考慮扭轉與畸變耦聯影響的薄壁箱梁翹曲效應分析

張元海 馬云亮 劉澤翔

(1蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

(2蘭州交通大學甘肅省道路橋梁與地下工程重點實驗室, 蘭州 730070)

薄壁箱梁廣泛應用于現代橋梁工程中,其在豎向偏心荷載作用下的受力和變形狀態非常復雜,在橫截面上除了縱向彎曲產生的應力(正應力和剪應力)外,還有扭轉、畸變及剪力滯翹曲效應引起的應力,而這些翹曲應力在彎曲應力中的占比往往是相當可觀的,設計中不容忽視.

近年來,國內外許多學者針對薄壁箱梁的剪力滯、約束扭轉及畸變效應開展了大量研究.郭增偉等[1]針對變截面懸臂箱梁,采用推廣的比擬桿法研究其剪力滯效應,并通過參數分析揭示了變截面懸臂箱梁剪力滯效應的特殊性.舒小娟等[2]綜合考慮箱梁全截面剪切變形影響,用Reissner最早提出的能量變分法分析箱梁的剪力滯效應.張元海等[3]考慮箱梁懸臂翼緣板與肋間板的橫向變形差異性影響,提出了基于修正翹曲位移模式的剪力滯效應改進分析方法.張玉元等[4]研究了梗腋對箱梁剪力滯效應的削弱作用.在薄壁箱梁的約束扭轉效應方面,Wang等[5]引入翹曲約束剪切扭轉角作為廣義翹曲位移,建立了約束扭轉控制微分方程并給出初參數解.夏桂云等[6]和文穎等[7]用有限梁段單元分析箱梁的約束扭轉效應,并通過插值函數直接求得翹曲扭矩,從而使剪應力計算大為簡化.Li等[8]用有限梁段單元分析了單箱多室箱梁的約束扭轉效應.為了便于計算約束扭轉翹曲剪應力并克服部分文獻中對剪應力計算的不合理性,張元海等[9]導出了計算約束扭轉翹曲剪應力的2套實用公式,并從理論上論證了2套公式的統一性.在薄壁箱梁的畸變效應方面,Hansen等[10]研究了橫截面的多種可能變形模式,能綜合反映剪切變形、翹曲效應及橫向泊松效應等影響.Ren等[11]分析了偏載作用下布置內橫隔板箱梁的畸變效應,通過在橫隔板與箱梁連接部位引入正交冗余力,充分反映橫隔板與箱梁之間的相互作用.藺鵬臻等[12]借助通用有限元軟件計算了雙線鐵路簡支箱梁在單線活載作用下的畸變效應.張元海等[13]通過在橫截面畸變中心位置定義畸變角,利用能量變分法建立了畸變控制微分方程,并給出了廣義內力和位移的初參數解.Cambronero-Barrientos等[14]用有限梁段單元分析了箱梁的剪力滯、約束扭轉及畸變效應.

綜上所述,目前在薄壁箱梁理論分析方面,主要是針對單一變形狀態進行研究,不便于定量考察剪力滯、約束扭轉及畸變翹曲應力在彎曲應力中的占比情況.此外,將箱梁所受偏心荷載分解為縱向彎曲、剛性扭轉及畸變荷載并分別建立控制微分方程,本質上忽略了各基本變形狀態間的耦聯影響.本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下各基本變形狀態,從而建立控制微分方程,放棄對外荷載的分解而直接表達結構總勢能并應用變分原理,使扭轉與畸變之間客觀存在的耦聯影響得到充分體現.

1 箱梁基本變形狀態描述

本文分析的薄壁箱梁橫截面如圖1所示,O為橫截面形心,x軸為水平形心軸,y軸為豎向對稱軸,z軸沿梁軸方向,且x、y、z軸形成右手坐標系,y0為形心至頂板中面的距離;S和N分別為橫截面扭轉中心和畸變中心,yN為畸變中心N的y坐標;b1和b2分別為頂板和底板的半寬,b3為單側懸臂板寬度,h為梁高,tt、tb和tw分別為頂板、底板和腹板的厚度,α為腹板水平傾角.

