自動跟蹤型加速度計電流數字轉換電路數字閉環控制研究

丁浩珅, 謝元平, 樊振方

（1. 國防科技大學前沿交叉學科學院, 長沙 410073;2. 國防科技大學南湖之光實驗室, 長沙 410073）

0 引言

自動跟蹤型加速度計電流數字轉換（Current to Digital Conversion, CDC）技術作為加速度計模數轉換電路的一種［1］, 為了達到最優控制效果, 需要設計一種響應速度快、 工作穩定、 通帶平穩的閉環控制傳遞函數。 關于CDC 的數字閉環控制系統,數字信號處理器是實現控制功能的核心, 它根據系統的控制要求, 按照一定的規律或規則對系統實施控制［2］。 反饋控制為PID 算法, 由現場可編程門陣列（Field Programmable Gate Array, FPGA）來實現, 算法性能的好壞將直接決定整個閉環系統的性能。 所以, 根據系統要求, 設計出最佳的PID 算法參數至關重要。

ROJO 等［3］進行了基于PID 算法的數字閉環控制系統研究, 這種控制算法至今仍在沿用。 國內目前對數字閉環的研究更多集中在硬件設計與代碼優化方面［4-5］, 缺少針對性的控制系統理論研究。本文針對PID 參數優化問題, 建立了CDC 的閉環控制系統, 采用根軌跡法對控制系統的PID 參數進行分析求解。 校正后系統的動態性能指標接近期望值, 具有較大的穩定裕度。 最后, 用Simulink 仿真驗證了PID 參數的實用性和方案的可行性。

1 CDC 系統組成及工作原理

CDC 的結構如圖1 所示［1］。 CDC 主要由模擬電路與數字控制處理模塊兩個部分組成: 模擬電路主要是積分電路、 電壓轉電流電路（Voltage to Current Circuits, V/I）組成; 數字控制處理模塊由高性能的數字信號處理器（單片機或者FPGA）和高分辨率的模數轉換器（Analog to Digital Converters,A/D）、 數模轉換器（Digital to Analogue Converters,D/A）構成。

圖1 CDC 結構圖Fig.1 Structure diagram of CDC

該閉環系統的工作原理如下: 以數字信號處理器為閉環回路的控制核心。 加速度計傳感器將測量的加速度變化轉換成相應變化的電流量I1, 積分電路對輸入電流I1進行積分后輸出誤差電壓E,E經過A/D 轉換變成數字量e,e經過數字信號處理器處理后, 數字信號處理器產生調整數字信號d經D/A 和V/I 轉換為反饋跟蹤電流I2作用于積分電容C上,I1、I2二者電荷保持平衡, 實時反饋控制使誤差電壓E穩定在0 附近, 有

式（1） 中,En為第n個采樣周期中的誤差電壓,C為積分電容的電容值, A/D、 D/A 采樣頻率為fS,T為采樣周期, 采樣周期T=1/fS。 數字信號處理器將調整數字信號d通過串口輸出到上位機, 有

式（2）中,L為數字輸出d與輸入電流I1之間的標度因數, 單位為LSB/mA;dn為第n個周期內的數字信號。 由式（2）可知, 數字信號d正比于輸入電流I1在采樣周期T內的平均值。 當采樣頻率fS較高時,d可視為輸入電流I1的實時采樣。 說明CDC 一方面完成對輸入電流I1的反饋再平衡, 另一方面直接將與輸入電流I1成正比的數字量d傳遞給導航計算機, 其全數字的處理方式也能解決模擬閉環方案中的精度損失等問題。

2 仿真模型

為保證CDC 的閉環控制系統可以穩定運行,需要設置好數字信號處理器的參數, 本電路采用數字PID 控制作為數字信號處理器的控制算法, 通過構建控制系統, 求解數字PID 參數, 對校正后的控制系統進行仿真驗證, 證明該方法的有效性。

2.1 仿真模型說明

一個模擬信號經過A/D 變換成為二進制數字信號時, 必須經過量化處理和編碼。 本電路采用的是16 位高精度模數轉換芯片, 該芯片轉換精度高, 產生的量化誤差很小, 故可忽略量化誤差的影響。 因此, 在電路仿真分析中可以略去量化誤差和編碼環節, 建立系統傳遞函數時可以將所研究的電路控制系統當成采樣系統, 僅含有采樣及零階保持器兩種過程, 再進一步將其看作時間離散系統來進行z變換分析［6］。

