對Keenan 推理模式中量詞分類的再研究

鄭裕穎

（中國人民大學哲學院，北京 100872）

在日常推理當中，往往存在一些較為常用的推理套路，例如最常見的三段論推理模式：所有希臘人都是勇士，沒有勇士會畏懼，所以沒有希臘人會畏懼。為了簡化我們的判斷進程，邏輯學家對這樣的推理套路加以抽象，得到相應推理模式：所有(A,B)，沒有(B,C)，所以，沒有(A,C)。在這個推理模式當中，量詞起到了至關重要的作用，如果我們將其中的量詞替換掉，將會得到無效的推理。例如：有些(A,B)，沒有(B,C)，所以沒有(A,C)。針對這個判斷，可以舉出具體的例子：有些生物是哺乳動物，沒有哺乳動物不是胎生，所以所有生物都是胎生。因此，量詞可以對推理模式的有效性起到決定性作用，在對任何日常推理做抽象時，都必須對量詞做好區分和限定。

如果只憑借直觀印象去判斷，下面這個推式并非難題：

Keenan 認為[1]，在這個推理模式的條件當中出現的量詞就是比例量詞。而Westerst?hl 則認為，這樣的量詞應當歸類為駐留的右單調遞增的量詞[2]，而并不限于比例量詞。

對于Westerst?hl 的分類方式，Keenan（2008）[3]認為Westerst?hl 的分類方式盡管看起來更一般，但其實是多余的，因為后者分類方式所包含的量詞全部都是比例量詞，此外，存在更多的自然語言的推理模式，其中參與的量詞是比例量詞。但Keenan 并未對后者和原有的比例量詞分類之間為何會有范圍一致的情況做出解釋，因此直接否認單調性的分類方式的理由不夠充分。因為我們不免產生疑問：假如二者范圍一致，為何不采用后者呢？此外，這兩種分類方式是否是等價的？

Westerst?hl 雖然證明了其分類方式有效，但并未給出相應的直觀依據，因此很難直接看到它和比例量詞的分類方式之間的聯系，盡管兩種分類方式針對的是同一類量詞。也就是說，我們已經知道上述有效推理模式當中可使用何種量詞，并且已經通過簡單的證明確認這些類型的量詞當中的確有一部分可保證推理的有效性；但是我們并不知道這種推理模式何以適用于這樣的量詞，為什么這些類型下的量詞可以確保推理的有效性。

本文將比照兩種分類方式的優劣，確定二者的關聯以及各自的適用場合，并在此基礎上給出一個對自然語言推理模式當中的量詞歸類的一般路徑。下文將解釋涉及此話題的主要概念，指出Keenan比例量詞分類的關鍵不足，為Westerst?hl 的結論給出另一種證明方法：直觀的逆推證明法，從而讓這個分類方法更有說服力。在從直觀角度比照兩種歸類方式之后，我們發現這二者的聯系：它們都建立在數量的基礎上。這也從側面說明了量詞與謂詞的不同。

一、概念簡介

我們這里的量詞，指的是廣義量詞（Generalized Quantifiers），也就是一階邏輯的全稱量詞和存在量詞的推廣，也即不僅限于這二者的量詞。我們這里對量詞的定義采用了模型論視角下的定義，這一定義由Mostowski 在1957 年首次提出[4]。

定義1 （公式在模型中的擴展）

定義2（量詞的類型）

量詞的類型指的是一個每個成員都不小于1 的自然數序列τ=〈n1,… ,nk〉。[5]65

比如類型〈1,1〉就是一個有序二元組，它的每一個成員都是1，因此滿足“不小于1”的要求。量詞的類型主要用于說明在這個量詞的數量關系下的論元的類型，是個體集，還是多關系（這里的關系包括映射等復雜的關系）。比如〈1,1〉類型的量詞表示的是兩個個體集論元之間的數量關系。例如“3 個人吃了蘋果”，其中的量詞是“3 個……是……”，論元分別是“人”和“吃了蘋果的人”這兩個個體集。而〈1,1,2〉類型的量詞則包含兩個論元，且第二個論元是二元關系，例如：“3 個人一共吃了5個蘋果”，我們無法說3 個人是“一共吃了5 個蘋果的人”，因為這里的意思是“3 個人吃的蘋果加起來有5 個”，而不是每個人都吃了5 個蘋果。因此這里的數量關系不是單純的個體集之間的關系，而是個體集“人”、二元關系“……吃……”以及個體集“蘋果”三個論元之間的關系。

