混合公交系統的票價和服務區域協同優化

郭蓉蓉 劉人銘 余靜財 張 進 李文權,3

(1東南大學交通運輸學院, 南京 211189)

(2丹麥技術大學技術、管理和經濟學院, 哥本哈根 2800)

(3東南大學城市智能交通系統江蘇省重點實驗室, 南京 211189)

公共交通是城市交通發展的重要基礎設施之一,發展公共交通是引領未來城市交通可持續發展的必要措施.按照服務模式和特點,城市公交系統一般被分為固定公交服務(fixed-route transit, FRT) 和需求響應式公交服務 (demand-responsive transit, DRT)兩大類.FRT采用固定的運行模式,而DRT允許車輛偏離固定設置,進而改善乘客可達性[1].DRT服務的優勢在于靈活性[2],但其平均運營成本相較于FRT服務更高[3].因此,為了綜合發揮這2種公交服務的優勢,研究者們采用混合公交系統設計,即將DRT的靈活性與FRT的低成本性相結合.

目前,根據服務范圍的差異,混合公交系統設計主要分為區域型[4-5]和線路型[6]兩大類.在區域型設計的混合系統中,Stein[4]將整個服務區劃分為若干子區域,在各子區域間和子區域內分別運行FRT和DRT,乘客可以在一個子區域內使用DRT到達換乘點后,乘坐FRT前往另一個子區域.Aldaihani等[5]設定一個子區域內的DRT車輛僅在該子區域內運行,并服務該子區域內的所有乘客,不同子區域內的DRT車輛不能跨子區域運行.在線路型設計的混合公交系統中,DRT以FRT線路為基準線,并與 FRT運行前進方向相同.Chen等[6]將線路型混合公交系統稱為需求適應式雙線混合公交系統(demand adaptive paired-line hybrid transit, DAPL-HT),并將 DRT設計成僅為從出發地/目的地到最近換乘站距離超過一定閾值的乘客提供服務.與區域型混合公交系統不同,線路型混合公交系統中的DRT系統可以在整個服務區中運行而不是僅限制在一個子區域,且不能為整個服務區內的所有乘客提供服務.Chen等[7]證實了在多種測試場景下,線路型混合公交系統在運營商和用戶成本方面均優于區域型混合公交系統.

公交票價在各種類型的公交系統中都是公交機構的一個重要設計參數.常用的票價策略包括單一票價[8]、基于距離的票價[9]、基于時間的票價[10]、基于服務的票價[11]及分段票價[12]等.現有關于公交定價的研究主要集中在FRT的定價上,對DRT的定價[13]研究較少,針對混合交通系統中關于DRT的定價研究更是鮮有報道.由于DAPL-HT系統中涉及不同類型的公交車,因此在制定票價策略時應考慮乘客乘坐的不同公交服務.在給定的票價策略下,確定最優公交票價的常用方法包括雙層規劃[12]、混合整數非線性規劃(MINP)[10]、混合整數線性規劃(MINP)[14]、非線性規劃(NLP)[8]、線性規劃(LP)[15]和連續近似(CA)[16]等.這些規劃模型優化目標一般包含用戶成本、運營商收益和社會福利等,且根據實際需求,可構建單目標或多目標模型.此外,公交票價也可以與其他影響運營商利潤和乘客出行成本的變量同時優化.混合公交系統中,若在乘客距離固定站點較近的情況下仍選擇DRT服務而不是步行到達固定站點乘坐FRT車輛,可能會增加乘客的總出行時長,也可能增加系統的運行成本.因此,僅允許DRT服務于從出發地/目的地到最近固定站點/換乘點的距離超過一定閾值的乘客,起終點在閾值內的乘客需步行到達固定站點或目的地.

為推進發展基于線路的混合公交系統,本文對系統中DRT線路票價和DRT/FRT公交的服務區域進行協同優化.以DAPL-HT系統為研究對象,以用戶成本最小為目標,以運營商非負收益為約束,采用連續近似和非線性規劃方法同時優化DRT票價和整個服務區域中FRT/DRT的服務區域.研究結果可為混合公交系統的運行和管理提供科學依據和理論支撐,促進建立高品質的城市公交系統.

1 系統描述

本文采用線性走廊來模擬近似的道路網絡[17].如圖1所示,整個服務區長度為D,寬度為2s.服務于矩形區域的DAPL-HT系統由FRT和DRT組成.其中,FRT為基準路線,線路長度為D,做直線往返運行;而DRT以FRT線路為基準路線,根據研究區域內的用戶需求,在臨時站點接載乘客,車輛被允許偏離基準路線的最大距離為s.整個研究區域被劃分為n個方形子區域,對應n個站點,nk為第k個子區域的固定站點.相鄰車站之間的距離為2s,因此n=D/(2s).令DAPL-HT系統中FRT和DRT的車頭時距分別為H1和H2,公交車輛的平均行駛速度為vb.