通過z變換, 可以把傳遞函數、 根軌跡等概念應用于離散控制系統中。 首先, 將轉換電路當成連續系統去分析, 算出模擬PID 參數后, 將PID 環節代入系統, 相當于對整體系統加入校正環節［7］,通過校正來改善系統的動靜態特性。 隨后, 將PID控制器離散化, 利用Simulink 對電路系統進行仿真。

2.2 連續控制系統

將圖1 中的電路系統看成是連續控制系統, 輸入電流I1、 反饋跟蹤電流I2等效成系統輸入信號和輸出信號, 積分電路等效成積分環節, 積分電容的電容值為C=0.1μF =1 ×10-7F, 積分環節表達式為

圖1 中的V/I 表示為電壓轉電流環節, 用1/R表示,R為330Ω 電阻, 通過電壓轉電流環節可得W2（s） =1/330。 為了在控制系統仿真中等效A/D采樣效果, 本文在之后的Simulink 仿真中使用零階保持器, 這樣連續控制器的輸出在離散化后會產生一定時長的延時, 延遲模塊的傳遞函數為

式（4）中, 延時τ大約為0.5T［8］, 得τ=0.5T,T為A/D 采樣周期。

控制處理模塊看成是控制器控制環節, 用C（s）表示。 各個系統的等效環節用圖2 的子方框圖中的傳遞函數來表示。

圖2 連續控制系統各框架示意圖Fig.2 Schematic diagram of each frame for the continuous control system

將積分環節、 延時環節和電壓轉電流環節整理匯總, 得傳遞函數G（s）, 表達式為

e-τs在τ較小的情況下可以用一階Pade 進行線性化處理, 精度較高, 計算方便［9］。 計算公式如下

根據經驗, 一般設定采樣頻率T為系統帶寬的10 ～20 倍, 這樣可以確保數字控制器與連續控制器的性能相匹配［10］。 由于輸入電流信號I1的頻率一般不超過5kHz, 所以本文最終選取的采樣頻率為50kHz。 因此, 將式（6） 代入式（5） 中,τ=0.5T,T為0.00002s, 化簡后得傳遞函數G1（s）,表達式為

則整個連續系統的傳遞函數如圖3 所示。

圖3 連續系統傳遞函數結構簡圖Fig.3 Structure diagram of transfer function for a continuous system

連續控制系統的閉環傳遞函數表達式為

3 PID 控制器參數的求解

在采樣周期足夠小的情況下, 使用各種連續域設計方法設計出符合要求的連續域控制器, 然后將連續控制器離散化, 這種方法稱為連續域-離散化設計法［8］。 連續系統通過串聯PID 控制器達到校正系統的效果, 所以本文使用根軌跡法來設計出符合要求的校正裝置, 來求解PID 控制器。

3.1 根軌跡法的校正原理

根據連續控制系統要求實現的動態性能指標期望值, 來計算出系統的期望閉環主導極點, 如果系統顯示根軌跡通過期望的閉環主導極點, 說明系統性能指標符合要求, 無需校正; 否則需要在系統中引入新的開環零點z和極點p來改變根軌跡的走向, 如果引入的開環零極點合適, 就可以使根軌跡經過期望的閉環主導極點［11］。

待校正系統的開環傳遞函數的一般表達式為

式（9）中,zi為系統開環零點,pj為系統開環極點,K為系統的根軌跡增益。

對待校正系統進行根軌跡校正時, 計算校正裝置步驟如下［12］:

1）根據系統要求實現的動態性能指標期望值,確定系統的期望閉環主導極點位置, 表達式為

2）串聯一超前校正裝置C（s） =K（s+z） /（s+p）, 通過引入新的開環零點z和新的開環極點p改變原根軌跡的走向, 使1 +G0（s）C（s） =0 的根軌跡通過期望的閉環主導極點s1,2。

3）根據式（11）（幅值條件表達式） 和式（12） （相位條件表達式）計算求解出K、z和p。

3.2 校正裝置的參數計算

根據實際電路需求, 本文將系統動態性能指標期望值設定為: 上升時間tr≤1.8 ×10-5s、 調整時間ts≤4.3 ×10-5s、 超調量σP≤3%。

根據公式

根據ts和σP的期望值, 代入式（13）和式（14）中, 解出ζ≈0.74 和ωn≈112612rad/s, 再由式（10） 得出期望閉環主導極點s1,2= - 83333 ±75744j。