定義3（任意類型的量詞）

一個類型為τ的量詞Q給每個域M指派一個M上的k元二階關系QM，其中QM的第i個論元是M上的ni元關系。則（其中的定義由如下公式給出：

對a1,…,al∈ M ,

結合定義1 和定義2，可以看出，這里的量詞也就是對不同的公式給出相應的“解”的集合的有序多元組。也就是說，量詞的每一個論元可能出現的情況是一個公式的“解”，由這個公式所定義，而這些論元之間的組合關系就是量詞。例如上述例子當中，“吃了5 個蘋果的3 個人”、“被3 個人吃掉的5 個蘋果”和“……吃……”三者能令句子“3 個人一共吃了5 個蘋果”為真的組合情況的合集就是對該句子當中量詞的刻畫。簡言之，量詞就是用于限定、刻畫這些論元的組合關系的二階關系。

根據上述定義，類型是一種用于劃定量詞所涉及的對象的范疇。其中，類型的論元數確定了量詞涉及多少個不同類型的對象，每個論元的具體數目確定了每個類型的對象類型是幾元組（是單一的個體集，還是更為復雜的關系集或映射集①）。而本文背景介紹當中的推理模式所涉及到的量詞是〈1,1〉類型的量詞，我們在自然語言中遇到的量詞主要是類型〈1〉和〈1,1〉。而根據研究，類型〈1〉的量詞可以找到等價的類型〈1,1〉的量詞，因此本文只探討類型〈1,1〉的量詞及其表現。為行文方便，下文的量詞均指類型〈1,1〉的量詞。

須要注意的是，本文所指的〈1,1〉類型的量詞不同于謂詞表達的二元關系。首先量詞主要面對的不是具體個體，而是個體數量，往往可以忽略具體的個體；其次，量詞是邏輯常量，而謂詞則作為參數出現②。

定義4（比例量詞）

一個量詞Q 是比例量詞（Proportional quantifier），當且僅當對所有的集合A,B,X,Y，如果那么Q(A,B)=Q(X,Y)[5]88。

也就是說，比例量詞的兩個個體集論元的交集和第一個論元之間的基數數量比例直接決定了比例量詞自身的全部意義。通俗和不嚴格地說，表示兩個個體集大小之間的固定數量比例的量詞就是比例量詞。

抽象地看，單調性（Monotonicity）指的是函數F 的性質，與兩個序關系≤1和≤2之間存在如下關聯之一：

如果x1≤1x2那么F(x1)≤2F(x2)（單調遞增）；

如果x1≤1x2那么F(x2)≤2F(x1)（單調遞減）。

具體到量詞，上述單調性中的函數對應量詞，兩個序關系分別對應集合之間的包含關系和量詞表達式之間的蘊涵關系。由此，類型〈1,1〉的量詞的單調性定義如下：

定義5

類型〈1,1〉的量詞QM在第1 個論元上是單調遞增的，當且僅當：如果QM(R1,R2)且R1? R1′，則QM(R1′,R2);

類型〈1,1〉的量詞QM在第2 個論元上是單調遞增的，當且僅當：如果QM(R1,R2)且R2? R2′，則QM(R1′,R2)。單調遞減的定義類似。

例如，量詞“每一個”就是在第二個論元上單調遞增的，因為當我們說“每一個學生都吃水果”時，“蘋果”作為第二個論元，它是“東西”的子集，因此我們可以直接得到“每一個學生都吃東西”。因此滿足單調性的定義。

量詞的單調性不僅限于單純的遞增和遞減。對于類型〈1,1〉的量詞，就上述定義而言可以直接得到四種單調性，分別是左遞增（左邊論元上單調遞增，記作↑MON，右遞增（右邊論元單調遞增，記作MON ↑），左遞減和右遞減（定義和記法可類推）。此外，單調性對于擁有同構性（Isomorphic,簡寫為ISOM）和駐留性的量詞而言還有更復雜的種類。

定義6 （駐留性）

類型〈1,1〉的量詞Q稱為駐留的[6][7]③Conservativity，縮寫為CONSERV），當且僅當，對所有的M和所有的A,B ? M，QM(A,B)? QM(A,A ∩B)。

駐留性說的是兩個論元的數量關系等價于第一個論元和二者交集之間的關系，頗有一種量詞意義全賴A以為生的意味，因為對任何集合B而言，我們不需要考慮B的全體在量詞中的表現，而只需要考慮B中屬于A的部分，就可確定B與A的關系是否符合該量詞。這樣的量詞是非常普遍的，幾乎我們見到的所有自然語言的〈1,1〉類型的量詞都具備這樣的性質。例如“多數貓是橘色的”,這里的兩個論元是否符合量詞“多數”的要求，實際上依賴于“貓”這個個體集，我們不關心其他橘色的事物，而只在乎“橘色的貓”。

