數學新課標中的幾個“細節”問題

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》有三個應當重視的“細節”問題：“課程目標”的論述應當講究邏輯，從而避免理解上的困難；核心素養的“三會”闡釋以及與教學目標撰寫相關的“行為動詞分類”應當淡化詞語概念，注重實質意義，從而避免束縛一線教師的思想；“實例”的編寫應當發揮更大的作用，從而幫助大家更好地理解新課標的基本理念，并為實際的數學教學提供必要的范例。

關鍵詞：數學新課標；課程目標；“三會”；行為動詞；實例

在“數學教育雜談”系列的前一篇文章［1］中，筆者從宏觀的角度談了對《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學新課標”）的一些思考。本文則從相對微觀的角度進一步談談數學新課標中的幾個“細節”問題，從而幫助大家更好地學課標、用課標。

一、從邏輯的角度看“課程目標”的論述

胡適先生說過：“內行的教育家，因為專做這一項事業，眼光總注射在他的‘本行，跳不出習慣法的范圍。他們籌劃的改革，總不免被成見拘束住，很不容易有根本的改革?！睌祵W新課標中“課程目標”部分的論述便未能跳出原有的概念框架，包括局限于從數學學科的視角進行分析思考，更不恰當地將“新舊”指導思想做了簡單組合。這是筆者在本系列的前一篇文章中表達過的觀點。除此以外，筆者以為，相關論述從邏輯的角度看，容易導致理解上的困難，包括直接的誤讀。

數學新課標中“課程目標”部分的開頭是：“課程目標的確定，立足學生核心素養發展，集中體現數學課程育人價值?！保?］這句話其實是從一般（而非數學）課程的角度表明了我們應當如何理解“課程目標”。也就是說，無論哪一門課程的教育，都應該很好地落實“育人”這一教育的整體目標，特別是應該“立足學生核心素養發展”。

從邏輯的角度看，接下來先論述“核心素養內涵”，應當說是十分合理的。因為，如果我們認定課程目標應該“立足學生核心素養發展”，那么從數學教育的角度對如何理解所說的“學生核心素養”，也即什么是“（數學課程要培養的）學生核心素養”作出清楚的說明，就為我們理解數學教育的基本目標提供了具體解答。

然而，令人費解的是，盡管相關論述已清楚地表明了這樣一個觀點，即我們應將“三會”看成“數學課程要培養的學生核心素養”的主要含義，數學新課標卻將這部分內容用小標題概括為“核心素養的構成”，并在這部分內容后面并列地加上了小標題為“在小學與初中階段的主要表現”的內容。既然已經對“核心素養的構成”做了具體說明，為什么還要加上“核心素養的主要表現”這樣一項內容？當然，如果從詞義上進行分析，“構成”與“主要表現”確實存在一定的差異。但是，究竟為什么要對此作出特別的強調呢？筆者猜測，采取這樣一種“遞進”的論述方式的主要原因，可能是為了表明對“核心素養內涵”，沒有停留于一般性的論述，而密切聯系數學學科作出了進一步的分析思考。但如果真是這樣的話，為什么沒有直接使用“數學核心素養”這樣一個詞語？另外，采取這樣一種“遞進”的論述方式是否意味著所說的“三會”不能被看成“核心素養”在數學領域的主要含義？如果是，則顯然與前面的論述形成了直接的矛盾。

進而，如果將注意力集中到“（核心素養）在小學與初中階段的主要表現”這一部分的具體內容上，還可以發現有更多問題需要深入地分析思考。

第一，將核心素養在小學與初中階段的主要表現概括地表述為“小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解”［3］是否恰當？只需稍做思考就可發現，這一結論不僅需要進一步說明（比如：何謂“經驗的感悟”？它與“經驗的積累”有什么不同？），也有明顯的局限性（比如：除去“概念的理解”，我們顯然也應十分重視“提出與解決問題的能力”）。

