探尋正確路徑 提升核心素養

杜纓

【摘 要】路徑依賴是經濟學領域的研究成果，該原理不僅可以應用于經濟學領域，也可以應用在數學教學中。教師可以運用“路徑依賴”原理對《數學廣角——找次品》一課進行知識的梳理和學生起點的分析，依此重新確立教學目標，并將探尋正確路徑作為教學活動的重心。在教學實踐中，具體可通過“首探路徑、再探路徑、明確路徑”三個教學環節，實現教學效果最大化，促進學生核心素養的提升。

【關鍵詞】路徑依賴；找次品；自我強化

美國經濟學家、歷史學家道格拉斯·諾斯在《經濟史中的結構與變遷》一書中提出了“路徑依賴”原理，在經濟領域成功地解釋了全球或一個國家經濟制度的變遷過程?！奥窂揭蕾嚒鳖愃朴谖锢韺W中的慣性，即事物一旦進入某一路徑，就可能對這種路徑產生依賴?！奥窂揭蕾嚒痹聿粌H可以應用在經濟學領域，也可以應用在數學教學中，其實質是一個不斷進行強化的過程。為此，筆者試圖依據“路徑依賴”原理，以《數學廣角——找次品》一課的教學為例進行課堂教學探索。

一、試析“路徑依賴”原理在教學中的適用性

（一）對照“路徑依賴”原理，梳理本位知識

“路徑依賴”原理強調，一旦進入了某種選擇，就可能會對這種選擇產生依賴。因此，教師在第一次教學時就必須讓學生進入正確的路徑。這就要求教師全面把握本位知識，準確理解教材內容，幫助學生建立起結構化的數學知識體系。

“找次品”問題是一類經典數學問題。它可以細分為許多類型，有的類型解決起來相當復雜。教材選擇了比較簡單的一類作為例題，例如：有n個從外表看完全相同的零件，其中1個是次品，次品比合格品重（或輕）一些。假如用天平稱（不用砝碼），最少稱幾次就能保證找出這個次品？

對于這一問題，一般解決方法是“把這n個零件盡可能平均分成三份”。這是由天平的特點決定的。因為天平有兩個托盤，所以次品所在的位置無外乎三個地方，即兩個托盤上或天平外，只要用天平稱1次就能確定次品在三個位置中的哪一個。而要使稱量的次數最少，就應在每次稱量后，把次品確定在更小的范圍內。要做到這一點，就應盡量使三份零件的個數同樣多。這樣，不管次品在三個位置中的哪一個位置，問題都能轉化為“從總數的三分之一（左右）里找次品”。下面對三種情況進行具體分析。

（1）當物品數量是3 的倍數時，可以分成（m，m，m），天平兩邊分別放m個，稱1次。無論是否平衡，都排除2m個，所以稱1次可以排除2m個物品。

（2）當物品數量比3倍多1時，可以分成（m，m，m+1），天平兩邊分別放m個，稱1次。如果平衡，排除2m個；如果不平衡，排除2m+1個。所以稱1次至少排除2m個物品。

（3）當物品數量比3倍多2個時，可以分成（m，m+1，m+1），天平兩邊分別放m+1個，稱1次。如果平衡，排除2m+2個；如果不平衡，排除2m+1個。所以稱1次至少排除2m+1個物品。

（二）結合“路徑依賴”原理，分析學習起點

依據“路徑依賴”原理，學習起點是教學的關鍵。教師只有在真正掌握學情的基礎上進行教學設計，才能為學生有效地建構起正確的學習路徑。為此，筆者對70名學生進行了前測，以了解學生的學習起點，具體內容如下。

