高中數學實驗課型的研究與實踐

閔長江

當前，對于數學實驗的研究與實踐主要體現在兩個層面。

第一層面，是基于模擬環境下的數學實驗。數學實驗作為高等院校的一門課程，是我國高等教育面向21世紀的改革舉措，是基于“高等數學”“線性代數”“概率論與數理統計”等理論知識、數學建模與計算機應用三者的融合，有利于培養大學生編程與數值計算等能力。 在高中數學教學中，也有一些研究與實踐。

第二層面，是基于真實場景下的數學實驗。數學實驗作為高中數學課堂的一種教學形式，是為解決特定的數學問題，驗證特定的數學假設，在真實的場景下，采用實驗的方式進行的數學探究活動。本文所提及的“高中數學實驗”屬于這一界定范疇。

本文基于現行高中數學教材中概率章節的兩個數學實驗案例，對數學實驗課型的界定、實施與評價進行了詳細的論述。

一、數學實驗課型的研究

筆者在教學實踐中，不斷挖掘現行教材中可供實驗的素材，實行數學實驗課型的行動研究。數學實驗課型，是指為更有效地達成教學目標，把實驗活動融入數學課堂，在限定的時間和空間內進行實驗活動而形成的一種特有的數學教學形式。數學實驗課如同物理、化學、生物實驗課一樣，學生通過演示、操作、觀察、思辨等一系列的過程，完成相應的認知活動。

（一）課型劃分

以實驗的類型為依據，結合已有的研究成果，本文將數學實驗課劃分為“驗證型”和“探索型”兩種。 拋擲硬幣實驗是典型的驗證型實驗，因為對于質地均勻的硬幣，其正面朝上與反面朝上的機會是均等的，學生容易預測出實驗的最終結果。事實表明，幾乎全部的實驗小組都在實驗之前預測正面朝上的頻數為50。那么，真實的情況到底是不是這樣呢？需要檢驗?？梢?，實驗本身就是一個富有期待的驗證過程。而拋灑圖釘實驗則是鮮明的探索型實驗。對于質地不均勻的圖釘，學生就沒有了預判力。事實也恰恰表明，各個小組預測的釘尖朝上的頻數結果相差甚遠。于是，此實驗就具有了強烈的探索意味。

（二）課型結構

數學實驗課的設計可以分為實驗準備、實驗操作、統計分析和實驗成果四個環節。其中，實驗操作是核心，具有實操性，它是統計分析和實驗成果的認知基礎，而實驗成果是基于實驗操作以及統計分析的理論提升。 努力做到“實驗操作有信度，理論提升有高度”，四個環節之間的關系是遞進的、相輔相成的和不可或缺的。一節數學實驗課如果呈現的僅僅是實驗操作環節，顯然是有瑕疵的。

二、數學實驗課型的教學案例

以下結合兩個案例，探討一下高中數學實驗課的實施與評價。

（一）拋擲硬幣實驗

1.實驗準備。（1）同桌兩位學生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個方形的實驗平臺。（2）兩位學生相對而坐，并填寫《實驗記錄單》中的信息。（3）實驗預測：拋擲100次硬幣，正面朝上的頻數是。

2.實驗操作。（1）學生甲在桌面上方拋擲一枚硬幣，讓硬幣做自由落體運動掉落到桌面上。（2）學生乙在《實驗數據表》中，用“正字法”記錄正面朝上的頻數。

3.統計分析。將《實驗數據表》中正面朝上的總頻數報給科代表。

（二）拋灑圖釘實驗

1．實驗準備。（1）同桌兩位學生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個方形的實驗平臺。為防止圖釘蹦跳落地，沿平臺的四周用書或文具等圍成一個封閉的區域。（2）兩位學生相對而坐，并填寫《實驗記錄單》中的信息項目。（3）實驗預測：拋擲100次圖釘，估計正面朝上的頻數是。

2.實驗操作。（1）學生甲在桌面上方適當的高度（30厘米左右）拋灑圖釘。在每次拋灑實驗中，要求學生手里放10枚圖釘，一次性拋灑或者讓圖釘陸續從手中滑落，掉落到桌面上。（2）學生乙在每次實驗后，將釘尖朝上的個數填寫到《實驗數據表》中。

3.統計分析：將《實驗數據表》中正面朝上的總頻數報給科代表。

（三）關于兩個實驗的幾點說明

1.合作小組的劃分。班額以50人為例，同桌的兩位學生組成合作小組，共分為25個小組。

2.實驗器材的準備。（1）拋擲硬幣實驗：準備硬幣，面值不限，每組1枚備用。（2）拋灑圖釘實驗：準備圖釘，每組10個圖釘備用。

3.影響實驗結果的因素分析。（1）平臺質地因素。研究表明，當平臺的質地比較光滑且硬質時，硬幣和圖釘都能夠充分地碰撞、彈跳，滿足實驗的隨機性要求。但當平臺的質地比較松軟時，就不能滿足實驗的場地環境要求。（2）器材選擇因素。研究表明，硬幣的材質、面值的選擇對實驗的結果沒有影響。但圖釘實驗就不同，不同功能、不同品牌的圖釘形狀各異，所得到的實驗數據客觀上就會有差別。因此，同一實驗必須采用同一種品牌的圖釘，并且在數據表中需要注明圖釘的相關信息。比如，本實驗所使用的圖釘是上海圖釘廠生產的四方牌121型圖釘。（3）拋擲方式因素。為了體現實驗的隨機性，讓硬幣、圖釘有充分的碰撞、彈跳的過程，要求拋擲的高度不能過低，可結合實驗環境的實際確定。若在課室內以課桌為實驗平臺，一般拋擲的高度以30～40厘米為宜。另外，硬幣還可以采取高拋旋轉的方式。

