廣義色散方程的李群分析、最優系統、對稱約化及精確解

胡彥鑫, 郭增鑫, 辛祥鵬

(聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252000)

在非線性波以及孤立子理論的相關物理問題中,色散方程占據著相當重要的位置,它是解決波傳播問題的方程.根據色散方程能夠得到宏觀上波傳播的速度,例如波峰移動的速度.色散方程在流體力學研究中起著重要的作用,在面對許多復雜的物理問題時,人們通常會將其轉化為偏微分方程的求解問題[1].因此,對于如何構造偏微分方程的精確解逐漸成為物理和數學等學科諸多學者研究的重要問題.隨著時間的推移,求解偏微分方程的方法也越來越多,例如，經典李群方法[2]、F-展開法[3]、橢圓函數展開法[4]、試探函數法[5]和雙曲函數展開法[6]等.

考慮如下形式的五階色散方程

ut+αuxuxx+βuxxxxx+γux=0,

(1)

其中,u=u(x,t),α、β、γ為任意常數.方程(1)已有許多研究者采用不同的方法進行了深入探討,如:2009年宋國亮等[7]采用試探函數法求出方程(1)在γ=0時的孤波解和有理解等；文獻[8-9]采用(G′/G)展開法構造了方程(1)特殊形式的多個行波解,并且討論了ux在不同次冪下的該色散方程解的情況,最終得出該方程的行波解.本文在已有研究的基礎上對方程增加一項色散控制項,使得方程在不失去物理意義的前提下能夠模擬更多的傳播現象.同時，從李群方法入手,結合多種輔助函數展開法構造了方程(1)的孤子解和三角函數解等.

1 方程(1)的對稱

設方程(1)的向量場為

(2)

其中ξ(x,t,u)、τ(x,t,u)、φ(x,t,u)是未知函數.若向量場(2)為方程(1)的李點對稱,就要滿足

pr(5)V(Δ)|Δ=0=0,

(3)

其中

Δ=ut+αuxuxx+βuxxxxx+γux,

可以得到方程(1)的五階延拓為

pr(5)V=φt+φx(αφxx+γ)+βφxxxxx=0,

(4)

(4)式中的φt、φx、φxx、φxxxxx是由(2)式中的ξ(x,t,u)、τ(x,t,u)、φ(x,t,u)的微分項決定:

φt=Dt(φ-ξux-τut)+ξuxt+τutt,

(5)

φx=Dx(φ-ξux-τut)+ξuxx+τuxt,

(6)

φxx=Dxx(φ-ξux-τut)+ξuxxx+τuxxt,

(7)

φxxxxx=Dxxxxx(φ-ξux-τut)+

ξuxxxxxx+τuxxxxxt,

(8)

這里(5)～(8)式中的Dx、Dt是關于t、x的全微分算子.

將(5)～(8)式代入(4)式,由對稱的相關條件,令包含u的各階導數的系數均等于零,可得到關于ξ、τ、φ的決定方程組,求解后可得方程(1)的李點對稱

(9)

其中，C1、C2、C3、C4為任意常數.

接下來對上述對稱進行分類討論:

(10)

2) 當C2=1,C1=C3=C4=0時,φ=0,τ=1,ξ=0,代入(2)式,得到

(11)

3) 當C3=1,C1=C2=C4=0時,φ=1,τ=0,ξ=0,代入(2)式,得到

(12)

4) 當C4=1,C1=C2=C3=0時,φ=0,τ=0,ξ=1,代入(2)式,得到

(13)

綜上,得到了方程(1)的4個李點對稱.

下面將利用這4個基本對稱構造出方程(1)的一維最優系統,并利用對稱將方程(1)轉化為常微分方程.

2 李代數與最優系統

前面已求出的4個方程(1)的李點對稱向量場為

(14)

接下來進行最優系統的計算.首先由李括號[10]運算定義

[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,

得到李代數交換子表(如表1所示).

表 1 李代數交換子表

再由李代數伴隨[11]表達式

得到李代數伴隨作用表(如表2所示).