文中主要涉及到的幾個量詞相關的運算包括外否定（Outer negation），內否定（Inner Negation）和對偶（Dual）。三者定義如下：

對類型〈1,1〉的量詞Q，(? Q)M(A,B)?并非QM(A,B)(外否定)

(Q?)M(A,B)? QM(A,M-B)（內否定）

Qd=?(Q?)=(? Q)? （對偶）

例如，“所有人都是老師”，其中的量詞是“所有(A,B)”，A是“人”，B是“老師”。那么把它換成它的內否定得到的句子意義應當是：所有人都不是老師。也就是說，內否定的量詞等價于“所有(A,)”，也就是“沒有(A,B)”。而“所有(A,B)”的對偶就是在內否定上加上外否定，即“并非沒有(A,B)”，也就是“有(A,B)”。下一節我們將論證，在上述推理模式中出現的量詞“超過(A,B)”的對偶正是“至少”。

二、比例量詞分類方式

對于上文的推理模式，我們假設Keenan 的比例量詞歸類法是合理的，并進一步舉例如下：

結論1

對于0≤ p≤ 1的分數p而言，量詞“超過p”與“至少1-p”互為對偶。

證明：

令Q代表量詞“超過p”，Q′代表量詞“至少1-p”。QM(A,B) iffQMd(A,B) iff并非QM(A,M-B) iff 并非p （由A ? M） iff

根據上述分析，我們可以抽象得到更為一般的推理模式(1)如下：

其中的sоmе(A,B)意為有些A是B，即：sоmе(A,B)iff A ∩ B ≠?; M是量詞作用的域。

那么，是否所有的比例量詞都可以有上述對偶關系呢？從比例量詞的定義可以看出，的值直接決定了比例量詞Q(A,B)的意義，我們用a表示的值，比例量詞中的分數的值記作p，則一個比例量詞可能出現的a,p關系代表了比例量詞的意義，列舉在下表的左列。而這些值所對應的對偶量詞中可推出的a，p關系相應地列在右邊，如下表所示：

表1 a，p關系表

由此，可以得出關于比例量詞對偶運算的一個結論如下：

結論2

設X是有理數區間[0,1]的子集。

對任意比例量詞Q，Q滿足QM(A,B)?∈X等價于QMd(A,B)?1-∈Y

（Y是X在[0,1]中的補）。

其中，當X是連續區間時，對應的例子為1-10；X是非連續區間時，對應的例子是11。

證明：

設Q為比例量詞，QM(A,B)iff∈X。

則QMd(A,B) iff 并非QM(A,M-B) iff 并非∈Y其中Y=（由A ? M）

在考查比例量詞的對偶運算后，我們進一步檢測，是否所有的比例量詞及其對偶都滿足這樣的推理模式，即當Q 為比例量詞時，推理模式(1)是否有效。

根據我們舉例表格，推理模式（1）并非對所有比例量詞都有效。例如，第一組量詞就不符合該推理模式。

容易得出，要想必然得出存在兩種費用都未繳納的人，必須保證二者在比例上的和超過1，那么二者一定有相交。而根據上述推理模式，我們可知并且從而，因此這兩個條件無法必然地得出上述結論。

用同樣的思路可以對表格當中的量詞一一驗證，可知，2 和5 同1 一樣，代入這樣的推理模式也是不有效的。而4，7，8，9，10，11 由于無法必然地得出二者的和大于1，因此也無法得到有效的推理?？梢钥闯?，單說參與推理模式(1)的量詞是比例量詞則顯得過于籠統，因為多數類型的比例量詞都是不能有效實現該推理的。

將這種推理模式中的量詞歸類到比例量詞之后，還應該以量詞之間的數量關系為保障。這也是我們日常推理當中判斷這類推理正確與否時最自然直觀的依據。從比例的角度看，兩類集合所占比例之和在數量上超過1，就相當于二者的數量和超過了總量，那么必然是存在相交的。那么這種推理模式實際上可用的量詞不應當局限于比例量詞，只要兩個條件當中的量詞可以讓兩個類型的成員數超越總數，就可以得到類似的有效推理。當然，這個推理模式中不僅有數量的要求，還需要保證兩個條件當中的量詞互為對偶。

