平均法處理自由落體頻閃數據的研究

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所,甘肅 蘭州 730070)

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平均法處理自由落體頻閃數據的研究

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所,甘肅 蘭州 730070)

研究了處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的平均法,結果表明:有2種可行方法,結合實測數據給出了合理結果;拓展了現行教課書中相關的方法,提出了相應的教學建議.

平均法;自由落體;頻閃數據;重力加速度;教學建議

1 引言

自由落體運動是普通高中課程標準實驗教科書物理1的基本內容,[1,2]圖1是小球自由落體頻閃照片.[2]運用什么方法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度?現行教科書[2]僅給出了v-t圖像法,可否運用平均法?有怎樣的特點?就此進行相應的研究,以期拓展處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的方法,為教學設計奠定層次性、開放性的物理基礎.

圖2 頻閃點n和位移hn

2 平均法的推證

平均法是物理實驗數據處理的基本方法,也是解決擬合(回歸)直線時方程數多于變量數的方法,[3]據此簡明推證處理頻閃數據測定重力加速度的平均法.小球做自由落體運動的頻閃點n和位移hn(頻閃周期為T)如圖2,則有

(1)

式中n=1,2,3,…,且n=0時,h0=0.式(1)表明:位移hn與時間nT呈二次函數關系.依據平均法處理數據的基本思想(分組-平均),[3]并考慮自由落體頻閃數據特點(t=0，即n=0時,h0=0,v0=0),[4]可得處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的位移平均法和速度平均法.

2.1 位移平均法(h-n2平均法)

式(1)可寫為

(2)

式(2)表明:hn與n2呈線性關系(T、g為恒量).測得的N組數據(n,hn)依次代入式(2),得N組線性方程,直接求和得

(3)

簡化式(3),有

(4)

結合圖1,n=0,7,8,9,10,11(n=0時,h0=0),由式(3)得

(5)

由式(5)可確定圖1的重力加速度gh.

2.2 速度平均法(v-n平均法)

式(1)線性化,得

(6)

(7)

簡化式(7),有

(8)

結合圖1,n=0,7,8,9,10,11(由自由落體頻閃數據特點知:n=0時,v0=0),由式(7)得

(9)

由式(9)可確定圖1的重力加速度gv.

3 平均法的運用結果

由現行教科書中小球自由落體頻閃照片[2]測得頻閃點n對應的位移hn(單位cm)數據(頻閃周期T=0.033s)如表1,依次運用上述推證的平均法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的結果如下.

表1 小球自由落體的頻閃數據

3.1 位移平均法的結果

由式(5)、表1得gh=976.7cm/s2.

3.2 速度平均法的結果

由式(9)、表1得gv=976.6cm/s2.

4 討論

4.1 平均法的特點

上述2種平均法不僅充分利用了測量數據,而且均考慮了自由落體頻閃數據特點(t=0，即n=0時,h0=0,v0=0);從上述推證過程知,2種平均法的形式不同[式(3)、(7)或式(5)、(9)],但實質均為線性函數平均法.

比較2種平均法知,平均法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的簡捷程度(由簡到繁)為:位移平均法[式(3)或式(5)]、速度平均法[式(7)或式(9)].因此,宜采用位移平均法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度.這就為平均法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的層次性教學設計奠定了基礎.

4.2 平均法的合理運用

平均法處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的運用過程中可能會由式(2)或式(6)的線性方程先求出N組ghn或gvn,然后再求平均,即所謂的“方程法”.如此運用平均法合理否?憑感覺似乎合理,但與物理實驗間接測量數據處理算法抵觸.依據間接測量數據處理算法的“先平均”法與“后平均”法的討論知:[5]g(待測量,間接測量量)與n、hn(直接測量量)均有明確的函數關系[式(2)、(6)],g存在確定的實際值(對當地,為恒量);且由式(2)或(6)的任一方程確定的gn的波動性主要反映隨機誤差.因此,處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的算法采用“先平均”法(位移平均法式(3)、速度平均法式(7)直接計算g值);而處理自由落體頻閃數據測定重力加速度算法的“方程法”即“后平均”法明顯欠妥,且因兩次運算引入計算誤差.鑒于:“先平均”法和“后平均”法各適用于兩類本質不同的問題;雖然“先平均”法與“后平均”法的數學運算結果對相當多的具體問題相差甚微,但也不宜混用.[5]因此,自由落體頻閃數據處理不應運用“后平均”法即“方程法”.

上述2種平均法[式(2)、(6)]可歸為正比函數y=ax的平均法,依據平均法的基本思想(分組—平均)可概括出平均法合理運用于正比函數的程序:測N(N≥6)組數據(xi,yi)→得N組線性方程(僅有待測量即間接測量量a,故無需將方程分組)→N組線性方程求和→得a估值(式(3)、(7)可作為合理運用的實例).

4.3 平均法與回歸圖像法特點比較

5 教學建議

基于平均法特點、平均法與回歸圖像法特點比較,有如下處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的方法建議.(1) 若取向于直接計算,且需理解“來龍去脈”，則宜運用平均法.(2) 若取向于間接計算,且不需了解“來龍”、僅需知道“去脈”即會直接運用相應的Excel程序得正比函數圖像和斜率(即重力加速度)，則宜運用回歸圖像法.

由現行教科書中小球自由落體頻閃照片測量數據,再運用平均法處理頻閃數據測定重力加速度,經歷了測量過程、運用了數據處理方法,具體落實了“過程與方法”教學目標.因此,平均法不僅具有教學適應性,而且具有落實高中物理課程“過程與方法”教學目標的功能性.鑒于此,處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的方法教學適宜采用平均法.

6 結語

簡明推證了處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的位移平均法和速度平均法,結合實測數據給出了合理結果,討論了平均法的特點、簡捷程度、合理運用、平均法與回歸圖像法特點比較,提出了不同教學目標取向時運用平均法、回歸圖像法的教學建議,給出了實際教學中宜運用平均法的教學過程與方法分析.拓展了現行教科書中處理自由落體頻閃數據測定重力加速度的方法.

2種平均法可作為高中物理科學方法教育的顯性內容,通過層次性、開放性的探究式教學,可培養與提升物理實驗數據處理的方法.

1 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書物理1(第3版)[M].北京:人民教育出版社,2010：43-45.

2 束炳如,何潤偉.普通高中課程標準實驗教科書物理1(第3版)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2007：44-52,48.

3 龔鎮雄.普通物理實驗中的數據處理[M].西安:西北電訊工程學院出版社,1985：126-130.

4 許國梁,束炳如.中學物理教學法(第2版)[M].北京:高等教育出版社,1993：456.

5 朱鶴年.物理實驗研究[M].北京:清華大學出版社,1994：106-112.

6 朱鶴年.基礎物理實驗教程:物理測量的數據處理與實驗設計[M].北京:高等教育出版社,2003：77.

2016-12-26)