常用的PID 控制包括PID 控制、 PI 控制和PD控制三種類型。 本文采用PD 控制對系統進行超前校正, PD 控制器表達式為

聯立式（7）和式（15）, 得到校正后系統函數表達式為

引入一個零點z和極點p, 畫圖求解零極點,如圖4 所示。

圖4 零極點示意圖Fig.4 Schematic diagram of zero and pole

先設定零點z為（ -60000, 0）, 由式（12）（相位條件表達式）可計算出p= -68610。

將z= -60000、p= -68610 代入式（11）（幅值條件表達式） 中, 解算出K≈2.0206。 將z=-60000、p= -68610 和K≈2.0206 代入式（15）中, 可得

由此得出經過超前校正后的系統開環傳遞函數為

校正后的系統單位階躍響應如圖5 所示。

圖5 校正后的系統單位階躍響應（延遲環節一階近似）Fig.5 Unit step response of the system after calibration（first-order approximation of delay link）

由圖5 可知, 系統穩定, 穩態誤差趨于0。 此時, 系統的超調量σP=2.2%, 上升時間tr=1.8 ×10-5s, 調節時間ts=4.3 ×10-5s, 動態性能指標符合期望值。

為探究延時環節的一階近似對系統的影響,現用式（4）替換式（18）中的一階近似, 得到系統開環傳遞函數, 表達式為

校正后的系統單位階躍響應如圖6 所示。

圖6 校正后的系統單位階躍響應Fig.6 Unit step response of the system after calibration

由圖6 可知, 系統穩定, 穩態誤差趨于0。 此時, 系統的超調量σP= 5.3%, 上升時間tr=1.5 ×10-5s, 調節時間ts=6.7 ×10-5s, 動態性能指標與期望值接近, 證明了延時環節一階近似在本次參數求解過程中的可行性。

校正后的系統開環頻率特性曲線如圖7 所示,相角裕度γ=61°, 幅值裕度Kg=8.6dB, 具有較大的穩定裕度, 證明系統的魯棒性較好。 此時, 系統-3dB 帶寬為fb≈6.2kHz。

圖7 校正后的系統開環頻率特性曲線Fig.7 Open-loop frequency characteristic curves of the system after calibration

3.3 連續域控制器離散化

本文采用連續域-離散化設計法, 直接將連續域控制器離散化, 對式（17）進行z變換, 得到

C1（z）即為所求得的離散化PD 控制器。

4 Simulink 仿真

4.1 連續域-離散化設計法驗證

將C1（z）代入離散控制系統, 如圖8 所示。

圖8 離散控制系統示意圖Fig.8 Diagram of discrete control system

為探究這種方法對整個系統的影響, 以Simulink 為工具, 對連續系統與離散系統進行仿真, 如圖9 所示。

圖9 Simulink 仿真圖Fig.9 Simulation diagram of Simulink

仿真輸入信號為1mA 電流的單位階躍響應,離散域系統的A/D 采樣頻率為50kHz。 為了使連續域與離散域的輸出誤差電壓信號同步, 在連續域的Simulink 仿真中加入相應的延時環節, 對比連續域與離散域的閉環系統階躍響應曲線, 如圖10所示。

圖10 連續域和離散域的單位階躍響應曲線Fig.10 Unit step response curves for continuous and discrete domains

仿真結果表明, CDC 控制系統在連續域和離散域的單位階躍響應曲線基本一致, 證明了連續域-離散化設計法在本次實驗中的可行性, 并且仿真結果為實際控制系統提供了依據。

4.2 輸出穩態誤差

將Simulink 仿真信號源設為1mA 的電流值,信號發生時間設置為0.0001s, 離散域穩態誤差如圖11 所示。

圖11 離散域穩態誤差Fig.11 Diagram of discrete domain steady state error

通過離散PD 控制器的調節, 離散控制系統穩定, 穩態誤差為0, 實際上這與控制環路包含積分環節有關。

5 結論

本文建立了自動跟蹤型電流數字轉換電路的控制系統模型, 采用根軌跡法求解連續控制系統的PID 控制器參數, 校正后系統動態性能指標接近期望值, 閉環階躍響應的超調量為σP=5.3%, 上升時間tr=1.5 ×10-5s, 調節時間ts=6.7 ×10-5s。該系統具有較大的穩定裕度, 證明系統的魯棒性較好, 系統的-3dB 帶寬約為6.2kHz。 采用連續域-離散化設計法對連續域PID 進行離散化處理,基于Simulink 分別建立了連續域與離散域的閉環系統仿真模型, 仿真結果表明兩個系統的階躍響應曲線特性基本相同。 在離散域中, 輸入單位階躍信號時, 系統穩定且輸出穩態誤差為0。 仿真結果可用于電流數字轉換電路控制參數優化。