基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集

黃心宏, 張賢勇*

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066; 2. 四川師范大學Laurent數學中心, 四川 成都 610066; 3. 四川師范大學 智能信息與量子信息研究所, 四川 成都 610066)

粗糙集是智能信息處理的基本工具,其相關融合拓展模型具有研究意義,具體實例模型包括文獻[1]中融合模糊信息的模糊粗糙集、基于粒度集成的多粒度決策粗糙集[2-3]、文獻[4]中基于論域擴張的雙論域三支決策粗糙集等.進而,通過“模糊、多粒度、雙論域”三要素的不同融合方式,出現了雙論域量化模糊粗糙集[5]、雙論域多粒度模糊粗糙集[6]、雙論域多粒度模糊決策理論粗糙集[7].

直覺模糊信息系統具有粗糙隸屬度[8]與非隸屬度的雙重不確定性刻畫優勢,相關直覺模糊關系[9]被引入進行粗糙集拓展建模.由此,出現了多粒度支持直覺模糊粗糙集[10]、雙論域直覺模糊概率粗糙集[11]以及文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集等模型.特別地,在直覺模糊信息系統中結合“雙論域、多粒度”的粗糙集模型具有理論意義與應用前景,但研究較少;而現有文獻[12]使用多粒度直覺模糊集隸屬度最值統計來進行集成建模,所得樂觀模型與悲觀模型具有極端性缺陷.

針對文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊環境,本文擬提取雙度量均值統計的多粒度融合從而采用雙量化集成技術,構建新型粗糙集模型并獲取改進性與應用性等.特別地,雙量化主要涉及相對度量與絕對度量及其融合,文獻[13]提出雙近似與雙量化交叉雙配的2類傳統粗糙集,文獻[14]進而針對序信息系統建立2類(單粒度)雙量化決策粗糙集,而最近的文獻[15]則綜述了雙量化技術及相關研究成果.由此,本文采用文獻[13-14]的“雙配”雙量化策略,對提取的多粒度概率的均值統計[3]以及多粒度基數的均值統計進行集成建模,得到2類擴張改進的均衡性雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型,并獲得相關優化算法、數學性質、實例分析等.

1 雙論域多粒度直覺模糊粗糙集

下面主要回顧直覺模糊關系[9]、文獻[12]中的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型.

R={〈(u,v),μR(u,v),νR(u,v)〉|

(u,v)∈U×V}

表示雙論域U、V上的直覺模糊關系,其中μR(u,v):U×V→[0,1]與νR(u,v):U×V→[0,1]分別表示對象u、v具有關系R的隸屬度和非隸屬度.這里(U,V,R)為雙論域直覺模糊近似空間.進而,直覺模糊關系的截集為

R(λ1,λ2)(u)={v∈V|μR(u,v)≥λ1,

vR(u,v)≤λ2},

其中,截集參數λ1+λ2∈[0,1].將R粒度擴張成一族直覺模糊關系R1,R2,…,Rm,進一步表示成

Ri={〈(u,v),μRi(u,v),νRi(u,v)〉|

(u,v)∈U×V}∈IF(U×V), i=1,2,…,m.

因此,可構建雙論域多粒度直覺模糊近似空間(U,V,Ri).

定義 1[12]在(U,V,Ri)中,Ri∈IF(U×V),集合Y?V的下、上近似分別定義為：

(1)

其中

(2)

針對雙論域多粒度直覺模糊粗糙集,定義1采用(非)隸屬度取最值的方式進行模型構建,相關模型具有傳統多粒度建模的樂觀與悲觀機制[12].由于取最值方式的偏差,所得模型具有極端性缺陷.因此,下面采用雙量化策略[13-14]建立改進模型與性質研究.

2 雙論域多粒度直覺模糊粗糙集的雙量化建模

在雙論域多粒度直覺模糊粗糙集環境中,針對定義1((1)和(2)式)復雜的表現形式,本節采用雙量化技術[13-14],建立2類新型雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型.具體地,基于文獻[14]的描述框架,加入條件概率P,采用文獻[3]的多粒度概率統計均值方法,進而進行雙量化集成建模.雙量化近似刻畫涉及絕對度量、相對度量比較閾值0<β≤0.5≤α<1,程度k∈N.

定義 2[14]在S=(U,AT,V,f)中,屬性集AT={a1,a2,…,an},T?AT,f:U→Vaj(j=1,2,…,n).?X?U,基于優勢關系的Ⅰ型雙量化粗糙集的下、上近似分別定義如下：

(3)

其中

進而,Ⅱ型雙量化粗糙集的下、上近似分別定義如下：

T≥={(w,u)∈U×U|

f(w,a)≥f(u,a),?a∈T}

為優勢關系.

(5)

(6)

從層次擴張層面,將文獻[11,14]中R的直覺模糊關系截集、條件概率,更新成Ri的直覺模糊關系截集((7)式)、條件概率((8)式).

(Ri)(λ1,λ2)(u)={v∈V|μRi(u,v)≥λ1,vRi(u,v)≤λ2}.