表 2 李代數伴隨表

接下來進行最優系統的構造.首先假設由向量場Vi(i=1,2,3,4)構成如下的李代數L4:

V=a1V1+a2V2+a3V3+a4V4,

其中a1、a2、a3、a4是任意常數.構造最優系統的目的是利用伴隨作用盡可能多的消掉ai(i=1,2,3,4),使得V的表達式盡可能簡單.

a1V1+a2V2+a3V3+a4V4-ε[a1[V2,V1]+

a2[V2,V2]+a3[V2,V3]]+a4[V2,V4]]-…=

a1V1+a2V2+a3V3+a4V4-ε[a1[V3,V1]+

a2[V3,V2]+a3[V3,V3]]+a4[V3,V4]]-…=

a1V1+a2V2+a3V3+a4V4-ε[a1[V4,V1]+

a2[V4,V2]+a3[V4,V3]]+a4[V4,V4]]-…=

綜上,得到方程(1)的一維最優系統為

{V1,V2,V3,V1+λ1V3,V1+λ2V3+λ3V4,

V1+λ4V2+λ5V3,V1+λ6V2+λ7V4},

其中λi(i=1,2,…,7)是任意常數.

3 對稱約化

對稱約化是一種較為實用的約化方法.下面將會利用所求得的向量場對方程(1)進行對稱約化,從而可使方程(1)轉化為常微分方程.接下來基于第1部分的4個李點對稱,對方程(1)進行對稱約化.

1) 對于向量場

其對應的特征方程為

由特征方程得到不變量ξ1,并且由

(15)

αf′f″+βf?″+γf′=0．

(16)

f′=0．

(17)

-qf′+αf′f″+βf?″+γf′=0.

(18)

至此完成了對于方程(1)的約化.

4 方程(1)的精確解

接下來將對第3部分中約化的結果進行精確解的構造,在這里選取(16)和(18)式,但是(16)式的形式其實是(18)式中-q=0時的特殊形式,因此將選取更具有一般性的(18)式進行求解.(18)式中f是關于ξ4的函數,其中ξ4=x-qt,這里的q為任意常數,對(18)式關于變量ξ4積分得

(19)

其中C為任意常數,取C=0.

1) 假設方程(19)有如下形式的解

(20)

這里的ω=ω(ξ4),并且滿足方程

ω″+λω′+μω=0,

(21)

這里的αm、λ、μ是任意常數.由齊次平衡原理得

2(m+1)=m+4,

故m=2,則方程有如下形式的解

(22)

將(21)和(22)式代入方程(19)得

2αμ2α1α2+22βλ2μα1+120βλμ2α2+

βλ3μα1+14βλ2μ2α2+8βλμ2α1-

(23)

把(23)式代入(22)式,當λ2-4μ>0時,方程(19)的精確解為

f1(ξ4)=

則方程(1)的精確解為

u1(x,t)=

當λ2-4μ=0時,方程(19)的精確解為

則方程(1)的精確解為

u2(x,t)=

當λ2-4μ<0時,方程(19)的精確解為

f3(ξ4)=

則方程(1)的精確解為

u3(x,t)=

其中

ξ4=x-qt,

q=βλ4-8βλ2μ+16βμ2+γ,

C1、C2、β、γ為任意常數.

至此,完成了第一種輔助函數展開法對于方程(1)精確解的構造,接下來將采用另一種輔助函數展開法對方程(1)進行研究.

2) 假設方程(19)有如下形式的解

(24)

其中ω=ω(ξ4),并且滿足方程

ω2-ω′+δ=0,

(25)

這里的αm、δ是任意常數.由齊次平衡原理m=2,則方程有如下形式的解

(26)

將(25)和(26)式代入方程(19)得

136βδ2a2-4αa-2a2-αa-1a1-qa2+γa2)ω2+

16βδ2a-1+2αa-2a-1-qa-1+γa-1)+

(2αδ2a1a2-4αδa-1a2+16βδ2a1-2αα-2a1-qa1+

提取ωm的系數得到超定方程組,求解可以得到α-2、α-1、α0、α1、α1,q的值,選取以下2種情況:

(27)

(28)

(Ⅰ) 把(27)式代入(26)式,當δ>0時,方程(19)的精確解為

則方程(1)的精確解為

當δ<0時,方程(1)的精確解為

其中

ξ4=x-qt,q=16βδ2+γ,

C3、β、γ為任意常數.

(Ⅱ) 把(28)式代入(26)式,當δ>0時,方程(19)精確解為

則方程(1)的精確解為

當δ<0時,方程(1)精確解為

u7(x,t)=

其中

ξ4=x-qt,q=256βδ2+γ,

C4、β、γ為任意常數.

5 結束語

利用李群對一類廣義五階色散方程進行研究,求出方程的對稱,構建了一維李代數的最優系統,得到約化方程,并采用2種輔助函數展開法得到方程的一系列不同的精確解,豐富了方程的精確解的種類,具有一定的理論意義,該研究方法可以應用于其他的非線性發展方程.