非預期泛函xtF為在(t,x)處的垂直導數.

在完備的概率空間(Ω,F,P)中,研究以下系統:

(1)

基于上述討論,給出以下相關假設.

因此,系統(1)可以寫為

(2)

2 鞅問題方法

因此,相關算子為

(3)

利用隨機平均法,得到系統(2)平均后的方程

(4)

其中，

定義截斷函數為一個平穩函數，使得

當x在半徑為N的球內時其截斷為1,在半徑為N+1的球外時其值為0,且是光滑連通的.因此可將方程(2)寫為

(5)

假設H1)說明了f(xt,l,t)在x處有界保持,且f(xt,l,t)在[0,T]上關于γε連續有界,印證了f(xt,l,t)∈Cb(R2;W,[0,T]),由此可得fN(xt,l,t)是有界的.同理可得對任何x∈D([0,T];BN),gN(xt,l,t)和hN(xt,l,t)是有界的.

(6)

為討論Xt的胎緊性,需要下面的定理.

如果存在一個隨機變量Φε(σ),對任意0≤s≤σ,t≤T使得

為得到本文主要結果,給出以下引理.

引理2在假設H2)的條件下,對于i=1,2，…,l,j=1,2，…，mi以及有界可測確定函數βij(·)，有

證明見文獻[10]引理7.18.

(7)

將系統(5)代入式(3),有

由引理2,可知

(8)

關于其余項,應用引理2以及dl的有界性可得

可得

(9)

結合式(8)和式(9)可得

(10)

同理,有

(11)

因此應用相同的技巧,可得

(12)

同時，有

(13)