DAPL-HT系統僅為起終點離固定站點超過一定距離的乘客服務,該距離閾值為2sβ(β∈(0,1]).若某乘客與固定站點的距離小于該閾值,則無法乘坐DRT車輛,須步行到固定站點乘坐FRT車輛;反之,該乘客可以使用DRT服務.該距離閾值內的區域稱為步行區或FRT服務區域,之外的區域稱為非步行區或DRT服務區域.因此,2種公交服務邊界由參數β和DRT的最大偏移距離s決定.

2 模型構建

2.1 模型假設

基于系統描述,為建立優化模型,提出如下假設:

1) 整個服務區內單位小時單位面積產生的需求密度為λ,乘客的起終點在服務區內是均勻獨立分布的[6].

2) 存在一個控制中心負責收集乘客的請求并實時調度DRT車輛,FRT車輛則按照既定時刻表定點定線運行.

3) 當一輛DRT車輛在第k個子區域內行駛時,控制中心接收并處理來自第k+1子區域的乘客請求(見圖1).第k+1子區域內請求處理完后,DRT車輛將運行至站點nk+1,按照此過程依次處理后續子區域內的需求.

圖1 DAPL-HT示意圖

4) 控制中心根據當前DRT車輛剩余容量,確認其能處理的請求集,將額外請求傳遞給車隊中的下一輛車.若在一個子區域內沒有DRT服務需求,DRT車輛則按照FRT線路運行.

2.2 運營商和用戶成本

2.2.1 車輛運行成本

單位小時內DAPL-HT系統的運營成本取決于總體運行距離和車隊規模[6].公交車的期望運行距離是平均往返距離與相應車頭時距的比值.FRT僅沿直線做橫向往返運行,往返距離為2D,則FRT單位小時內的預期行駛距離d1=2D/H1.DRT車輛每次往返的總距離包括橫向和縱向距離,顯然 DRT車輛運行的橫向距離與FRT車輛的往返距離相同,而縱向距離則取決于服務需求量.本文采用文獻[18]中方法計算縱向距離,單個DRT乘客的期望縱向距離為 2s/3,往返1次沿途產生的乘客人數為2DsλH2,考慮DRT車輛僅接送DRT服務區域產生的乘客需求,設DRT服務區域面積占總區域面積的比例為a2,則DRT單位小時的平均行駛距離d2=2D/H2+4Ds2λa2/3.

公交車車隊規模為單位小時內運行的車輛數.運行DAPL-HT系統所需的車隊包括FRT車隊數量m1和DRT車隊數量m2.設τ1和τ2分別表示FRT和DRT接送乘客的駐站時間.在FRT運行過程中,行駛預期距離d1的時間包括平均行駛時間d1/vb和駐站時間2nτ1/H1[19],則FRT的車隊數量m1=d1/vb+2nτ1/H1.在DRT運行過程中,行駛預期距離d2的時間包括平均行駛時間d2/vb和駐站時間4τ2Dsλa2[6],則DRT的車隊數量m2=d2/vb+4τ2Dsλa2.

綜上可知,單位小時DAPL-HT系統的運行成本為

Zoper=cm(m1+m2)+cd(d1+d2)

(1)

式中,cm和cd分別為公交車行駛時間成本和距離成本.

2.2.2 用戶出行成本

用戶出行成本包括用戶出行時間成本[20]和支付的票價.為計算各成本構成,首先將所有乘客根據不同的車輛服務分為3種類型;然后,分別計算每種乘客類型的用戶成本;最后,采用連續近似法,得到單個乘客的總用戶成本.

在DAPL-HT系統服務區域內出行的乘客,根據其起終點位置和出行服務,可分為以下3種類型:① 起點和終點都在步行區內,出行行程僅乘坐FRT;② 起點/終點位于步行區內,終點/起點位于步行區外,出行行程分別乘坐FRT 和DRT車輛各1次;③ 起點和終點都在非步行區,出行先乘坐DRT換乘FRT再換乘DRT,即乘坐2次DRT和1次FRT.令3類乘客所占比例分別為p1、p2和p3,且p1+p2+p3=1.