1.調查學生的邏輯思維能力

【測試題目1】小紅、小白和小黑三只兔子賽跑。小紅說：“我跑得不是最快的，但比小黑快?！闭埬阏f說，誰跑得最快？誰跑得最慢？請寫出你的想法。

70名學生中，只有3名學生回答錯誤，說明大多數學生已經具備了初步的邏輯思維能力。

2.調查與本課內容相關的推理能力

【測試題目2】有3瓶從外表看完全一樣的口香糖，其中有一瓶口香糖是少1片的（稱為次品）。如果有一架天平，你能用最少的次數將次品找出來嗎？請寫出或者畫出你的想法。

70名學生中，認為要稱3次的有4人，約占5.71%；認為要稱2次的有17人，約占24.29%；認為要稱1次的有26人，約占37.14%；認為稱其他次數（含沒有結論）的有23人，約占32.86%。從調查的情況看，學生出現了四種不同的結果，其中認為稱1次就能完成的學生，約占總人數的三分之一（這些學生能清晰地將自己稱的過程表征出來）。約62.86%的學生不能自然想到“在天平上稱1次就能確定次品在三個位置中的哪一個地方”，這種現象說明了進行教學引導的必要性。因此，教師在教學中要關注學生的學習起點，由簡單到復雜，由特殊到一般，讓學生在比較、猜想、驗證的活動中逐步感悟、總結和提煉。

3.分析學生思維過程中的表征方式

分析測試題目2的學生作品發現，學生已經具備了將自己的思維過程表達出來的能力，并呈現出多種表征方式，主要有三種：畫圖、文字說明、畫圖+文字說明。其中，文字說明的方式最能清楚地表達出思維過程，使用的人最多，認為“稱1次就找到次品”的學生中有18人運用的是文字說明方法，這說明學生具備了用語言表達思維活動的能力，為開展課堂教學做好了鋪墊。

（三）依據“路徑依賴”原理，確立教學目標

確定學習路徑和進行強化是“路徑依賴”的兩大核心。對于找次品問題的教學，如果教師只是簡單地告知學生結論和方法，而沒有讓學生經歷尋找正確路徑的過程，學生將會缺失數學素養，不利于其長足發展?；谝陨纤伎?，筆者將本課的教學目標定位為以下三點：

1.知識目標。通過觀察猜測、實物操作、推理思考等活動，掌握找次品的最優方法，并歸納出解決這類問題的最優分組策略。

2.能力目標。經歷由多樣化到優化的思維過程，理解最少次數是如何得出的，在歸納解決問題方法的過程中，積累探尋經驗，培養表征思維過程和解決問題的能力。

3.情感、態度、價值觀目標。感受數學在生活中的廣泛應用，能用學到的數學思想和方法解決生活中的實際問題。

此外，確立本課的教學重點：找到優化的方法，體會“三分法”的優勢。

二、教學實踐過程

（一）首探路徑，初步感知“三分法”

教師引導學生將物品平均分成三份，然后借用天平進行稱量，從而把問題轉化為“從總數的三分之一（左右）里找次品”。這是最有效的解決問題的方式，也是首選路徑。同時滲透化繁為簡的思想，讓學生從簡單的問題開始研究，找到規律后再來解決復雜的問題。

教師出示題目：有240瓶口香糖，其中有1瓶少2片（輕一些），看作次品。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？

生：數量太大，一下子無法解決。

師：那就從最少的數量開始研究，找到規律后再解決這個問題，那么從幾瓶開始研究比較好呢？

生：2瓶可以直接稱出來，不需要研究。我們就從3瓶開始。

師：你準備怎么稱？

生：當有3瓶口香糖時，天平兩端各放1瓶，如果不平衡，那么輕的是次品；如果平衡，那么天平外的是次品。所以只要稱1次。

師：有時是稱出次品，有時是推算出次品，都只稱1次就夠了，這是為什么？

生：把3瓶口香糖分別放在天平兩端和天平外，次品就在這三個位置中的其中一個位置。如果在天平上，直接就能稱出來；在天平外，就能靠推算得出。

師：也就是說，只要把物品分成三堆，稱1次就能確定次品的位置。

（二）再探路徑，數形結合建立模型

學生經歷了在3個瓶子中找次品后，教師繼續引導學生在5～8個瓶子中找次品，體會“三分”法的優勢：分成三份的目的是縮小次品所在范圍，排除更多數量，使物品不上秤也能作出判斷?；久鞔_了“三分法”路徑后，再讓學生在合作過程中積累找尋策略的經驗。最后引導學生在9個瓶子中找次品，要求學生在找的時候嘗試用語言或實物表達思維過程，并會用流程圖或文字表達稱次品的過程。