第二，具體闡述的核心素養在小學與初中階段的15個主要表現，基本上是與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“數學舊課標”）闡述的10個“數學核心概念”一致的（只是在小學增加了“量感”，在初中增加了“抽象能力”，并且將“推理能力”劃分為“推理意識”和“推理能力”，將“數據分析觀念”劃分為“數據意識”和“數據觀念”，將“模型思想”劃分為“模型意識”與“模型觀念”）。那么，它們與“三會”之間有什么關系？數學新課標中的相關論述，將它們分別歸屬于“數學的眼光”“數學的思維”和“數學的語言”。但這顯然進一步強化了將“三會”絕對地分割開來的做法，更是與數學新課標強調的核心素養的“整體性、一致性和階段性”直接相沖突。對此，筆者將在下文做進一步分析。

論述了“核心素養內涵”之后，數學新課標又論述了“總目標”。但是，根據“課程目標”開頭的那句話，關

于“核心素養內涵”的分析已經為我們認識數學教育的“總目標”提供了具體解答，為什么又要專門論述“總目標”呢？“總目標”的第一句話“通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”符合上述邏輯，很好理解。但是，之后為什么要加上“學生能：（1）獲得適應未來生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。（2）體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題。（3）對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”［4］這樣幾句話呢？

不難發現，這幾句話是對數學舊課標強調的“四基”“四能”與“情感態度與價值觀”的概述。因此，加上這幾句話，可能是出于“繼承”的需要。但是，我們究竟應該如何理解過去強調的目標與現今強調的“核心素養”之間的關系？

當然，“總目標”又可被看成是相對于“學段目標”而言的，而“學段目標”正是“課程目標”的第三項內容。但是，在此我們仍然面臨一個重要的問題：在論述各個“學段目標”時，究竟應當圍繞“三會”，還是15個“主要表現”，或是“四基”“四能”和“情感態度與價值觀”進行分析？

在此還應特別提及一個密切相關的觀點，即“四基”“四能”“數學核心概念”與“三會”等構建了關于數學課程目標的一個層層遞進的完整體系：“首先，‘三會是這個目標體系的頂層目標或終極目標……其次，為達成‘三會，設置了通往‘三會或為‘三會提供支撐的中間目標或過渡性目標，稱為核心素養的主要表現……最后，第三層目標是達成核心素養主要表現的支撐目標或過渡性目標，也就是大家熟悉的‘四基、四能目標?！保?］從形式上看，這一論述似乎有一定的道理，并且為我們很好地解決上述矛盾提供了現實的可能性，但事實上反映了對“結構性認識”的一種誤解。因為，一個真正的層次結構，在各個層次之間應當存在密切的聯系，特別是，較低層次的概念應是較高層次概念的具體體現，并且為其實現提供必要的保證和具體的途徑，反之，較高層次的概念應對較低層次的概念進行滲透與提供指導。而從上述解釋中，卻只能看到一種“層層加碼”的現象，即概念“簡單堆砌”，相互之間缺乏內在的聯系，因而不能形成一個真正的體系。由以下對照比較，讀者便可對此有更好的認識：

按照數學新課標中“課程目標”這一部分的論述方式，可對所提及的各個主要概念之間的關系，包括論述的次序，作出如圖1所示的梳理。

從邏輯的角度看，關于“數學教育目標（課程目標）”的論述則應是如下頁圖2所示的層層推進的體系。

進而，如果認定“核心素養導向”是這方面最重要的指導思想，那么，我們顯然就應當按照這一思想對上述體系做進一步的詮釋，即采取如圖3所示的論述方式。

總之，“課程目標”這一部分的具體論述不應滿足于概念的簡單堆砌，更不應定位于“新舊思想”的簡單組合。相反，為取得真正的進步，我們必須跳出已有的概念框架，從更高的層面進行深入的分析研究。對此，筆者引用李可染先生的以下論述：“以最大的功力打進去，以最大的勇氣打出來?！边@句話盡管是就藝術創造而言的，但仍清楚地表明了什么是我們在課標修訂方面的真正需要。

二、從“詞語和意義”的角度看核心素養的闡釋與教學目標的撰寫

以上分析已經使我們感覺到，將作為數學教育“終極目標”的核心素養界定為“三會”既無必要，也不合適。實際上，就內容而言，“三會”重復了蘇聯著名數學家亞歷山大洛夫對數學主要特征的分析，即所謂的“抽象性、嚴密性與應用的廣泛性”。而且，“三會”也未能很好地體現“核心素養導向”——跳出狹隘的專業視角，從更大的范圍去認識數學教育的價值。

