半連續格上的半基, se-拓撲和sρ-拓撲

毛徐新 ,徐羅山

(1.南京航空航天大學 數學學院,江蘇南京 210016;2.揚州大學數學科學學院,江蘇揚州 225002)

§1 引言

20世紀70年代初,圖靈獎得主Scott提出了連續格[1]的概念,旨在為計算機高級程序設計語言的指稱語義提供數學模型.隨后連續格及更為一般的Domain理論引起了諸多學者的廣泛關注,且不斷向信息科學,邏輯學,分析學,理論計算機科學及各種應用學科滲透[2-3].序與拓撲的相互結合是Domain理論研究的基本特征.在文[4]中,趙東升利用半素理想將連續格推廣至半連續格.文[5]討論了半連續格上的半Scott拓撲和半Lawson拓撲的基本性質;文[6-7]利用半Scott拓撲給出了半連續格的等價刻畫,并研究了半連續格上的半連續映射等;文[8]在完備格中引入半基和局部半基的概念,并利用半基和局部半基刻畫完備格的半連續性;文[9]則討論了半連續格的分配反射.本文借鑒文[10-12]中引入稠密拓撲刻畫連續domain(連續偏序集)及s2-連續偏序集的基的研究思路,在完備格中引入se-拓撲和sρ-拓撲等概念,討論半連續格上se-拓撲和sρ-拓撲的基本性質.借助于這兩種新的內蘊拓撲,本文給出半連續格上半基的若干等價刻畫,證明在一定條件下,半連續格的半基恰是sρ-拓撲中的稠密集.

§2 預備知識

下面是一些預備知識,大多采自文獻[2,4],未說明的格論和拓撲術語可參考文獻[3].

設(P,≤)是偏序集,其對偶偏序集(P,≥)記作P?.P的子集全體記作2P或P(P).設A ?P,記↓A={y ∈P|?x ∈A,y≤x},↑A={y ∈P|?x ∈A,x≤y}.特別地,記↓{x}=↓x及↑{x}=↑x.當A=↓A(A=↑A)時稱A是下集(上集).

偏序集P的以{P ↑x|x ∈P}為開子基形成的拓撲稱為下拓撲,記為ω(P),對偶地,P的以{P ↓x|x ∈P}為開子基形成的拓撲稱為上拓撲,記為ν(P).

定義2.1設L是格,I ?L是理想.若對任意x,y,z ∈L,當x ∧y ∈I,x ∧z ∈I時,有x ∧(y ∨z)∈I,則稱I是格L的半素理想.用Rd(L)表示L的全體半素理想之集.

定義2.2(1) 設L是完備格,x,y ∈L.若對任意I ∈Rd(L),當y≤?I時,有x ∈I,則稱x ?y.當x ?x時,稱x為半緊元.記L的全體半緊元為Ks(L).對任意x ∈L,記

(2) 設L是完備格.若對任意x ∈L,有x≤(?x),則稱L為半連續格.

注2.3設L是完備格,?為L上的way-below關系,則

(1)???;

(2) 對任意x ∈L,?x是L的半素理想;

(3) 對任意x,y,u,v ∈L,若u≤x ?y≤v,則u ?v.

引理2.4(見[4]) 設L是半連續格.對任意x,y ∈L,若x ?y,則存在z ∈L使x ?z ?y.

定義2.5(見[5,7]) 設L是完備格,U ?L.

(1) 若U=↑U且對任意I ∈Rd(L),當supI ∈U時,有I ∩U?,則稱U為L的半Scott開集.半Scott開集的補集稱為半Scott閉集.易證L上全體半Scott開集構成一拓撲,稱為半Scott拓撲,記為σs(L),L上全體半Scott閉集記為

(2) 若U ∈σs(L)且U=∪{?x|x ∈U},則稱U為L的強半Scott開集.強半Scott開集的補集稱為強半Scott閉集.易證L上全體強半Scott開集構成一拓撲,稱為強半Scott拓撲,記為σss(L),L上全體強半Scott閉集記為

命題2.6(見[5,7]) 設L是完備格,則

(1)F ?L是半Scott閉集當且僅當F=↓F且?I ∈Rd(L),當I ?F時有?I ∈F;

(2)?x ∈L,↓x ∈

(3)U ∈σss(L)當且僅當U=∪{?x|x ∈U}.

引理2.7(見[5]) 設L是半連續格,U ?L.

(1) 對任意x ∈L,?x ∈σs(L);

(2) 若U ∈σs(L),則U ?∪{?y|y ∈U}.