4.時間規劃。數學實驗課的每個環節可以進一步優化時間。實踐表明，前三個環節可以在20分鐘以內完成。再進行后續的實驗成果的總結，時間就比較可控了。特別是，在下課前的2～3分鐘，還要進行硬幣（或圖釘）與《實驗報告單》的收集。

5.安全事宜。每次進行實驗設計時，必須考慮安全問題。像圖釘這一類器材，有一定的危險性，為了避免扎傷學生，在實驗后及時回收，不可忽視。

三、數學實驗的反思與評價

（一）數學實驗符合學生的認知規律

感性認識是認識的來源，是理性認識的基礎。 正如波利亞所說：“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！睂τ趯W生來說，觀察、體驗、參與、從活動中獲得直接經驗是不可逾越的階段。但反思我們的教學，往往是把很多直接經驗尚且不足的學生，硬生生地拽到理論概括階段，導致學生的認知懵懂，催生分化。而數學實驗恰恰可以為學生的感性認識提供時間和空間，促進學生由感性認識轉向理性認識。

（二）數學實驗蘊含合作學習

組織學生進行實驗探究是數學教師的重要教學行為。數學實驗不僅豐富了學生的實踐活動，而且為開展數學探究教學提供了一種有效途徑。不僅豐富了感性認知，更重要的是感受到了合作的愜意。在分工合作的同時，還可以互換角色，每位學生都能完整地經歷實驗的全過程，充分發揮學生的主體性和教師的主導性。另外，學生還可以在自評、互評以及教師的綜合評價中學會反思、收獲友誼和快樂成長。

（三）數學實驗要基于教材，立足課堂

首先，數學實驗要源于教材。從教材中挖掘素材，不斷充實數學實驗內容。據統計，在教材的第十章《概率》的章節中，以拋硬幣、擲骰子、摸球為背景的舉例說明、探究活動、例題、練習、習題累計有45處之多，幾乎貫穿章節的始終?？梢?，硬幣、骰子、球是展示隨機現象的既簡單又重要的概率模型，這啟發教師應當充分利用好這些素材，發揮它們對知識的承載作用。 其次，數學實驗應當基于教學的需要。要體現數學實驗的必要性，不能為了“實驗”而實驗，不能讓數學實驗成為課程的附屬品。第三，數學實驗是一種教學形式，應當根植于課堂這個主陣地，盡量不要額外占用時間和空間，這就需要教師合理地規劃時間，高效地開展實驗活動，讓數學實驗由“塞入”“加入”“嵌入”，過渡到“整合”，逐步向“融合”邁進。

（四）加強思辨，培養學生的學科素養

教師可以抓住實驗中隨機出現的一些現象，讓學生充分感知，引導他們進行思辨。以拋擲硬幣為例，在實驗開始之前，讓學生預測：實驗100次，硬幣正面朝上的頻數是多少？在實驗結束后，可以隨機調查幾個小組的預測數據，體會實際與預想的差距。在實驗過程中也可能會出現幾次、十幾次，甚至更多次的連續正面朝上的現象，而不是想象的那種正面朝上和反面朝上交替出現，讓學生懂得這些現象在實驗過程中都是客觀存在的。

在統計分析環節，教師利用Excel軟件預制好《實驗數據與頻率統計表》和《頻率折線圖》，投放到白板上。在統計分析環節，由各小組報出正面朝上的頻數，由科代表錄入數據。在屏幕上，每錄入一組數據，統計表就會自動運算，同時，頻率折線圖也隨之有了動態改變。然后，教師引導學生結合統計表的數據和頻率折線圖的走勢進行思辨。當實驗的頻數較少時，頻率呈現不夠穩定的態勢，上下振蕩，振幅比較寬。而當實驗頻數足夠多時，頻率值基本在0.46至0.48之間振蕩，振幅較窄，頻率逐漸呈現出穩定的態勢。通過分析，讓學生懂得頻率的穩定性是建立在大數量級實驗基礎上的概念，從而引導學生較好地理解概率定義的本質。在總結實驗成果環節，教師可以比較直觀地引導學生理解頻率的穩定性，學生會很自然地理解用頻率來估計概率的合理性，從而增強對概念的深度認知，完成從感性認識到理性認識的過渡。

四、結束語

數學實驗是一種活動化教學，能很好地激起學生的求知欲和好奇心，激發學生對數學學科的興趣，增強數學表達能力，提高計算能力、數理統計與分析能力。嚴謹的實驗過程操作、客觀的實驗現象觀察、真實的數據統計以及對數學本質的抽象表述等，都在潛移默化地感化學生，不僅提升了學科素養，也培養了實事求是、求真務實的科學態度。

數學實驗教學具有直觀性、情境性、探索性和實踐性，高中采用實驗教學方式不僅可以改變學生的學習方式，促進學生的全面發展，還可以轉變教師的思想觀念。高中數學實驗教學的發展需要廣大一線教師集思廣益，結合高中數學教學實際，在理論研究和實踐課例中找到符合現實需求的教學策略，為高中數學實驗課程實施開辟廣闊的道路，這對推進高中數學以及基礎數學教學都具有開創性意義。

責任編輯 羅 峰