在此，我們還應清楚地看到將“數學的眼光”“數學的思維”“數學的語言”人為地割裂開來的另一個局限性：容易造成理解上的困難。

具體地，數學新課標中關于“三會”的論述包括：［6］

會用數學的眼光觀察現實世界：數學為人們提供了一種認識與探究現實世界的觀察方式……

會用數學的思維思考現實世界：數學為人們提供了一種理解與解釋現實世界的思考方式……

會用數學的語言表達現實世界：數學為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式……

按照這樣的論述，所謂的“三會”主要涉及三個關鍵詞：“觀察”“思考”和“表達”。對此，分別借助“認識與探究”“理解與解釋”和“描述與交流”作出進一步的說明。又由于這三者都可被歸屬于“人類對現實世界的認識”，因而，我們可以作出如圖4所示的進一步概括。

顯然，即使單純地從詞語的角度進行分析，我們也可清楚地看出這一做法的局限性，即詞語應用上的“捉襟見肘”與“交叉重疊”。例如，既然這三者都可被歸屬于“人類對現實世界的認識”，那么，作為進一步的具體說明，顯然就不應在較低的層次再次使用“認識”這個詞語。再則，如果不借助其他概念，我們顯然也無法對“探究”這一概念的準確含義作出具體的說明。

當然，相對于單純的詞語分析而言，我們又應更加重視這一做法是否有利于人們在這一方面認識的發展和深化，包括是否應對“觀察”“思考”和“表達”作出絕對的區分。

具體地，絕對地區分開這一做法顯然是與認識活動的整體性直接相沖突的，并且不利于人們清楚地認識思維在認識活動中的核心地位。為了更清楚地說明這一點，以下從整體的視角指明人類認識活動的一些重要特點：

第一，任何認識活動都同時涉及“主體”與“對象”這兩個方面。對這兩者，我們又都應當做廣義的理解：首先，“人”不僅指單獨的“個體”，也包括“群體”；其次，“現實世界”也不局限于自然界，還包括波普爾所謂的“世界三”（或者說“客觀知識”）。顯然，依據后一事實，我們也可更好地認識“反思”與“再認識”對于認識活動的特殊重要性。

第二，人類對現實世界的認識并非鏡面式的反射，相反，主體在這一過程中也發揮了十分重要的作用。用建構主義的話來說就是，認識是主體的主動建構，是一種意義賦予。從這一角度，我們也可更好地認識數學學習對于提升認識能力的重要性。因為，除了主要著眼于事物和現象的量性特征以外，數學學習也十分有益于抽象能力的提升，包括逐步養成這樣一種認識方式：借助于概念和理論去認識，從而獲得更深刻的認知，而不是局限于單純的“經驗積累”。

由此，我們也可清楚地認識到“觀察”“思考”與“表達”之間存在的重要聯系：人們總是通過“有色眼鏡”去觀察世界，也即離不開一定的概念體系或語言；進而，人們其實不是用眼睛在看，而是用頭腦在“看”。這就是認識活動建構性質的集中體現，更清楚地表明了思維在認識活動中的核心地位。實際上，通過認知的信息加工理論，也可很好地認識這一點：信息的輸入（觀察）和輸出（表達）都離不開包括現實、語言在內的媒介，同步還伴隨著加工（思考），并以此為核心。

綜上可見，就作為數學教育“終極目標”的核心素養這一論題而言，不應將論述重點放在單純的“詞語創新”上，而應更加重視對問題本身（也即如何認識數學教育的價值）的分析。對此，筆者引用著名數學家、教育家陳重穆先生在20世紀90年代提出的一個主張：“淡化形式，注重實質?！边@一主張告訴我們，要適度地“淡化概念”，即“不要單純在概念本身上下功夫”，不要把概念看成是“百分之百的不可變動、神圣不可侵犯”，而應把重點放在對實質的領悟之上。［7］