定義2.8(見[8]) 設L是完備格,B ?L.若對任意x ∈L,有↓(?x ∩B)∈Rd(L)且x≤?(?x ∩B),則稱B為L的一個半基.

易見一個完備格是半連續格當且僅當它有一個半基.

引理2.9(見[8]) 設L是半連續格,B ?L.對于條件

(1)B是L的半基;

(2) 任意x,y ∈L,當y ?x時,存在b ∈B使y≤b ?x;

(3) 任意x,y ∈L,當y ?x時,存在b ∈B使y ?b ?x

有(1)?(2)?(3).若L還滿足條件??≤,則上述三條件等價.

§3 se-拓撲

命題3.2設L是完備格.對任意A,B ∈2L及任意{Aα}α∈Γ?2L有下列結論.

證由定義3.1可直接驗證.

定義3.3設L是完備格,A ?L.若?A ?A,則稱A是L的se-開集.se-開集的補集稱為se-閉集.

命題3.4設L是完備格.則

(1)L上的全體se-開集構成一拓撲,稱為se-拓撲,記為進一步,任意一族se-開集的交是se-開集;

(2) 集族{{x}∪?x|x ∈L}是的一個拓撲基;

(3) 集F ?L是se-閉集當且僅當?F ?F;

(4) 對任意A ∈2L,?A是se-開集,?A是se-閉集.

(4) 由(3),定義3.3和命題3.2(5)可得.

注3.5根據命題3.4(1),完備格L上的se-拓撲是一個Alexandrov拓撲.從而容易證明,?)是一個代數格.

例如對單位閉區間L=[0,1],其上的se-拓撲就是以集族{[0,b]|b ∈[0,1]}作為拓撲基所生成,即由[0,1]上全體下集形成的拓撲.

命題3.6設L,M是完備格,f:L →M是單射.則f保關系?當且僅當f:(L,(L))→(M,(M))連續且對任意k ∈Ks(L),有f(k)∈Ks(M).

命題3.7設L是完備格.則對任意A ∈2L,有

證(1) 根據命題3.2,?(A ∪?A)=?A ∪?(?A)=?A ?(A ∪?A).故由命題3.4(3)知A ∪?A是se-閉集.設F是任一se-閉集且滿足A ?F.由命題3.2(3)和命題3.4(3)可得?A ??F ?F.從而有A ∪?A ?F.這說明(A)=A ∪?A.

命題3.8對半連續格L,(L,(L))是T1空間當且僅當對任意x,y ∈L,x ?y蘊含x=y.

拓撲空間(X,τ)稱為C-空間,若對任意x ∈X及任意x的開鄰域U,存在y ∈U及V ∈τ使x ∈V ?sat({y})?U,其中sat({y})=∩{U ∈τ|y ∈U}.

命題3.9任一Alexandrov空間(X,τ)都是C-空間,特別對完備格L,(L,(L))是C-空間.

證對任意x ∈X,設x的所有開鄰域之交為最小開鄰域V.則對x的開鄰域U,有x ∈V ?U且V=sat({x}).故(X,τ)是C-空間.又由注3.5得(L,(L))是C-空間.

引理3.10設L是半連續格.則任意A ∈2L,?(?A)=?A,?(?A)=?A.

證由引理2.4和命題3.2(5)可得.

下一定理利用se-拓撲可獲得半連續格上半基的性質和刻畫.

定理3.11設L是半連續格,B ?L.則對于條件

(1)B是L的半基;

(2) 對任意x ∈L,?(?x ∩B)=?x;

(3) 對任意A ?L,?(?A ∩B)=?A;

(4) 對任意se-閉集F,?(F ∩B)=?F;

(5) 對任意A ?L,(?A ∩B)=?A;

(6) 對任意U ∈σss(L)及任意G ∈(L),若U ∩G?,則U ∩G ∩B?有(1)?(2)?(3)?(4)?(5)?(6).若L還滿足條件??≤,則上述條件等價.

證(1)=?(2) 根據命題3.2和命題3.4,對任意x ∈L,?(?x ∩B)??(?x)??x.設y ∈?x.根據L的半連續性及引理2.9,存在b ∈B使x ?b ?y.這說明y ∈?(?x ∩B),即?x ??(?x ∩B).從而有?(?x ∩B)=?x.

(2)=?(3) 設A ?L.根據(2)和命題3.2(2)可得

(3)=?(2) 平凡.

(3)=?(4) 設F ?L是se-閉集.由命題3.4(3)得F=?F ∪(F?F).由(3)和命題3.2(2)可得

(4)=?(5) 設A ?L.根據(4),命題3.4(4)和引理3.10可得?(?A ∩B)=?(?A)=?A.由命題3.7(1)知

§4 sρ-拓撲

定義4.1完備格L上的強半Scott拓撲和se-拓撲的共同的加細稱為L上的sρ-拓撲,記為ρs(L),即ρs(L)=σss(L)∨(L)為以開子基σss(L)∪(L)生成的拓撲.