師：剛才大家分析得非常清楚。那你們能把在3瓶口香糖中找次品的過程用圖表示出來嗎？請大家在練習紙上試一試。

教師呈現學生作品如下。

師：把3瓶分成3個一份，至少稱1次就能找出次品。那么，如果5瓶、6瓶、7瓶、8瓶口香糖里有1瓶是次品，至少分別稱幾次，就一定能找出次品呢？

教師組織小組活動，學生分小組完成。出示小組活動要求：①請小組長分配任務，完成相應的內容，并填寫表格；②完成表格后，觀察表格，有什么發現？

教師呈現第二小組作品（如表1），進行教學反饋。

師：有5瓶口香糖時，如果天平平衡，外面的1瓶就是次品。這樣不是稱1次就找到次品了么，為什么還要再稱1次？

生：至少幾次，就是說這個次數是保證能找到次品的次數，所以我們要考慮最糟糕的情況。如果最糟糕的情況下都能找到，那么其他情況下也保證能找到了。

師：為什么都用到了“三分法”？

生：天平只有兩個托盤，那么天平兩端和天平外一共是三位置，把物品分別放在這三個位置，次品就在其中一個位置，只要稱1次就能發現次品在哪里。

生：分成三堆，就能把次品所在位置縮小到數量更少的物品堆里。

師：為什么“三分法”中還要盡可能平均分呢？

生：因為盡可能平均分就能讓三堆物品的數量盡可能一樣多，這樣能保證稱1次就把次品所在位置縮小到總數的三分之一的物品堆里。

師：仔細觀察找次品的最后一步，你有什么發現？

生：最后都是在2個或者3個里找出次品。

師：為什么會這樣？

生：在2個或3個物品中找次品是最基本的方法，且只要稱1次就可以找出次品。

師：如果9瓶中有1瓶次品，可以怎么分組呢？為什么？怎樣把稱的過程表達清楚？

（教學過程略）

師：要用最少次數找出次品，就要將物品分成三堆，而且要盡量平均分，最后還要考慮最不利原則。

（三）明確路徑，強化練習加強依賴

有針對性的練習，是對正確路徑進行強化的有效形式。按照“三分法”，對第一次分組專項練習很重要。只有在練習中不斷地自我強化，學生才能形成依賴。通過這樣的反復強化，學生才能在獲得正確“路徑”的基礎上，真正將數學知識內化為數學能力，提升核心素養。

師：如果分別有12瓶、13瓶、29瓶口香糖，其中有1瓶是次品，第一次如何用“三分法”分組？

生：盡可能平均分成3份，12分成（4，4，4），13分成（4，4，5），29分成（9，10，10）。

師：同桌之間隨機報一個數，說說你是怎么分的。

（同桌之間一人報數，一人說分法）

師：如果總瓶數分別是3的倍數、3的倍數多1、3的倍數多2，第一次分組時你會怎么分呢？

生：總瓶數是3的倍數時剛好平均分成（ɑ，ɑ，ɑ）；總瓶數是3的倍數多1時可以分成（ɑ，ɑ，ɑ+1）；總瓶數是3的倍數多2時可以分成（ɑ，ɑ+1，ɑ+1）。

師：明確了第一次的分法，后面你會繼續分嗎？現在再來試試最開始的問題，240瓶口香糖中有1瓶是次品，最少稱幾次保證找到次品呢？

綜上所述，筆者以《數學廣角——找次品》一課內容為例，運用“路徑依賴”原理，梳理本位知識，分析學生起點，重新確立教學目標，并將“探尋正確路徑”作為教學活動的重心。這樣的探索能使教學效果最大化，從而提高學生的核心素養。

參考文獻：

［1］闕方平.中國票據市場制度變遷［M］.北京：中國金融出版社，2005.

［2］鄭祥旦.“找次品”如何教才不出“次品”［J］.小學數學教師，2019（3）：51-54.

（浙江省杭州新世紀外國語學校）