進而，筆者想特別提及這樣一點：詞語使用上的“隨意性”還可能對人們的積極思維造成一定的消極影響。下面就以數學新課標的附錄2“有關行為動詞的分類”與相關的解讀為例，做簡要說明。

數學新課標在附錄2中，將與每堂課或者每個具體教學內容的教學目標有關的行為動詞分為“描述結果目標的”與“描述過程目標的”兩類，并將前者分為“了解”（或“知道”“初步認識”）、“理解”（或“認識”“會”）、“掌握”（或“能”）、“運用”（或“證明”“應用”）四個層次，將后者分為“經歷”（或“感受”“嘗試”）、“體驗”（或“體會”）、“感悟”、“探索”四個層次。［8］

對此，相關人士給出如下建議：“當我們確定好一節課各個維度目標的具體內容后，接下來就要根據目標內容的屬性，從結果目標行為動詞和過程目標行為動詞中，選擇相應的目標行為動詞進行匹配，這樣就可以寫出規范的教學目標?！边@就要求我們在撰寫教學目標時，采取“行為動詞+目標內容”的形式，并且讓行為動詞與目標內容相匹配。在此基礎上，進一步給出六個方面的匹配建議（要求）：“一是基礎知識目標內容與行為動詞的匹配；二是基本技能目標內容與行為動詞的匹配；三是基本思想目標內容與行為動詞的匹配；四是基本活動經驗方面：我們習慣上使用‘積累；五是數學‘四能方面：我們習慣上使用‘經歷；六是核心素養方面：我們習慣上使用‘發展?！保?］

筆者的看法是：強調認識的發展性與階段性當然是對的，但是，我們顯然也應該看到“過程”與“結果”以及不同水平之間的辯證關系；作為指導性文件，重視詞語的準確性顯然也沒有錯，但是，我們如果希望相關文件確能對廣大數學教育工作者，特別是一線教師發揮切實的指導作用，就應該在這一方面采取十分慎重的態度。因為，不僅上述動詞的分類很難把握，而且匹配的要求也很難實現——有興趣的讀者不妨具體嘗試一下，即就某個具體的教學內容，按上述要求去撰寫一個“合格的”教學目標，看看你能否很好地完成這個任務，這又會占用你多少的時間和精力。如果將此當成一線教師必須理解、執行的硬性規范，那么，即使在最好的情況下，也只會造成一種“新八股”。對此，筆者想特別借用小學數學特級教師俞正強老師的經歷和感受來說明：［10］

我是1986年參加工作的……當時的教學目標稱為“雙基”，即基本知識、基本技能……

到了2000年左右，新課程改革了……改革的顯著之處在于將“雙基目標”改為“三維目標”……于是，我努力將自己的教學目標調整為“三維目標”?？墒?，從此我發現，寫教案的時候，我已經不會寫教學目標了。因為我發現每節課都有特定的基本知識、基本技能，卻很難區分出每節課的思想方法。當思想方法成為教學目標的時候，發現上節課也這樣，下節課也這樣。更痛苦的是，實在不知道這節課的情感態度價值觀與上節課有何不同……就這樣迷茫了，在迷茫中努力地教學……

到2010年，好像又修改了，三維目標還是不對。作為一個一線數學教師，很認真地接受新的“四基目標”……讓我抓狂的是基本經驗，不知道如何去落實……教師們看我一臉困惑的樣子，告訴我：教書啊，別想那么多……

……從2016年開始，“四基目標”好像又不大重要了，代之以“數學核心素養”。因此，討論環節有位專家問我：“你這節課，培養了什么核心素養？”我當時就被問蒙了……盡管課上成功了，大家也認為上得挺成功的，但面對這個問題，我真的不知從何說起。

這個實例表明，現實中更可能出現的一個情況是，所說的規范只會束縛一線教師的思想，即給一線教師帶上一個沉重的文字枷鎖。

三、從指導性的角度看“實例”的編寫

案例的重要性現已獲得越來越廣泛的認同。這也可由以下事實得到進一步的證實：數學新課標的附錄1“課程內容中的實例”一共包括93個實例，其篇幅遠遠超出正文中關于任一論題的論述。