例如對單位閉區間L=[0,1],由注3.5及定義4.1知其上的sρ-拓撲就是以集族{(a,b]|a,b ∈[0,1],a

易見完備格L中任一強半Scott開集是sρ-拓撲ρs(L)中的既開又閉集.

命題4.2設L是半連續格.則Bρ={?x ∩({y}∪?y)|x,y ∈L}是ρs(L) 的一個拓撲基.

命題4.4設L是半連續格.

(1) 若上集U是ρs(L)-開集,則U是半Scott開集;

(2) 若W ∈ρs(L),則↑W ∈σs(L);

(3) 對任意x ∈L,若{x}是ρs(L)-開集,則x ∈Ks(L);

(4) 對任意ρs(L)-閉集F,若I ∈Rd(L)且I ?F,則?I ∈F.

證(1)設U=↑U是ρs(L)-開集.則由命題4.2,對任意t ∈U,存在x,y ∈L使t ∈?x∩({y}∪?y).故t ∈↑(?x ∩({y}∪?y))?↑U=U.于是根據引理4.3 得↑(?x ∩({y}∪?y))∈σs(L).從而由t的任意性知U是半Scott開集.

(2) 設W ∈ρs(L).對任意t ∈↑W,存在a ∈W使a≤t.根據L的半連續性和命題4.2,存在x,y ∈L使a ∈?x ∩({y}∪?y)?W,從而t ∈↑a ?↑(?x ∩({y}∪?y))?↑W.由引理4.3知↑(?x ∩({y}∪?y))是半Scott開集.從而根據t的任意性可得↑W ∈σs(L).

(3) 設x ∈L.若{x}是ρs(L)-開集,則由(2)得↑x是半Scott開集.從而x ?x ∈Ks(L).

(4) 設I是含于一ρs(L)-閉集F中的半素理想.假設t=?I/∈F.則t=?I ∈LF.根據命題4.2知存在x,y ∈L使t ∈?x ∩({y}∪?y)?LF.故由引理2.4知存在z ∈L使x ?z ?t ∈{y}∪?y.于是z ∈I ∩(LF),這與I ?F矛盾! 從而?I ∈F.

命題4.5設L是半連續格,B ?L.則對于條件

(1)B是L的半基;(2)B是ρs(L)稠密集

有(1)?(2).若L還滿足條件??≤,則(1)?(2).

證(1)=?(2) 由定理3.11(6)和命題4.2知當B是L的半基時,B與ρs(L)的任意非空基元?x ∩({y}∪?y)的交非空,從而B是ρs(L)稠密集.

(2)=?(1) 當B是ρs(L)稠密集時,任給x ?y,由引理2.4知存在s,t ∈L使x ?s ?t ?y.可見?s ∩({t}∪?t)是ρs(L)的非空基元,故存在b ∈B使b ∈?s ∩({t}∪?t),這說明x ?b ?y.若L滿足條件??≤,則由引理2.9得B為L的半基.

定理4.6設L是半連續格,B ?L.則對于條件

(1)L有可數半基;(2)ρs(L)是可分的;(3)σss(L)是第二可數的有(1)?(2)和(1)?(3).若L還滿足條件??≤,則(1)?(2)?(3).

證(1)=?(2) 由命題4.5可得.

(2)=?(1) 設L滿足條件??≤.則由命題4.5可得.

(1)=?(3) 設L有一個可數半基B,則由命題2.6(3),引理2.9和引理3.10可知{?b|b ∈B}是空間(L,σss(L))的可數基,故σss(L)是第二可數的.

(3)=?(1) 設L滿足條件??≤.若(L,σss(L))有可數基B,則B×B可數.令

則A可數.?α=(U1,U2)∈A,取定bα ∈L使U2??bα ?↑bα ?U1.令B={bα|α ∈A},顯然B是可數集.下面只需證B是L的半基.為此,設x ?y,則y ∈?x ∈σss(L).由命題2.6(3),引理3.10及B是(L,σss(L))的基知存在V1∈B使y ∈V1??x.于是存在t ∈V1使

再由B為σss(L)的基知存在V2∈B使y ∈V2??t ?↑t ?V1??x.令β=(V1,V2),則由A的定義得β ∈A且y ∈V2??bβ ?↑bβ ?V1??x.由此得x ?bβ ?y.從而由引理2.9得B為L的半基.