(7)

P(Y|(Ri)(λ1,λ2)(u))=

(8)

定義 3(Ⅰ型均值模型) 在(U,V,Ri,P)中,Ri∈IF(U×V),?Y?V,基于雙量化的Ⅰ型均值多粒度直覺模糊粗糙集的下、上近似分別定義如下：

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|)≤k},

當m取1時可得到基于雙量化的Ⅰ型單粒度直覺模糊粗糙集.進而,(9)式對應的正域、負域、上邊界域、下邊界域、邊界域及精度定義如下：

命題 1在(U,V,Ri,P)中,Ⅰ型均值模型的基數與所得單粒度模型基數的平均之間無必然相等關系,即

定義 4(Ⅱ型均值模型) 在(U,V,Ri,P)中,Ri∈IF(U×V),?Y?V,基于雙量化的Ⅱ型均值多粒度直覺模糊粗糙集的下、上近似分別定義如下：

命題 2(U,V,Ri,P)中,Y?V,0<β≤0.5≤α<1,Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的下上近似算子之間關系如下：

針對雙論域多粒度直覺模糊粗糙集背景,首先從多粒度層面,更新R的直覺模糊關系截集[11]和條件概率[14].進而,依托定義2的2類(單粒度)雙量化模型,建立2類基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集,得到“下近似絕對量化-上近似相對量化”模型和“下近似相對量化-上近似絕對量化”模型,即Ⅰ型均值模型和Ⅱ型均值模型,且以Ⅰ型均值模型為例,給出對應的三支區域及精度((10)式).具體地,采用文獻[3]的方式,將絕對度量和相對度量進行均值統計,實現粒度擴張,從而采用雙量化集成策略得到2類均值模型.當新建2類均值模型的粒度為1時,可退化得到基于雙量化的2類單粒度直覺模糊粗糙集;進一步,若直覺模糊關系退化為優勢關系,則可退化成基于優勢關系的單粒度雙量化粗糙集[15].由于模型構建過程未使用常規的(非)隸屬度取最值的方式去定義樂悲觀模型,從而簡化多粒度直覺模糊集的表現形式.因此,所得模型具有理論擴張性與改進性.此外,基于定義3可得,“量化平均的多粒度集成”與“量化集成的統計平均”之間不具有交換性,因此得到命題1中的Ⅰ型均值模型的基數與所得單粒度模型基數的平均之間無必然相等關系,且對于Ⅱ型均值模型也具有類似結論,由相關定義易證.命題2則進一步探討2類均值模型下上近似算子之間的關系,結果由相關定義可證.其中,考慮參數k,Ⅰ型均值模型的下近似算子與Ⅱ型均值模型的上近似算子之間包含關系不成立;只考慮參數α、β,Ⅰ型均值模型的上近似算子包含Ⅱ型均值模型的下近似算子.

算法1給出所建立2類均值模型近似算子的計算算法.通過雙循環,分別將絕對度量和相對度量進行統計均值,進一步判別元素,從而得到對應的下上近似結果.

算法 1Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的下上近似計算算法:

輸出:Ⅰ型均值與Ⅱ型均值模型的下、上近似.

1:由(5)和(6)式計算α、β,

2:foru∈Udo,

3:forRi∈{R1,R2,…,Rm} do,

4:計算(Ri)(λ1,λ2)(u)、|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|、|(Ri)(λ1,λ2)(u)|-|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|、P(Y|(Ri)(λ1,λ2)(u))((7)～(9)和(11)式).

5:end for,

7:由(9)和(11)式的對應條件判別u,

8:end for,

9:得到與返回

3 雙量化模型性質

對于所建立的2類均值模型(定義3和定義4),本節研究近似算子的集合運算、閾值單調性等相關性質.主要以Ⅰ型均值模型為代表,Ⅱ型均值模型也具有類似結論.這些多粒度性質主要基于文獻[14]單粒度性質的粒度擴張得到,證明方法具有類似性.由于大部分性質具有集成性、傳遞性、準確性,因此,對于部分性質通常選取一個代表進行證明.

性質 1在(U,V,Ri,P)中,關于全集與空集有：

證明由定義3可證.證畢.

性質 2在(U,V,Ri,P)中,關于下、上近似的包含關系、子集、交并補運算有：

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y2|)≤

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y1|)≤k,

性質 3在(U,V,Ri,P)中,?Y?V,若k1≤k2,關于參數k的單調性有

證明由定義3易證.證畢.

針對2類均值模型的下上近似算子,性質1～3分別討論關于下、上近似算子的全集、空集運算,包含關系、子集、交并補集合運算及參數單調性,所得結果關聯并深化了文獻[14]的對應結果,但部分性質獲得了弱化的新結果.具體地,性質1對空集、全集運算進行了粒度擴張;性質2基于文獻[14]進一步考慮近似算子補集的運算性質,獲得了弱化的新結果,但包含關系、子集、交、并集合運算具有擴張性;由于本文α、β可通過公式計算得到,因此,性質3只考慮參數k的單調性,且擴張后的近似算子對于參數的單調性仍成立.上述這些情況后面將由實例進行驗證.