但在這一方面，我們也可看到一些簡單化的認識與不恰當的做法，特別是，將“案子”簡單等同于“案例”，即滿足于各種實例的收集，卻忽視了還應對此作出深入分析，包括從整體上認真研究應當如何從事案例研究，以及如何更好地發揮實例的作用。下面對此作出具體分析。

首先，有關實例是編寫在數學新課標的附錄中的，因此，總體而言，這些實例就應起到幫助人們更好地理解數學新課標基本理念或主要思想的作用。而義務教育課程的基本定位是“規定了教育目標、教育內容和教學基本要求，體現國家意志，在立德樹人中發揮著關鍵作用”［11］，因此，這些實例的作用就應集中于這樣三個方面：（1）如何通過各個內容的教學很好地落實數學教育的基本目標，包括更好地理解基本目標？（2）教育內容的組織如何很好地體現相應的“課程理念”，特別是課程內容的“整體性、一致性與階段性”？（3）如何按照數學新課標在教學方面的基本要求從事各個內容的教學，特別是“重視單元整體教學設計”“強化情境設計與問題提出”以及“進一步加強綜合與實踐（跨學科學習）”等要求。［12］

正是基于這樣的認識，筆者以為，數學新課標中實例（及其說明）的編寫就有較大的改進余地，特別是，應當通過實例幫助大家更好地理解數學新課標的基本理念，并為實際的數學教學（包括教材編寫——實際上是一種教學設計）提供必要的范例。

其次，在本系列的前一篇文章［13］中，筆者提及，強調“課程”的視角容易造成對各種與教學有關的問題不夠重視的后果。從這一角度進行分析，數學新課標中實例的編寫也有不少需要改進的地方。以下結合三個實例做具體分析。

一是數學新課標附錄1中的例4“用不同符號表示變化規律”及其說明：［14］

在下列橫線上填上合適的數字、字母或圖形，并說明理由。

【說明】啟發學生在解決問題的過程中探索規律。引導學生感悟對具有規律性的事物，無論是用數字還是用字母或圖形都可以反映相同的規律，只是表達形式不同。

首先應當提及，對“找規律”（數學新課標的附錄1中，這方面的實例還有例14“尋找規律進行推斷”［15］）的強調正是新一輪課程改革實施以來數學教學領域十分普遍的一種現象。但由于相關實踐有不少明顯的問題或不足之處，就引發了不少專業人士的批評。這些批評集中于這樣幾個方面：很多所謂的“規律”事實上不能被看成真正的規律，所說的“找規律”在某些方面更是與科學的認識直接相違背。特別是，我們顯然不應依據幾個簡單的例子，在沒有經過進一步檢驗和證明的情況下，隨意地去認定所謂的“規律”。也正因此，相關實例中所說的“找規律”，事實上就只是一種素樸的認識。對此，我們應該通過系統的學習進行必要的提升。下面通過張奠宙先生對人教版小學數學教材中的一個“找規律”內容的分析來具體說明：［16］

針對人教版小學數學一年級下冊（指的是在2012年之前的一版教材，相關問題在2012年之后的新版教材中已做了較大的變動）“找規律”內容中所呈現的小旗排列方式（紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅）以及相關的問題“后面一個應是什么？”，張奠宙先生指出：“這里的一個‘應字，是不妥當的。它意味著找的規律只有一種（黃紅旗兩個一組間隔出現），第一排的第10面旗只能是黃色……事實上，我們可以找到許多其他的規律，使得第10面旗是‘紅。例如，“9個一組，周期重復”，于是第9、第10以及第18、第19，連續兩面都是紅旗……實際上，找規律問題是一個開放的問題。任何一個有限序列，都可以生成無限多種的規律。認為只有一個規律，推斷出‘必須是什么和‘應該是什么，把開放題封閉成一個唯一答案的題目，在數學上是不對的?！?/p>