基于假設,乘客出行的起終點在整個服務區中均勻分布.乘客的起終點在FRT 和DRT服務區域內的概率即為FRT和DRT服務區域面積占總區域面積的比例a1和a2,可分別由相應區域的面積Anw和Aw近似表示.如圖2所示,當β∈(0,0.5]時,a1=2β2;當β∈(0.5,1]時,a1=1-2(1-β)2.2種情況下均有a2=1-a1.因此,基于乘客類型的劃分標準,3類乘客所占比例分別為

(a) β∈(0,0.5]

(b) β∈(0.5,1]

(2)

p2=a1a2+a2a1

(3)

(4)

步行區邊界越大,使用FRT服務的乘客數量越多,使用DRT服務的乘客數量越少.即β值越大,FRT服務區域面積越大,DRT服務區域面積越小.此外,隨β值的增大,類型1乘客所占比例單調遞增,而類型3乘客所占比例單調遞減,類型2乘客所占比例先增大后減小.

本文設計的系統中僅考慮單條FRT線路和單條DRT線路,不涉及多條FRT線路之間的換乘.為簡化分析,參考文獻[6],暫不考慮FRT與 DRT之間的換乘時間.因此,本文研究的單用戶出行時間成本構成包括平均步行時間、平均等待時間和平均乘車時間.

乘客的平均步行時間根據其步行距離計算.在整個出行過程中,需要步行的路段包括起點至固定站點和固定站點至終點2段.因此,類型 1 乘客有2段步行,類型 2 乘客僅有1段步行,而類型3 乘客無需步行.以圖2所示的2種情況為例,僅考慮第1象限,當β∈(0,0.5]時,平均步行距離是指從步行區的質心到固定站點的距離,該距離可等同于質點到固定站點2個方向的垂直距離之和.以固定站點為坐標軸原點,由于乘客的起終點在服務區內均勻獨立分布,垂直距離可基于步行區的3個頂點坐標得出,因此3類乘客的平均步行時間分別為

E1=8sβ/(3vp)

E2=4sβ/(3vp)
E3=0

式中,vp為乘客的平均步行速度.

當β∈(0.5,1]時,FRT服務區域面積Anw=2s2(1-β)2,DRT服務區域面積Aw=s2-Anw.設第1象限中步行區和非步行區的質心到固定站點的距離分別為lAw和lAnw.基于DRT服務區域3個頂點坐標可直接得出lAnw=2(2sβ+s)/3,并根據對稱性和方形網格質心間接求得lAw=[s(Anw+Aw-AnwlAnw)]/Aw,則3類乘客的平均步行時間為

E1=2lAw/vp

E2=lAw/vp

E3=0

由此可知,單個乘客的平均步行時間為

E=E1p1+E2p2+E3p3

(5)

平均等待時間一般可用1/2車頭時距來近似計算[5-6].對于類型1 乘客,由于其只使用FRT服務,僅在起始的固定站點等待FRT車輛,故平均等待時間W1=H1/2.類型 2乘客分別乘坐FRT車輛和DRT車輛各1次,則其平均等待時間W2=H1/2+H2/2.類型3乘客需要在起始臨時站點乘坐DRT,起始固定站點換乘FRT和終點固定站點換乘DRT,則其平均等待時間W3=H1/2+H2.因此,單個乘客的平均等待時間為

W=W1p1+W2p2+W3p3

(6)

平均乘車時間為平均乘車距離與車輛速度的比值.為計算不同類型乘客的期望乘車距離,需分別計算FRT和DRT車內乘客的平均乘車距離.本文采用文獻[5]方法計算FRT乘客平均乘車距離,將整個矩形服務區分為n個子區域 (見圖1),系統中乘客隨機選擇上下車站點的集合表示為N={(p,q)},p≠q,p,q∈{1,2,…,n},dn為n個子區域集合N的累積距離.因此,FRT車內乘客的平均乘車時間為

(7)

對于DRT乘客平均乘車時間,與計算平均步行時間的方法類似.當β∈(0,0.5]時 ,在DRT服務區域(非步行區)的乘客,起點/終點與固定站點之間的平均縱向距離l=(3s-8sβ3)/[6(1-2β2)];當β∈(0.5,1] 時,平均縱向距離l=(2βs+s)/3.由于DRT運行涉及到偏移距離和乘客數量,無法直接計算,本文假設DRT行程總距離與運行橫向距離的比值ρ=d2H2/(2D)和乘客平均乘車距離與總乘車距離的比值相同.則DRT車內乘客的平均乘車時間為

(8)

同理,參考平均等待時間的分析,3類乘客的平均乘車時間分別為

T1=t1

T2=t1+t2

T3=t1+2t2

因此,平均單個乘客的平均乘車時間為

T=T1p1+T2p2+T3p3

(9)