4 實例分析

本節通過企業供應鏈績效評價實例,分析說明構建模型及其數學性質.

4.1 模型說明對于企業供應鏈績效評價問題,論域U={u1,u2,u3,u4,u5}為企業集合,V={v1,v2,v3,v4,v5}為屬性,其中,v1為客戶資源,v2為財務環境,v3為技術水平,v4為運營狀況,v5為銷售能力.4個專家對企業及其屬性的評價用直覺模糊關系來表示,見表1.

表 1 企業與屬性之間的直覺模糊關系

表 2 關系截集、絕對量化和相對量化計算結果

進一步由(9)和(10)式可得出Ⅰ型均值模型的下、上近似、三支區域及精度的結果,也可由算法1得出.

|(Ri)(λ1,λ2)(u)∩Y|)≤k}={u3,u4,u5},

{u1,u2,u3,u5};

{u1,u2,u4};

根據上述Ⅰ型均值模型三支區域結果,實施三支決策方案,得到相關的決策制定方案如下：

1) 企業u3、u5供應鏈績效較好;

2) 企業u1、u2、u4需要更多的信息從而進一步判斷.

Ⅱ型均值模型及兩類單粒度模型也可類似計算.表3給出k的取值為1、2、3、4時,Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的相關結果.根據表3的實例結果,可分析揭示2類均值模型下上近似算子之間的關系、只考慮參數k的單調性,從而驗證命題2、性質2的第1)條、性質3.Ⅱ型均值模型的語義及決策可類似解釋.對比表3的2類均值模型計算結果可得,k的取值越大,2類模型所對應邊界域的基數越小,即不確定的元素就越少,但k的取值與對應精度值并無直接關系.此外,表4給出k取值為2時,2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的計算結果.由表4實例結果可得出2類均值多粒度模型的基數與退化所得單粒度模型基數的平均之間無必然相等關系,從而驗證命題1.2類單粒度模型的語義及決策也可類似解釋.另外,值得說明的是,在精度上,通過粒度融合得到的多粒度模型精度值并不高于單粒度模型.

相比文獻[12],新建Ⅰ型均值模型采用雙量化技術來進行改進建模,定義1模型[12]在本例中的近似算子結果如下：

{〈u1,0.1,0.6〉,〈u2,0.4,0.5〉,〈u3,0.7,0.2〉,

〈u4,0.2,0.6〉,〈u5,0.7,0.1〉},

{〈u1,0.6,0.1〉,〈u2,0.5,0.2〉,〈u3,0.7,0.2〉,

〈u4,0.6,0.2〉,〈u5,0.42,0.4〉}.

通過對比可得,文獻[12]模型的模糊集表現形式更加復雜,而新型Ⅰ型均值模型的粗糙集表現形式更簡便、直接并具可解釋性,有利于決策制定.

對比文獻[14],在本例中,與文獻[14]的相應結果類似,發現2類模型的三支決策方案并不完全相同.具體地,當k=2時,通過表3所示的2類模型三支區域的結果,使用三支決策制定方案,即Ⅰ型均值模型得出企業u3、u5供應鏈績效較好,企業u1、u2、u4需要更多的信息從而進一步判斷;Ⅱ型均值模型得出企業u5需要更多的信息從而進一步判斷,企業u1、u2、u3、u4供應鏈績效不好.因此,在實際決策時,可以同時考慮2類模型,將結果進行比較分析,并根據實際需求得出決策,也可通過進一步定義2類模型對應的風險函數,從而對所得三支區域結果進行比較分析,得出最終決策.

從表4的2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的計算結果可得,單粒度模型的三支區域結果并不相同,而通過粒度融合,2類均值多粒度模型分別得出最終結果,對于2類均值模型最終結果的不完全一致性,也可根據上述論述得出決策結果.

表 3 Ⅰ型均值模型與Ⅱ型均值模型的實例結果

表 4 2類均值多粒度模型與退化所得單粒度模型的實例計算結果(k=2)

相比退化所得單粒度模型而言,得出構建均值多粒度模型對于信息融合的集成性.

4.2 性質驗證下面以Ⅰ型均值模型為代表驗證部分性質.數據繼續采用上述的λ1=0.3,λ2=0.5,k=2,β=0.287 7,Y={v3,v4}及相應計算結果.

首先說明性質1.

因此,性質1成立.

下面驗證性質2的第2)～5)條,Y1={v3,v4}.

2) 取Y2={v1,v3,v4},使Y1?Y2有

另取Y2={v1,v2,v4},有

{u3}?{u1,u2,u3,u5}=

因此,性質2的第2)～5)條成立.

5 結束語

本文在雙論域多粒度直覺模糊環境下,將雙度量進行統計均值,進而采用雙量化集成策略,建立2類基于雙量化的雙論域多粒度直覺模糊粗糙集模型,得到相關算法、近似算子性質,其主要以Ⅰ型均值模型為代表.建立的2類均值模型簡化文獻[12]模型的復雜表現形式,將文獻[14]的性質進行理論拓展,具有改進性、擴張性、應用適用性.后續相關的群決策制定、規則提取、屬性約簡還值得進一步深入研究.