當然，就數學新課標中的實例而言，教學的重點已經有所轉移：集中到了“規律”的表述。但是，在筆者看來，這恰好十分清楚地表明了“數學的眼光”“數學的思維”“數學的語言”之間所存在的重要聯系。具體地，如果說面對所給的三組符號或圖形注意分析它們的共同點與不同點，可被看成是“數學的眼光”的具體體現，那么，除去異同點以外，更加重視由特殊上升到一般，由具體過渡到抽象，即從數學的角度揭示它們的共同本質，就可被看成是“數學的思維”的重要體現。再者，為了對共同本質作出清楚的表述，又必須用到“數學的語言”，特別是應引入“模式”這樣一個概念，因為與“規律”相比，它應當說是更加合適的一個詞語。［17］

進而，從同一角度進行分析，筆者以為，相對于直接列出三組符號或圖形，更加恰當的一個做法是，以日常生活中的一些常見情境（如花盆的擺設、彩旗的懸掛）為背景去引出相關的問題。因為，數字或字母符號以及幾何圖形都已達到一定的抽象層面；而且，具體情境的使用可以起到“去情境”的作用，這是幫助學生學會“三會”，特別是“數學的表達”十分重要的一個方面。

二是數學新課標附錄1中的例10“生活中的數”及其說明：［18］

某學校為學生編號，設定末尾用1表示男生，用2表示女生。例如，202103321表示“2021年入學的（3）班的第32號同學，該同學是男生”，那么202104302表示什么？

【說明】這個例子啟發學生思考，編號提供給我們一些什么信息。例如，一個年級最多有多少個班，一個班最多有多少名學生。同時，可以引導學生設計本校的學生編號方案。

正如以上“說明”中所提及的，這一實例所涉及的事實上是“編碼問題”，從而采用“生活中的數”這樣一個標題就不是很合適，更容易導致這樣一個錯誤的認識：此例的教學仍然應當以所謂的“數感”作為主要的指導思想。我們在此所關注的顯然已經不是“對于數與數量、數量關系及運算結果的直接感悟”［19］，而是如何能夠發現各種編碼中包含的信息。

進而，除去“學生的編號”以外，在各類觀摩教學中經?？梢钥吹降摹吧矸葑C的認識”顯然也具有同樣的性質。但是，我們在此又應清楚地認識到這樣一個事實：無論是“學生編號”還是“身份證的認識”，主要都應被看成一種生活常識，而不是真正的數學知識。［20］

當然，通過數學教學幫助學生掌握一定的生活常識也應得到肯定，但在實現這一目標的同時，我們顯然又應進一步去思考：如何通過同一內容的學習讓學生有更大的收獲。

具體地，筆者以為，在相關內容的教學中應當明確提及的一個問題是：每個學生都有名字，要想了解學校中有多少班級以及班上有多少學生也非難事，為什么要對學生進行編號？更一般地說，這一方面的教學工作應當很好地突出兩個核心問題：（1）什么是編碼？生活中為什么要進行編碼？（2）我們應如何進行編碼？相對于引導學生刻意地去捉摸從“學生編號”中可以引出哪些信息，上述問題對提升學生的思維水平顯然有更大的幫助，包括如何才能更有效、簡潔地進行表征。當然，對上述問題的具體研究，不應脫離學生的實際水平。例如，就“我們應如何進行編碼”這一問題而言，應滿足于這樣一個認識：編碼既不應遺漏，也不應重復。對此，在教學中應借助更多實例作出分析和說明。

三是數學新課標附錄1中的例67“一元二次方程的根與系數的關系”及其說明：［21］

知道一元二次方程的根與系數的關系，能通過系數表示方程的根，能用方程的根表示系數。

【說明】引導學生了解一元二次方程一般表達式ax2+bx+c=0（a≠0）的關鍵是用字母表示方程的系數，可以寫出方程根的一般表達式；知道這樣的表達是算術轉變為代數的“分水嶺”。

……

這就是韋達定理。

學生在這樣的過程中，感悟符號表達對于數學發展的作用，積累用數學符號進行一般性推理的經驗。

上面的“說明”有一定道理，并清楚地表明了這樣一點：對同一課例可以從不同的角度進行分析，這主要取決于我們如何看待學習相關內容的作用或價值。但是，如果我們認定“一元二次的根與系數的關系”的教學主要是為了幫助學生“感悟符號表達對于數學發展的作用，積累用數學符號進行一般性推理的經驗”，則顯然沒有很好地體現整體的視角。因為，“一元二次方程”是在初三學習的，而學生早在兩年前就已接觸到“符號表達”，包括依據明確的法則對字母表達式進行變形。再則，將求解公式的得出看成“算術轉變為代數的‘分水嶺”應當說也不是很恰當，包括在此顯然又應對“分水嶺”的準確含義作出清楚說明。