圖1 箱梁橫截面及坐標系

箱梁在豎向偏心荷載作用下,橫截面內任一點處的縱向位移w(x,y,z)由4部分組成,即

w(x,y,z)=wb(y,z)+ws(x,y,z)+wt(z,s)+
wd(z,s)=-v′(z)y-f′(z)ωs(x,y)-
β′(z)ωt(s)-γ′(z)ωd(s)

(1)

式中,wb為初等梁的彎曲縱向位移;ws、wt、wd分別為剪力滯、約束扭轉、橫截面畸變引起的縱向翹曲位移;v為初等梁撓度;f為剪力滯附加撓度;β為與扭轉角φ有關的約束扭轉廣義位移;γ為畸變角;ωs、ωt、ωd分別為相應于剪力滯、約束扭轉及畸變的翹曲位移函數;s為沿壁厚中心線的坐標.

剪力滯翹曲位移函數ωs采用文獻[3]建議的修正模式,即

(2)

圖2 剪力滯翹曲位移函數分布示意圖

根據烏曼斯基第二理論,扭轉翹曲位移函數ωt為

(3)

式中,ρS為從扭轉中心S到周邊任一點處切線的垂直距離;t為壁厚;ψ為相應于布雷特剪力流的扭轉函數.

本文將橫截面畸變角γ定義為過畸變中心N的水平線與y軸所形成直角的改變量[13],則畸變翹曲位移函數ωd為

(4)

(5)

式中,xN為橫截面內過畸變中心N的水平線與兩側腹板交點之間距離的1/2;κ為取決于橫截面尺寸的常數.

橫截面內任一點處的畸變豎向撓度vd可通過畸變角γ表達為

(6)

(7)

式中,xw為計算點所在水平線與兩側腹板交點之間距離的1/2.

2 箱梁總勢能

由式(1)可得箱梁相應于縱向正應變的應變能Uε為

(8)

式中,E為彈性模量;Ix為橫截面對x軸的慣性矩;Iωs、Iωt、Iωd分別為相應于剪力滯、約束扭轉及畸變的翹曲慣性矩;Iωtd為反映扭轉與畸變耦聯的慣性矩;l為跨度;F為橫截面面積.

式(8)中各慣性矩的定義式為

相應于剪力滯的剪切應變能Uγs為

(9)

式中,G為剪切模量;Fs為剪力滯剪切面積[3].

與約束扭轉剪應變γt相應的應變能Uγt為

(10)

箱梁畸變時,由頂板、底板及腹板形成的橫向閉合框架的應變能UR為

(11)

式中,K為畸變橫向框架剛度[13].

豎向偏心荷載作用下,箱梁的外力勢能Vp為

(12)

式中,p為分布豎向偏心荷載集度.

由式(8)～(12),可得箱梁總勢能Π為

(13)

3 控制微分方程

對總勢能式(13)進行一階變分運算,可得

(14)

根據能量變分原理,結構在外力作用下處于平衡狀態時,總勢能的一階變分等于零,故由δΠ=0,可得控制微分方程如下:

EIxv″″-p=0

(15)

EIωsf″″-η2GFsf″-p=0

(16)

GIρ(φ″-μβ″)+m=0

(17)

EIωtβ?+EIωtdγ?-GIρμ(β′-φ′)=0

(18)

(19)

方程(15)為縱向彎曲控制微分方程,方程(16)為剪力滯控制微分方程,方程(17)和(18)為約束扭轉控制微分方程,方程(19)為畸變控制微分方程.方程(18)和(19)表明,約束扭轉和畸變之間是耦聯的,耦聯剛度為EIωtd.

約束扭轉控制微分方程(17)和(18)可以進行合并.當m沿跨度呈線性分布時,可得關于扭轉角φ和畸變角γ的耦聯微分方程為

(20)

當忽略約束扭轉與畸變之間的耦聯影響時,即當EIωtd=0時,則約束扭轉微分方程(20)和畸變微分方程(19)就退化為現有文獻中根據偏心荷載分解后推導的簡單形式.

