帶有離散和分布時滯的不確定神經網絡魯棒穩定性分析

徐 彪，甘濱濱，陳 昊①

（淮北師范大學 數學科學學院,安徽 淮北 235000）

0 引言

由于神經網絡模型成功應用于并行計算、圖像信號處理、故障診斷等領域，因此，神經網絡受到許多學者的研究［1-4］。時滯在神經網絡模型中是不可避免的，同時，時滯可能導致神經網絡系統產生震蕩、發散或不穩定等現象［5-11］。由于存在建模誤差、外部干擾和參數波動，導致神經網絡系統不確定性。為研究這種不確定神經網絡系統的穩定性，魯棒穩定性成為研究熱點之一［12-14］。許多學者對不同的神經網絡系統進行穩定性分析并得到穩定性結果，文獻［15］通過凸組合方法，得到混合時滯神經網絡的穩定性條件；文獻［16］利用增廣型李雅普諾夫泛函，得到時變時滯神經網絡的穩定性條件；文獻［17］運用自由矩陣積分不等式，研究時變時滯神經網絡的穩定性。針對具有分布時滯的不確定神經網絡系統的穩定性研究較少，本文利用李雅普諾夫泛函和同胚映射定理研究具有離散和分布時滯的不確定神經網絡魯棒穩定性，得到神經網絡系統穩定的一個新結果，并通過數值實驗驗證所得結果的有效性。

1 預備知識

考慮以下具有離散和分布時滯的不確定神經網絡系統：

其中，xi(t)為第i個神經元狀態變量，ci(t)為行為函數，fi(t)為激活函數，τi為離散時滯，aij,bij和dij為神經元互聯強度，σ為分布時滯，ui為外部輸入。

神經網絡系統（1）的矩陣-向量形式如下：

式（2）中，

神經元激活函數fi(x)滿足以下條件：

其中γi(i=1,2,…,n)是正數。

在神經網絡系統（1）中參數滿足以下條件：

引理1.1［12］設H(x):Rn→Rn，如果H(x)滿足下列條件：

（1）H(x)是單射，即當x≠y時，H(x)≠H(y)；

（2）H(x)是滿射，即當‖x‖ →∞時，‖H(x)‖ →∞，則H(x)是同胚映射。

引理1.2［13］設A為實矩陣，，對任意正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和任意實向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，下列不等式成立：

引理1.3［14］設B為實矩陣，對任意正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和任意的2個實向量x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T，則下列不等式成立：

2 主要結果

2.1 平衡點的存在唯一性

定理2.1 對于式（2）定義的神經網絡系統，神經網絡系統參數滿足條件式（3），如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數η，μ，且滿足以下條件：

證明 可以得到與系統（2）關聯的映射：

考慮2個向量x,y∈Rn，當x≠y，對于式（4）定義的H(x)，可以寫出下式：

（1）當x≠y，f(x)=f(y) 時，式（5）變為H(x)-H(y)=-C(x-y) ，由于x≠y，C為正對角矩陣，H(x)≠H(y)，即H(x)是單射。

（2）當x≠y，f(x)≠f(y)時，P=diag(pi ＞0)為正對角矩陣，式（5）兩邊同乘以2(x-y)TP可得：

由引理1.2可知：

由引理1.3可知：

將式（7）-（10）代入式（6）得：

當x≠y，可推出H(x)-H(y)≠0。將y=0 代入式（11），兩邊取絕對值可得：

由此類推：

由‖x‖∞≤‖x‖2，‖H(x)-H(0)‖1≤‖H(x)‖1+‖H(0)‖1，式（12）可寫成：

其中‖H(0)‖1是有界值。當‖x‖ →∞時，‖H(x)‖ →∞，即H(x)是滿射。

綜上所述，映射H(x):Rn→Rn是同胚映射，可得對于式（2）定義的神經網絡系統，每個輸入向量U都存在唯一的平衡點x*，使得H(x*)=0。

2.2 平衡點的穩定性分析

因為系統（2）的穩定性等價于系統（13）的穩定性，故只需研究系統（13）的穩定性。

定理2.2 對于式（13）定義的神經網絡系統，神經網絡系統參數滿足式（3），如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數η，μ，且滿足以下條件：

證明 構造正定李雅普諾夫泛函：

其中k，η，μ為正數。李雅普諾夫泛函沿系統（13）軌跡的時間導數如下：

由引理1.2可得：

由引理1.3可得：

將式（15）-（17）代入式（14）可得：

其中當gi(yi(t-τi))≠0，可得V.(t)＜0。綜上所述，只有當yi(t)=gi(yi(t))=gi(yi(t-τi))=0 時，V.(t)=0，其他情況可得V.(t)＜0。當‖y‖i(t) →∞，‖V(t)‖ →∞時，可得V(t)是徑向無界的。因此，系統（2）或系統（13）的全局漸近魯棒穩定點是原點，即系統（2）或系統（13）是魯棒穩定的。

推論2.1 當C=-C=Cˉ，A=-A=Aˉ，B=-B=Bˉ，D=-D=Dˉ時，如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數η，μ且滿足以下條件：

3 數值實驗

例1 考慮具有如下參數的神經網絡系統（2）：

文獻［8］中σ允許的最大值為6.938，文獻［15］中σ允許的最大值為9.441，文獻［9］中σ允許的最大值為12.441，推論2.1中σ允許的最大值為12.527?？梢姳疚牡姆€定性結果σ允許的最大值較大，保守性較小，穩定性結果較好。

例2 考慮具有如下參數的神經網絡系統（2）：

滿足定理2.2的條件，則神經網絡系統（2）是全局漸進魯棒穩定的。

4 結論

本文研究一類具有離散和分布時滯的不確定神經網絡系統的魯棒穩定性。首先，利用同態映射定理和李雅普諾夫泛函證明平衡點的存在性與唯一性和神經網絡系統的魯棒漸進穩定性。然后，運用新的不等式來估計李雅普諾夫泛函的時間導數項，給出判別帶有離散和分布時滯的不確定神經網絡系統穩定的一個新結果。最后，通過數值實驗驗證穩定性結果的有效性。