要想確保兩個條件當中的量詞彼此之間的對偶關系，脫離了比例量詞這個限制是否可行呢？換句話說，是否存在不是比例量詞卻適用推理模式（1）的量詞呢？根據Keenan（2008），這樣的量詞不存在。假設在兩個條件中，量詞表達的不是比例，那就只能是具體的基數n(n ≠0)，即Q(A,B)表達的就是|A ∩ B|=n，那么Qd(A,C)的語義是，|A ∩|≠ n。但是從這兩個前提|A ∩ B|=n和|A ∩|≠ n我們無法得知|A ∩ B|+|A ∩ C|與|A|的數量關系。也即，我們通過這兩個條件無法看出是B 和是C 的A 的數量是否超過A 的總量，從而無法必然地得出A 中存在同時是B 和C 的成員。由此，我們可以確定，只有比例量詞可以滿足推理模式(1)。因此，推理模式(1)所需要的數量關系與比例量詞的某種性質相關。此外，從以上的例子中我們可以看出，駐留性不能保證量詞滿足推理模式(1)。

綜上，只有比例量詞可以滿足推理模式(1)，但大多數類型（按數量范圍分）的比例量詞都不滿足該模式。因此，單用比例量詞來涵蓋整個推理模式當中出現的量詞類型是不夠的，但比例量詞所具備的某些性質在歸類當中是必要的。

除了將推理模式(1)中的量詞歸類為比例量詞，Keenan 還在其他推理模式當中使用了比例量詞的歸類，如Keenan（2008）中提出的中點定理：

定理1（中點定理）

令p,q為分數，使得0≤ p≤ q≤ 1，p+q=1。那么 (BETWEEN p AND q)和(MORE THAN p AND LESS THAN q) 都由?所固定。

定義7

對分數p 和q 使得0≤p≤q≤1，

(BETWEEN p AND q)(A,B) 當且僅當 A ≠ 0 且

(MORE THAN p AND LESS THAN q)(A,B)當且僅當A ≠0 且p＜＜q。

定義8 量詞F由?所固定，當且僅當F=F?。

這個定理當中涉及到的量詞，對應于上文比例量詞表當中的7 和10 類型，除了數值還有進一步的限定：p1+p2=1。對應到表中，可以得到如下關系：

表2 a，p，q關系表

其中，р+q=1。容易看出，這里的量詞7’和10’都是它們自身的對偶的否定。即：? Q=Qd=? Q?。那么Q=?? Q=? Qd=?? Q?=Q?，因此Q 被固定，中點定理得證。但同樣，Keenan（2008）的這種歸類并不能涵蓋所有的比例量詞類型。但可以確定的是，比例量詞特有的表示比例的性質在對偶運算當中可以表示集合間的相交關系，從而確保相應的推理模式有效。

三、單調性的分類方式

如果僅僅給出推理模式(1)，我們可否通過逆推找到其中量詞的性質或者滿足的條件，從而給出更為精確的歸類呢？下面我們嘗試逆推滿足推理模式(1)的量詞具備怎樣的性質。

首先，Q不可能是“沒有(A,B)”即，若Q(A,B)的語義為“沒A是B”那么推理不成立。驗證如下：

已知：沒有A是B；且并非沒有A不是C，則必然沒有A同時是B且C。推理顯然不成立。

我們對剩下的可能分情況討論如下：

綜上，Q 要使得推理模式(1)有效，須具備如下性質：

性質1

然而，這個性質不容易直接化簡。因為我們需要從條件當中出現的作為論元的集合與Q及其對偶量詞的關系得出三個集合之間的交集非空的結論，而我們并不知道交集和量詞Q之間的具體關系。為了方便化簡，我們縮小Q的范圍：這樣的Q須滿足駐留性。這樣就可以讓Q與交集之間有一定的聯系。選擇駐留性對鎖定Q的范圍影響不大，因為自然語言當中不具備駐留性的〈1,1〉類型的量詞本身就比較少見，且有爭議④。

因此，我們設Q具有駐留性。則性質1 可改寫為：

假設Sоmе(A,B ∩ C)不成立，即A ∩B ∩C=?。則有A ∩B ?。則要想使性質2 成立，我們希望在推理模式(1)的兩個條件以及A ∩B ∩C=?之間產生矛盾。這個矛盾可以是Q(A,A ∩B)且? Q(A,A ∩B)；也可以是Q(A,A ∩)且? Q(A,A ∩)。若矛盾是Q(A,A ∩B)且? Q(A,A ∩B)，則由Q(A,A ∩)和A ∩B ∩C=?可得? Q(A,A ∩)，則只需Q 是右單調遞增的。同理，若矛盾是? Q(A,A ∩)也只需是右單調遞增的。因此，Q是右單調遞增的可以確保(1)有效。