2.2.3 票價成本

由于DAPL-HT系統中包含2種公交服務,不同類型乘客所選擇的出行路線不同,因此采用單一的票價策略是不合理的.在DAPL-HT系統中,各類乘客選擇乘坐的公交服務頻次不同,考慮公交公益性的前提下,基于服務路線和乘車頻次不同,為3類乘客制定如下票價策略:類型1乘客僅支付FRT基本票價;類型2乘客僅支付DRT基本票價;類型3乘客支付FRT和DRT基本票價.采用連續近似方法,單個乘客的平均票價計算為

F=f1(p1+p3)+f2(p2+p3)

(10)

式中,f1為FRT票價;f2為DRT票價.

2.3 非線性優化模型

本研究旨在確定整個研究區域中2種公交的最佳服務邊界,并為使用混合系統的乘客制定一種票價策略,在考慮運營商收益非負的約束條件的同時,使用戶總成本最小化.根據國內多數城市的普遍設定,對FRT服務采用給定的統一票價;而對于DRT服務,其票價將由優化模型確定.運營商收益是總票價收入和運營成本之間的差額,前者取決于服務的乘客數量和票價,后者由每小時內車輛的運行距離和車隊數量來決定.由于乘客請求是否會被服務受制于DRT服務區域面積的大小,故將服務區域邊界參數β設定為決策變量.在運營商的運行成本中,FRT和DRT的運行距離和車隊數量計算公式均為非線性運算.在用戶的出行成本中, 3類乘客所占比例計算公式為非線性運算,單個乘客的步行、等待、乘車和票價成本均采用連續近似方法得到,故用戶成本計算公式也為非線性運算.基于目標和約束條件,構建非線性優化模型為

minZuser(β,f2)=(γEE+γWW+γTT)ctime+γFF

(11)

s.t.

2λDsF-Zoper≥0

(12)

0<β≤1,fmin≤f2≤fmax

(13)

式中,目標函數Zuser為單個乘客出行總成本;γE、γW、γT、γF分別為乘客步行時間、等待時間、乘車時間和票價成本的指標系數,此處均默認為1;ctime為乘客出行時間時間成本轉換為貨幣價值的時間價值;fmin、fmax分別為票價最低值和最高值.

3 數值實驗

針對涉及不等式約束的非線性規劃問題,通?？刹捎脝l式算法求解,如遺傳算法[7]等.考慮到優化模型中決策變量維度較小,相較于啟發式算法,枚舉法能以較小的增量間隔列舉決策變量的所有可能組合,從而更精確地找出滿足約束條件的最優解.因此,本節運用枚舉法來設計數值實驗,優化模型求解結果,并通過靈敏度實驗進一步分析關鍵輸入參數變化對結果的影響.

3.1 參數設置

在長度D=10 km的線性走廊中運行DAPL-HT系統,國內每小時內公交車的發車頻次一般為6～7輛,因此設定FRT和DRT的車頭時距均為0.15 h.基于國內大多數城市的票價,決策變量DRT票價范圍設定為fmin=2元,fmax=20元.時間價值參數參照地區每小時收入設置,ctime=20元/h.DRT車輛偏離基準線路(FRT線路)的距離一般為0.4～1.2 km,設定s=0.6 km.其他參數參考文獻[6,19]設置如下:需求密度λ=10～100 人/(h·km2),車輛運行速度vb=25 km/h,乘客步行速度vp=5 km/h,FRT駐站時間τ1=12 s,DRT駐站時間τ2=13 s,FRT票價f1=2元,每輛公交車行駛時間成本cm=40元/h,每輛公交車行駛距離成本cd=4元/km.

3.2 優化結果

圖3給出了不同決策變量β和f2組合下的用戶成本和運營商收益.由圖可知,無論是在低需求密度(λ=10 人/(h·km2))還是高需求密度(λ=100 人/(h·km2))下,當β值不變時,3類乘客所占比例不變,隨著DRT票價的增高,用戶成本逐漸增加.隨著β值的增大(即FRT的服務區域面積相較于DRT變大),乘坐低成本固定線路公交的乘客增加,此時較低的DRT票價即可滿足運營商收益非負的約束條件,從而降低了用戶成本.用戶成本隨著β值和票價的增大表現出不同的變化趨勢,呈非單調性變化.

(a) 低需求水平下用戶成本

(b) 高需求水平下用戶成本

(c) 低需求水平下運營商收益

高需求密度下的運營商收益遠大于低需求密度.因此,在低需求水平下,考慮到優化模型的約束條件,需要在所有可能組合中篩選掉運營商收益為負的決策變量組合,將剩余結果中滿足式(11)的決策變量組合作為最優解.當需求密度較高時,所有組合的運營商收益均大于零,模型最優解在最小目標值處獲得.