與此相對照，筆者以為，從整體的角度進行分析，在教學中就應特別重視將一元二次方程的學習與學生已掌握的一元一次方程聯系起來，并清楚地指明這是數學發展的一個基本路徑，即由簡單到復雜，同時引導學生具體分析：它不僅是指由一次上升到二次，也包括由一元過渡到二（多）元，還包括由方程過渡到方程組，乃至由等式過渡到不等式。當然，強調發展的同時，也應注意分析不同方面之間的聯系。例如，對已在如何求解方程（組）這一方面具備了一定知識和經驗的初三學生來說，一個毋庸特別強調的事實是，相關研究應當集中于如何求解新遇到的一元二次方程，而實現這一目標的關鍵就在于通過適當的變化“化未知為已知”，即將二次方程轉化成一次方程來求解。當然，幫助學生很好地認識求解公式的作用，特別是“算法化的思想”，也應成為相關教學的又一重點。

此外，將一元二次方程求解公式的得出與韋達定理的發現混在一起進行分析，應當說也不是一個很好的做法。因為，后者可被看成幫助學生學習“逆向思維”的一個很好契機：既然能由系數順利地求得一元二次方程的根（如果確實存在），自然也應反過來思考是否也能由根求得一元二次方程的系數。當然，在教學中，應為學生提供從多個方面進行嘗試和探索的機會，而不應將結果直接告訴學生，包括所謂的“假探究，真提示”（詳可見筆者所著《小學數學概念與思維教學》一書第五章的例9）。

最后要指出的是，對上述三個實例，筆者在先前的文章中都已有所涉及；在這方面，我們更可看到不少相關的文章。這也就清楚地表明了加強學習的重要性。當然，我們不應簡單地搬用各種現成的結論，而應更加重視如何以此為背景，密切聯系教學實踐，更深入地開展研究，包括認真地總結與反思。因為，只有這樣，我們才能取得切實的進步，而不至于永遠處于原地徘徊的狀態，乃至不斷重復過去的錯誤。

參考文獻：

［1］［13］鄭毓信.關于數學新課標的幾點思考——“數學教育雜談”之八［J］.教育研究與評論，2022（12）：412，412.

［2］［3］［4］［6］［8］［11］［12］［14］［15］［18］［19］［21］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：5，7，11，56，181182，前言1，8688，101，105106，104，7，145146.

［5］孫曉天，邢佳立.中國義務教育：基于核心素養的數學課程目標體系——孫曉天教授

訪談錄（三）［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（3）：910.

［7］陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實質——兼論《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱》［J］.數學教育學報，1993（2）：49.

［9］蘇明強.《義務教育數學課程標準（2022年版）》行為動詞解讀及教學啟示［J］.小學教學（數學版），2022（7/8）：36.

［10］俞正強.比小學數學課堂教學目標更重要的是什么［J］.人民教育，2017（10）：5558.

［16］張奠宙.張奠宙數學教育隨想集［M］.上海：華東師范大學出版社，2013：3839.

［17］鄭毓信.數學教學中的“找規律”風應當降降溫［J］.小學教學（數學版），2014（10）：79.

［20］鄭毓信.數學教學中的“問題引領”與“問題驅動”——“中國數學教學‘問題特色”系列研究（2）［J］.小學數學教師，2018（3）：48.

（鄭毓信，南京大學哲學系，教授，博士生導師。享受國務院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學術研究與各類教學工作50多年，包括中學、大學、研究生教育與各類教師培訓工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區做長期學術訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學做專題學術講演。出版專著30余部，在國內外學術刊物上發表論文近500篇，學術成果獲省部級獎7次。在數學哲學、數學教育、科學哲學與科學教育領域有較大影響。）