Barwise 和Cooper 曾經證明了具備右單調性的任何量詞都可以滿足推理模式（1）。

Westerst?hl（2006）認為，滿足推理模式(1)的量詞就是右單調且駐留的量詞。并且給出了證明，這里省略。

而類似于上一節的分析，我們可以從數量的角度歸納Q所必須具備的性質。要保證Sоmе(A,B ∩C)，只需要|A ∩B|+|A ∩C|＞|A|。即只需要。設則Q只需使得x+у＞1即可。但x和у之間理應存在數量關系，因為二者都與Q有關。為了方便測算x與у之間的數量關系，我們設Q(A,B)等價于U=其中，X是有理數區間(0,1]的某個子集，Y是令集合U等價于Q(A,B)成立所需的其他條件的類。Qd(A,C)等價于，其中的是X在區間(0,1]中的補集，Y′是令集合Ud等價于Qd(A,C)成立所需的其他條件的類。也就是說，x的取值范圍一定是X，而у的取值范圍是{1-b:b ∈}。綜上，x和у需要滿足的數量關為：x+у＞1，且x ∈X，且у ∈{1-b:b ∈}。其中，條件x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}是從推理模式的兩個前提得出的，是所有量詞都需要滿足的條件，而不限于能讓推理模式有效的量詞。

也就是說，只要量詞Q 允許我們從x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}得出x+у＞1，那么這個量詞就可以令推理模式(1)有效。即只要量詞Q允許我們從x ∈X和1-у ∈得出1-у＜x，這個量詞就可以令推理模式(1)有效。Q只能令X在數軸上的位置永遠在之后。因此Q只能令x的取值范圍形如р＜x≤1，р≤ x≤ 1。

若已知Q(A,B)，B ?D，設(р,1]為x的取值范圍，則有Q(A,B)={x ∈(р,1],Y}，且р＜，若保持條件Y也適用于A,D，則有Q(A,D)。因此，Q是右單調遞增的。若條件Y無法適用于A,D，則Y會隨著B擴展為D而出現變化。由于Q是駐留的，因此B變為A ∩B不會影響Y的適用性，但二者變為A ∩ D會影響Y的適用性。由于р＜且р＜可知|A ∩ B|=|A ∩ D|，由于B ? D，$A ∩ B ?A ∩D。又因為二者基數相同，因此A ∩B=A ∩D。所以Y必然適用于A,D，因此有Q(A,D)。從而Q一定是右單調遞增的。

反過來，若Q右單調遞增，則在|A ∩B|不斷增大的同時，Q(A,B)依然要成立，則對于一個臨界點的|A ∩W|值及比它更大的值而言，Q(A,W)都成立。從而我們可知，的取值范圍為形如р＜x（如前所述，這里）或р≤x的范圍，р為該臨界值。這剛好是滿足推理模式(1)所需要的Q中x的取值范圍。

因此，通過逆推的方法可以發現，滿足推理模式(1)的量詞剛好是右單調遞增的量詞。而利用尋找符合推理模式(1)的比例量詞時所使用的數量規律逆推量詞的性質時，也可以驗證量詞需具備右單調遞增的性質。在數量規律的視角下，單調性可以確保條件x ∈X和у ∈{1-b:b ∈}成立，因此得以實現數量規律。無論如何，單調性的分類方式直觀上還是依賴于比例關系。

綜合上述分析，可以看出兩種分類方式既有區別也有聯系，二者作為分類方式也各有利弊。

比例量詞的分類方式直觀上更符合我們日常判斷這個推理模式有效性的思維過程，即通過數量關系得出存在性的判斷：兩個前提條件只要保證A是B的數量和A是C的數量之和大于A的總量，即可得出存在A同時是B和C。而比例量詞可以直觀地表示出A分別和B、C之間在數量上的比例關系，因此這種分類方式是最直接也最貼近我們直觀推理思路的。但是比例量詞按照其范圍大小可以分出11 類，而其中大多數類型都不能使該推理模式成立。因此比例量詞的分類過于寬泛。但我們可以將其改進為：可以使該模式有效的量詞剛好是3 和6 類型的比例量詞。