從式(14)中的邊界項可得相應于各廣義位移的廣義力.例如,與扭翹廣義位移-β′相應的扭翹雙力矩Bωt為

Bωt=-EIωtβ″-EIωtdγ″

(21)

與畸翹廣義位移-γ′相應的畸翹雙力矩Bωd為

Bωd=-EIωdγ″-EIωtdβ″

(22)

聯立求解式(21)和式(22),求得β″和γ″后易得扭翹正應力σωt和畸翹正應力σωd的計算公式為

(23)

(24)

扭翹剪應力τωt和畸翹剪應力τωd可通過箱壁微元體的平衡方程進行計算.

(25)

由式(20)和(25)消去γ,可得關于φ的八階微分方程如下:

REφ(8)-μGIBEIωdφ(6)+KEIωtφ(4)-μGIBKφ(2)=μKm

(26)

(27)

式中,C1～C8為積分常數;λ1～λ3為取決于扭轉和畸變幾何特性及材料彈性模量的系數.

再由式(20)和(25)消去γ″″,可得

(28)

將式(27)代入式(28)即可求得畸變角γ.積分常數C1～C8可根據梁端邊界條件確定,本文不再贅述.

4 模型試驗驗證

文獻[15]介紹了一個簡支直線箱梁有機玻璃模型的試驗情況,模型梁跨度l=2 m,橫截面尺寸見圖3.梁端設有橫隔板,其板厚均為6 mm.材料彈性模量為2 943 MPa,泊松比取0.4.豎向偏心集中荷載P=98.1 N作用于跨中截面單側腹板與頂板相交處.共測試l/8、3l/16、5l/16、7l/16、l/2及13l/16六個橫截面處的正應力分布,應力測點具體位置見圖3中①～⑥.試驗詳細情況見文獻[15].

圖3 模型梁橫截面簡圖(單位: mm)

計算表明,考慮扭轉與畸變耦聯的計算結果與傳統方法計算結果相差不大,而計算工作量大增,從實用計算考慮,可略去耦聯影響.將7l/16截面各測點處正應力理論值連同實測值一并列于表1,其中σb為縱向彎曲應力,σs為剪力滯翹曲應力,σωt為扭轉翹曲應力,σωd為畸變翹曲應力,σ為總應力,應力以拉為正、壓為負,應力實測值是在文獻[15]中實測應力分布曲線上按比例量取的.由表1可知,總應力理論計算值與實測值總體上吻合良好.

表1 7l/16截面各測點處正應力比較 kPa

從表1還可以看出:豎向彎曲應力在總應力中占絕對主導地位,剪力滯、約束扭轉及畸變翹曲應力總體上都很小;而在這3種翹曲應力中,剪力滯翹曲應力最小,畸變翹曲應力最大;畸變翹曲應力最大值位于腹板與底板交接處,在頂板和懸臂板內都很小;約束扭轉翹曲應力在底板內很小,其最大值位于懸臂板自由端.

5 算例分析

預應力混凝土簡支箱梁計算跨徑l=30 m,采用C50混凝土,材料彈性模量E=34.5 GPa,剪切模量G=13.8 GPa,僅在梁端設有橫隔板,豎向偏心荷載P=550 kN作用于跨中截面左側腹板頂部,跨中截面尺寸如圖4所示.

圖4 簡支箱梁橫截面(單位: m)

按本文方法求得跨中截面縱向彎曲正應力、各翹曲正應力及總應力分布圖如圖5所示.由圖可見:縱向彎曲正應力占絕對主導地位;由于約束扭轉與橫截面畸變影響,施加偏載一側的腹板比另一側腹板的總應力大很多,兩側腹板與底板交點處的總應力相差最為懸殊,相差達1.24倍,即(4 076.84-1 818.05)/1 818.05=1.24;在腹板與底板交點處,畸變翹曲應力最大,約束扭轉翹曲應力最小.

(a) 縱向彎曲正應力

(b) 剪力滯翹曲正應力

(c) 扭轉翹曲正應力

(d) 畸變翹曲正應力

(e) 總應力

圖6顯示了跨中左截面的剪應力分布圖,圖中用箭頭示出了剪應力方向,剪應力以圍繞周邊逆時針方向為正,順時針為負.