圖4(a)給出了不同需求密度下2個決策變量的最優組合.由圖可知,最優DRT票價值隨乘客需求密度的增加逐漸減少,而DAPL-HT中FRT和DRT的服務區域邊界參數β受需求密度變化的影響較小,約為0.65.由圖4(b)可知,由于乘坐DRT的乘客所占比例變化較小,在收益約束的影響下,當需求水平較低時,運營商必須設定較高的DRT票價以保證非負的運營商收益.反之,隨著需求密度的增大,當需求水平大于一定值時(如λ≥80 人/(h·km2)),即使運營商收取最低的DRT票價,總票價收入也能覆蓋運營成本,從而實現正收入.對乘客而言,隨著需求密度的增大,DRT票價降低,總用戶成本隨之減少.

(a) DRT票價和服務區域邊界參數

(b) 用戶成本和運營商收益

3.3 靈敏度分析

圖5給出了不同時間價值下的最優結果對比.由圖可知,需求密度較低時,DRT票價隨時間價值的增大而減小;需求密度較高時,DRT票價已經降為最低值,不再受時間價值變化的影響.較高的時間價值會降低DAPL-HT中2種公交的服務區域邊界參數β.當ctime=20 元/h時,β≈0.65,DRT服務區域面積占總區域面積的24.5%;當ctime=40元/h時,β≈0.60.DRT服務區域面積占總區域面積的比例增加到32.0%,同時類型1和類型2 乘客所占比例也相應增加.用戶成本隨時間價值的增大而顯著增大,這是因為時間價值直接影響了乘客的出行時間成本.

(a) DRT票價

(b) 2種公交服務區域邊界參數

(c) 用戶成本

圖6給出了不同DRT最大偏移距離s下的最優結果對比.由圖可知,在同一需求水平下,隨DRT最大偏移距離的增大,DRT票價逐漸減小,而DAPL-HT中2種公交的服務區域邊界參數變化較小.當s=0.6,0.9,1.2 km時,相比最低需求水平,最高需求水平下的用戶成本分別減少11.36、6.98、4.69元,分別降低52.6%、36.9%、25.3%.由此表明,DRT最大偏移距離越小,用戶成本隨需求密度增加而下降的速度越快.因此,在較低的需求水平下,可能會存在一個最優的DRT最大偏移距離,使得用戶成本最小化.本算例中,當λ=20 人/(h·km2)時,DRT最大偏移距離最優值為0.9 km,其對應最小的用戶成本為14.77元,DRT票價為8.2元,DAPL-HT中2種公交的最佳服務區域邊界參數β=0.61,DRT、FRT服務區域面積分別占總區域面積的30.4%和69.6%.

(a) DRT票價

(b) 兩類公交服務區域邊界參數

(c) 用戶成本

此外,根據圖5和圖6可知,在不同的時間價值和最大偏移距離測試場景下,DAPL-HT中2種公交的服務區域邊界參數β∈(0.54,0.71),均大于0.5;DRT的最佳服務區域面積約占總服務區域面積的16.8%～42.3%,均小于50%.因此,在設計的線性走廊區域中,DRT的最佳服務區域面積均小于FRT.

4 結論

1) 以DAPL-HT系統為研究對象,在設計的線性走廊公交服務區內,以用戶成本最小為目標,以運營商收益非負為約束條件,構建了一個非線性優化模型,協同優化DRT票價和系統中FRT/DRT的服務區域面積, 并設計數值實驗以分析優化模型的特性.

2) 在不同的需求密度條件下,最優DRT票價值隨乘客需求密度的增加而減少, DAPL-HT中FRT和DRT的服務區域邊界參數受需求密度變化的影響較小.

3) 靈敏度分析實驗表明,時間價值對2種公交的服務區域影響較大,當時間價值從20元/h增大到40元/h時,DRT服務區域面積占總區域面積的比例從24.5%增大到32.0%.在不同的DRT最大偏移距離下,低需求密度時需求響應式公交的最大偏移距離與用戶成本成負相關,高需求密度時則相反.此外,在不同的時間價值和最大偏移距離測試場景下,設計線性走廊區域中DRT的最佳服務區域面積約占總區域面積16.8%～42.3%.

4) 建模過程中尚未考慮站間距、出行選擇以及換乘懲罰等因素的影響.因此,下一步研究可以考慮引入更多的相關優化設計參數,分析其對混合公交系統中用戶成本和運營者收益的影響.