Wolter-Ⅰ型X射線聚焦鏡有效面積仿真與實驗

張洪林，楊志韜，王于仨，趙子健，馬佳，侯懂杰，楊雄濤，祝宇軒，楊彥佶，陳勇，汪世杰

（1 哈爾濱理工大學 理學院，哈爾濱 150080）

（2 中國科學院高能物理研究所 粒子天體重點實驗室，北京 100049）

0 引言

X 射線聚焦鏡的有效面積是評估聚焦鏡性能的關鍵指標之一，它主要表現為聚焦鏡收集光子的能力。對于探測器本身，其有效面積等于自身的探測靈敏面積，但是由于宇宙背景輻射的存在和觀測源本身的流強不穩定，單靠探測器的有效面積收集到的光源信息，往往存在很高的背景噪聲，探測靈敏度也很低。在實際的天文觀測中，為了增加探測器的有效面積，收集更多的光子，提高觀測數據的信噪比，會在探測器前裝配聚焦鏡，由于X 射線很難以透射方式聚焦，因此不能用可見光學的透鏡，而掠入射光學系統則得以廣泛應用。

聚焦鏡的有效面積需要經過地面標定與在軌標定，地面標定受光源與聚焦鏡之間的距離限制，入射光具有一定發散角，無法達到與在軌標定相同的平行光入射條件。對于Wolter-Ⅰ型掠入射光學系統，不同的掠入射角度，X 射線的反射率不同，實際集光面積也同樣存在差異，因此地面標定的有效面積也會存在一定的偏差。

地面標定裝置的長度決定著標定結果接近在軌標定的程度，美國航空航天局在為“坎德拉”衛星標定時建造了馬歇爾地面標定裝置［1］（X-ray Calibration Facility，XRCF），該裝置真空管道長500 m，是國際上最長的地面標定裝置。德國馬-普地外物理研究所（Max Planck Institute for Extraterrestrial Physics，MPE）為“能譜-琴倫-伽馬”衛星任務建造了PANTER［2］地面標定裝置，真空管道長130 m。中國科學院高能物理研究所于2012年提出建設百米標定裝置［3］，該裝置主要承載我國第一顆X 射線天文衛星（Hard X-ray Modulation Telescope，HXMT）［4］的測試，以及未來完成我國X 射線標定的相關任務。為了解決地面標定的偏差問題，MPE 對Wolter-Ⅰ型載荷聚焦鏡標定時，采用了分扇區標定［5］的方法，以減小地面標定產生的偏差，這種方法理論上扇區越多越接近在軌標定，但是實際標定時多扇區標定產生的誤差也越大，往往達不到理想中的效果。

針對中國科學院高能物理研究所百米標定裝置產生的有效面積偏差，利用光學仿真軟件建立愛因斯坦探針（Einstein Probe，EP）的后隨載荷聚焦鏡（Follow-up X-ray Telescope，FXT）地面標定和在軌標定模型，選取鋁（1.49 keV）、鈦（4.51 keV）和銅（8.05 keV）三種不同靶材的特征輻射作為X 射線源，分析兩種模型中聚焦鏡的有效面積，并結合地面標定實驗數據推算在軌標定有效面積。不同于以往聚焦鏡的在軌有效面積只能通過在軌運行時進行測量，通過本文研究內容，可以根據地面標定結果計算出在軌時的標定結果，增加聚焦鏡在地面實驗時對其在軌運行性能評估的準確性。對離軸時的有效面積仿真分析與實驗，得出聚焦鏡離軸角度對有效面積的影響結果，從而更直觀地了解地面標定測得的聚焦鏡有效面積和在軌標定時的有效面積之間的關系，并修正地面標定數據。

1 原理

1.1 Wolter-Ⅰ型聚焦鏡原理

Wolter-Ⅰ型聚焦鏡為掠入射X 射線聚焦鏡，鏡片由同軸共焦點的拋物面與雙曲面相接而成，拋物面與雙曲面鏡片的軸向長度相等，X 射線在兩個面的內壁進行兩次反射聚焦成像，如圖1 所示。為了提高同體積下聚焦鏡的有效面積，Wolter-Ⅰ型聚焦鏡一般采用多層嵌套結構，并且廣泛應用于X 射線天文觀測中。

圖1 單層Wolter-Ⅰ型聚焦鏡示意圖Fig.1 Schematic diagram of single-layer Wolter-Ⅰ focusing mirror

