拋物線背景下定角問題探究

高冬

拋物線背景下根據定角（角的度數或三角函數值已知）求動點坐標是中考的熱點. 此類問題考查角度靈活，解題方法多樣，具有較強的綜合性. 針對角的頂點為定點的情況，本文從“構圖—轉化”的角度，歸納出解決此類問題的一類通法.

考點提煉

考點1：定角的一邊與x軸或y軸平行（或在x軸、y軸上）

構圖思路：過動點作x軸或y軸的垂線，構造直角三角形.

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y = -x2 + 2x + 3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上一點，當tan∠COP = [12]時，請直接寫出點P的橫坐標.

解題思路：OC邊在y軸上，過動點P作y軸的垂線，構造直角三角形. 如圖1，當點P在y軸的右側時，作PE⊥y軸，垂足為點E，設點P坐標為（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△OPE中利用tan∠COP = [12]列方程求解. 當點P在y軸的左側時，如圖2，同法可求出點P的橫坐標. 答案：2 - [7]或[3].

易錯點：審題不清，導致丟解；坐標與點到線的距離混淆，如在例1中點P在y軸的左側時，將PE的長表示為m.

考點2：定角的邊與x軸或y軸不平行

構圖思路：先以定角的頂點和已知邊上的一個定點構成的線段為直角邊，構造以定角為三角形內角的直角三角形，再以構造的直角三角形為基礎構造“弦圖”.

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線y = -x2 + 2x + 3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，D為拋物線頂點，連接OD，點P是拋物線上一點，當∠ODP = 45°時，請直接寫出點P的橫坐標.

解題思路：定角的邊與坐標軸不平行，構“弦圖”. 如圖4，當點P在OD的右側時，先構造以OD為直角邊、∠ODP為內角的直角三角形，即作OE⊥OD，交DP的延長線于點E；再以Rt△ODE為基礎構造“弦圖”，即分別過點E，D作EF⊥y軸，DG⊥y軸，垂足分別為點F，G，則可證△ODG≌△EOF，所以OG = FE，DG = OF. 因為點D坐標可求，所以OG，DG可求，所以可得點E坐標，利用待定系數法求出直線DE的解析式，最后利用直線DE與拋物線的解析式聯立方程組求出點P的橫坐標. 當點P在OD的左側時，如圖5，用同樣的思路可求出點P的橫坐標. 答案： [83]或[25].

易錯點：審題不清，導致丟解，比如在例2中只考慮點P在OD的右側.

例3 在例2中，若點P是拋物線對稱軸上一點，連接CD，當tan∠DCP = 2時，請直接寫出點P的坐標.

解題思路：構圖方式及求解思路同上，如圖6，通過構造弦圖，根據Rt△CDF∽Rt△DEG求點E的坐標. 答案： [1，83] .

解題要點：構造弦圖，列方程求解.

當定角不是特殊角時（本文把30°，45°，60°的角稱為特殊角），一般先根據隱含的已知條件將定角割補為特殊角，再構造直角三角形用三角函數列方程求解.

例4 在例2中，連接BC，點P在BC右側，當∠BCP = 75°時，請直接寫出點P 的橫坐標.

解題思路：75°角不是特殊角，可挖掘題中隱含條件進行轉化. 如圖7，由y = -x2 + 2x + 3可得OB = OC，所以∠OCB = ∠OBC = 45°，因為∠BCP = 75°，所以∠OCP = 120°，過點P作PE⊥y軸，垂足為點E，則∠PCE = 60°，設點P坐標為（m，-m2 + 2m + 3），在Rt△CPE中，利用tan∠PCE = [PECE=3]列方程求解. 答案： [6-33].

例5 在例2中，連接CD，若點P在對稱軸右側的拋物線上，當∠DCP = 15°時，請直接寫出點P的橫坐標.

解題思路：15°角不是特殊角，挖掘題中隱含條件，添加輔助線構圖，將15°角轉化為特殊角. 根據已知條件，可求得點D坐標為（1，4），點C坐標為（0，3），如圖8，過點D作DF⊥y軸于點F，則DF = CF = 1，所以∠DCF = 45°，所以∠PCF = ∠DCP + ∠DCF = 60°，根據“定角的一邊與x軸或y軸平行（或在x，y軸上）”的構圖思路，過點P作PE⊥y軸于點E，設出點P坐標，在Rt△CPE中利用三角函數列方程求解. 答案：[6-33].

解題要點：構造直角三角形，靈活轉化.

真題精講

例6 （2022·湖北·黃岡）拋物線y = x2 - 4x與直線y = x交于原點O和點B，與x軸交于另一點，頂點為D.

（1）直接寫出點B和點D的坐標；

（2）如圖9，連接OD，點P為x軸上的動點，當tan∠PDO = [12]時，求點P的坐標.

解題思路：（1）由x2 - 4x = x可求點B坐標；由拋物線解析式y = x2 - 4x可求點D坐標.

（2）點P是x軸上動點，分類討論：如圖10，當點P在OD的右側時，由點D（2，-4）可直接過點D作x軸的垂線；如圖11，當點P在OD的左側時，∠ODF沒有與坐標軸平行的邊，可依托已知的OD構造Rt△ODF，再構造弦圖，根據△OFG∽△DOP1求出點F坐標，再利用待定系數法求直線DF的解析式，然后把x = 0代入直線DF的解析式即可求出點P2的坐標.

答案：（1）B（5，5），D（2，-4）；（2）P1（2，0），P2 [-103，0].

總結提升

總體來看，解決拋物線背景下的定角問題，要關注以下問題.

1. 要有數形結合的思想，要善于挖掘隱含條件. 比如，在拋物線y = -x2 + 2x + 3的背景中要注意隱含的等腰直角三角形.

2. 要有分類討論的思想，當動點位置不明確時，注意分類討論.

3. 要有方程思想，將求動點坐標轉化為方程問題.

4. 無論定角有無與坐標軸平行的邊或有無邊落在坐標軸上，構圖的關鍵都是向x軸或y軸作垂線，通過添加垂線進而構造弦圖或直角三角形求解.

（作者單位：興城市第三初級中學）