由圖6可以看出:2塊腹板內的總剪應力相差特別顯著,施加偏載一側的腹板內最大剪應力約為另一側腹板內相應剪應力的10倍,而且方向相反;剪力滯翹曲剪應力在腹板內總體上很小,實用計算中可以忽略,但其在底板內靠近兩側處仍相當可觀,最大值甚至超過了腹板內的最大彎曲剪應力,不容忽視;約束扭轉和畸變翹曲剪應力在每塊腹板內都很大,而且方向相同,但由于2塊腹板內的扭轉和畸變翹曲剪應力方向正好相反,故導致腹板內剪應力發生顯著的重分布;畸變翹曲剪應力在底板內最大,其與剪力滯翹曲剪應力一起,使底板內產生較大的總剪應力,可能會導致底板產生貫通的面內斜裂縫,設計中應重視.

(a) 縱向彎曲剪應力

(b) 剪力滯翹曲剪應力

(c) 扭轉翹曲剪應力

(d) 畸變翹曲剪應力

(e) 總應力

為了考察橫截面關鍵點處由剪力滯、約束扭轉及畸變翹曲應力引起的相對于彎曲應力的應力放大系數,表2列出了跨中截面受偏載直接作用的腹板與頂、底板交點處各項正應力大小及其相對于彎曲應力σb的占比情況.

表2 跨中截面加載腹板與翼緣板交點正應力

由表2可知,在加載腹板與底板交點處,畸變翹曲應力為彎曲應力的33.93%,總應力達到彎曲應力的162.86%,即總應力放大系數約為1.63.在加載腹板與頂板交點處,約束扭轉翹曲應力為彎曲應力的18.89%,總應力放大系數約為1.49.

表3列出了跨中左截面受偏載直接作用的腹板在橫截面形心軸處的各項剪應力及其相對于彎曲剪應力的占比情況.其中,τb為縱向彎曲剪應力,τs為剪力滯翹曲剪應力,τωt為約束扭轉翹曲剪應力,τωd為畸變翹曲剪應力,τ為總剪應力.

表3 跨中左截面形心軸處加載腹板的剪應力

由表3可知,在橫截面水平形心軸處,受偏載直接作用的腹板的約束扭轉翹曲剪應力達到彎曲剪應力的78.39%,畸變翹曲剪應力達到彎曲剪應力的60.99%,而總剪應力甚至達彎曲剪應力的254.85%,即總剪應力的放大系數約為2.55,表明約束扭轉和畸變翹曲剪應力對總應力的貢獻非常大.

值得指出的是,在《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》(JTG3362—2018)中,對于單梁模型的應力放大系數計算公式中,只關注箱梁的約束扭轉翹曲應力影響,并未包含畸變翹曲應力,顯然這是偏于不安全的.

6 結論

1) 本文綜合考慮薄壁箱梁在豎向偏載作用下的剪力滯、約束扭轉及畸變翹曲效應影響,放棄外荷載分解的傳統思路,在充分考慮扭轉與畸變耦聯影響的基礎上,用能量變分法建立了控制微分方程,通過對一有機玻璃模型梁的計算表明,本文理論計算結果與模型試驗結果吻合良好,驗證了本文理論分析的正確性.

2) 薄壁箱梁在豎向偏心荷載作用下,縱向彎曲是最主要的變形狀態,畸變和約束扭轉是起主導作用的翹曲變形狀態,剪力滯變形狀態總體上屬于次要的翹曲變形狀態,但剪力滯效應對彎曲正應力的影響仍不可忽略.在底板兩側一定范圍內的剪力滯翹曲剪應力也需引起注意.

3) 本文簡支箱梁算例考慮剪力滯、約束扭轉及畸變翹曲效應影響后,在跨中截面加載腹板與底板交點處的正應力放大系數達到約1.63,在形心軸處腹板的剪應力放大系數達到約2.55,在設計中需引起高度重視.

4) 薄壁箱梁在豎向偏載作用下具有復雜的受力性能,在跨內不設橫隔板的情況下其畸變變形狀態尤為突出,不容忽視.而《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》(JTG3362—2018)在對于單梁模型的應力放大系數計算公式中,只關注箱梁的約束扭轉翹曲應力影響,卻并未包含畸變翹曲應力,這是值得商榷的,也偏于不安全.