一類橢圓方程多重變號解的存在性

林美琳

(應用數學福建省高校重點實驗室(莆田學院),福建莆田 351100)

§1 引言

定理1在上面的假設條件下,若N ≥7,0<μ<-(2+2a)2,則存在θ?>0,當0<θ<θ?時,方程(1)在中至少存在k重變號解.

§2 預備知識

§3 一些引理

引理1對于方程(1)的正解u1,u2,···,uk,存在正的常數A1,A2,有

對任意x ∈B(gj,r){gj},r充分小都成立.

此引理的證明見[8].

引理2對于方程(1)的正解uj(j ∈{1,...,k}),有

這樣就完成了(9)式的證明,(10)式可以類似得證.

為了下面的證明,引入下列定義.

定義1

由(V2)和Sobolev不等式知>0.

此引理的證明見[9].

定義2對j ∈{1,···,k},選擇r0=δ/3.定義

此引理的證明見[3,Lemma3.2].

此引理分兩步來證明.

對于t ∈(t1,t2),將引理3 中正的值記為s+(t),s-(t),再由引理3,有

由于s+(t)關于t是連續的且滿足

相似地,s-(t)關于t是連續的且滿足

由s±(t)的連續性可知存在一個tε ∈(t1,t2)滿足

取t=tε,s=sε,則(1)的第一部分得證.

接下來,要證明的是當ε充分小時,βj(sε(uj-)±)

由tε的選擇,{x ∈?;uj(x)≥}是非空的.又因為

因此對j ∈{1,···,k}有

由(12)和(13)以及βj的定義有

利用(14),(15),引理2以及tε的有界性,可以得到

此引理的證明見[10,p290-291].