單調性的分類方式更具概括性，且不會夾帶大量不符合推理模式的量詞：可以使推理模式有效的量詞剛好是具備駐留性的右單調的量詞。Westerst?hl 和Mostowski 雖然給出了證明，但是這種分類方式的直觀依據并未得到分析。我們給出了逆推確認量詞性質的方法，從數量關系的角度解釋了這種分類方式的直觀依據、論證了其合理性。首先我們根據推理模式的要求確認了量詞需要具備的諸多性質，其次根據量詞實際的分布添加了駐留性來縮小量詞的范圍，接著得出相應于這些性質的數量關系，并化簡之。從化簡了的數量關系中，我們逆推Q的性質，最終得出量詞是右單調遞增且駐留的。這里單調性的分類之所以可行的更一般的原因是，單調性的量詞本身也是在說明數量范圍的關系。比例量詞的意義直接地就是一定的數量范圍，而右單調遞增量詞的意義實際上也等價于一定的數量關系，前后兩者的數量關系都是論元數量的比例的范圍，因此兩種分類方式都可以視作在指稱一定的數量范圍。

但是，如果我們要將自然語言的推理模式(1)遷移到非自然語言的層面，就必須考慮駐留性這個性質對于單純單調性的干擾。Keenan（2008）反駁單調性分類方式的理由是，自然語言當中滿足這個推理模式的具備單調性的量詞本身都是比例量詞。但是，正是在非自然語言的層面，我們才可能摒棄簡單的單調性而選擇比例量詞的分類方式：我們可以結合兩種分類方式的要求，得出：能讓推理模式(1)成立的量詞，恰好是右單調遞增的比例量詞，或如前所述，處于特定的數量范圍的比例量詞。比例量詞讓我們無需強調駐留性性質，因為比例量詞一定是駐留性的。

因此，針對推理模式(1)中量詞的分類，比例量詞的分類方式可以通過增補比例量詞的取值范圍來嚴格化，而單調性的分類方式本質上立足于直觀上的數量關系即比例關系。在自然語言的層面，嚴格化了的比例量詞分類方式與右單調遞增的分類方式之間是等價的。右單調性的分類方法在自然語言層面看來是更簡明的，但在非自然語言的層面則必須增添駐留性的條件。

根據本文中推理模式(1)的量詞分類經驗，兼考慮量詞本身的特性——表示數量關系，遇到自然語言當中量詞參與的推理模式，我們可以通過以下途徑找出該量詞的一般類別或性質：

1.從推理模式出發，確認要使該推理模式成立，量詞需要滿足哪些條件，這些條件即量詞需要滿足的性質。

2.從數量角度歸納和化簡這些性質，如果遇到障礙，可以尋找新的限制性條件來去掉障礙。例如，在本文的逆推中，化簡中的障礙是我們不知道交集和Q之間的關系，采取的辦法是增加駐留性這一限定條件。

3.將數量關系之外的其他性質打包成特定的集合。如在本文的逆推中，我們將數量關系之外的性質用集合Y和Y′表示。

4.比照常見的量詞性質如同構性，對稱性、傳遞性、單調性等，利用已有的數量關系驗證$Q$的性質是否符合這些常見性質或是它們的組合。

利用上述歸類思路，我們可以對其他自然語言當中量詞參與的推理模式當中的量詞做出歸類。而反過來，我們也可以從兩種類型出發，觀察不同類型的比例量詞或不同的單調性類型有無專門對應的自然語言推理模式。更進一步我們也可以探索不同的單調性與不同的比例范圍之間如何通過量詞參與的推理產生關聯，從它們之間的關聯可否得出一般性的結論。

注釋：

①詳見類型論（Type Theory）的相關表述。

②例如：這里所有人都是司機。這里的“所有”如果作為謂詞，則相當于{人}是{司機}的子集，也就是說，這個謂詞表示為：{A×B∈M^2:A?B}其中，M指的是人和司機的全體。也就是說，謂詞僅限于本論域討論的對象。而將“所有”視為量詞，則該量詞可以適用于其他的論域，如“這里所有的蘋果都是爛的。這樣的用法也更加符合量詞的使用情況：不限于具體論域或個體。

③此處的譯法參考了張世寧（2010）第34 頁。其中闡述了該詞的淵源：“根據現有的材料，Barwise 和Cooper是根據所謂駐留（live on）的概念來描述駐留語義性質的?！?/p>

④如only_M (A,B)=B?A，這里的only不具備駐留性，但是它的量詞身份是有爭議的，詳見Dag Westerst?hl等（2006）第139頁。