平行于聚焦鏡光軸入射的X 射線，先在拋物面鏡片內表面發生第一次反射，反射后的X 射線在雙曲面內表面發生第二次反射，最后X 射線向聚焦鏡焦點位置匯聚。經過兩次鏡面反射，不僅可以減小焦距，還可抑制部分雜散光［7］。

1.2 X 射線反射原理

當X 射線的掠入射角θ小于發生反射時的臨界角θc時可以在介質表面發生反射，根據菲涅爾反射率公式［8］，可以推出X 射線的反射率Rreflectivity的表達式，即

式中，σ為內壁粗糙度；λ為入射X 射線波長；；δ為介質的極化特性系數，β為介質對X 射線的吸收系數，可分別表示為

式中，re為電子的經典半徑；N為原子數密度；e為電子電荷量；Ne為介質中單位體積的自由電子數；me為電子的靜質量；c為真空中的光速；f1和f2為原子散射因子。

2 建立仿真模型

2.1 X 射線源參數

聚焦鏡地面標定測試時，X 射線光源與聚焦鏡距離為103.5 m，選用點光源模擬地面標定使用的X 射線源；聚焦鏡在軌運行時，選用平行光源模擬天體發出的X 射線。光源的參數配置如表1 所示。

表1 光源參數Table1 Light source parameter

ZEMAX 軟件中不提供X 射線光源，仿真中調用每種特征輻射對應的鏡片反射率庫，以此產生與X 射線光源相同的效果。標定測試中采用的X 射線源為多靶源［9］，將選用鋁、鈦和銅三種靶材特征輻射作為X 射線源。

FXT 載荷聚焦鏡采用鎳鍍金工藝［10］，X 射線入射在鏡片上的金膜表面并發生反射時，掠入射角越小，反射率越高。相同的掠入射角度，能量越低的X 射線在鏡片上的反射率越高。由式（2）可以得出鋁、鈦和銅三種靶材的特征輻射在鏡片上的反射率隨入射角度變化曲線，如圖2 所示。

圖2 不同能量X 射線反射率曲線Fig.2 X-ray reflectance curve with different energy

2.2 有效集光面積分析

入射X 射線需要完全覆蓋鏡片表面的拋物面區域，根據每層鏡片的拋物面開口面積在聚焦鏡前設置相應透光孔徑的光闌，用來遮擋照射在拋物面以外的光線，光闌的透光部分面積就是聚焦鏡的有效集光面積。

當以點X 光源照射鏡片時，其光路如圖3 所示。點光源到光闌的距離為L=103.5 m，光闌的最大透光孔徑為R2，最小透光孔徑為R1，每層鏡片長度為300 mm，其中拋物面鏡片和雙曲面鏡片長度均為a=150 mm，鏡片拋物面最小半徑為r，根據Media Lario［11］提供的每層鏡片參數，計算出光闌最小的透光孔徑

圖3 點光源標定仿真模型光路Fig.3 Light path diagram of point light source calibration simulation model

當以平行光照射鏡片時，其光路如圖4 所示。選用半徑為300 mm 的光源，可以完全覆蓋每一層鏡片的拋物面。此時設置光闌的透光孔徑與鏡片拋物面的最大和最小半徑相同。

圖4 平行光源標定仿真模型光路Fig.4 Light path diagram of parallel light source calibration simulation model

2.3 建立標定模型

以X 射線沿聚焦鏡光軸傳播方向為x軸正方向，建立坐標系［12］。拋物面截面方程為

式中，p為拋物面頂點的曲率半徑。雙曲面截面方程為

式中，a、b分別為雙曲面的長半軸和短半軸。雙曲面頂點曲率半徑Rh為

雙曲面圓錐系數K為

非序列模式中，選擇標準面建立Wolter-Ⅰ型聚焦鏡的模型。聚焦鏡焦距為1.6 m，探測器放置在焦點位置，使用單像素矩形探測器代替地面測試使用的硅漂移探測器 （Silicon Drift Detector， SDD），如圖5 所示。

圖5 有效面積仿真光路Fig.5 Effective area simulation light path diagram

3 有效面積

3.1 聚焦鏡正軸有效面積仿真分析

使用ZEMAX 非序列模式中的光線追跡，可以從復雜的X 射線光學系統中求解出探測器平面上的點擴散函數。仿真使用的分析光線條數設置為1.0×109，以此來保證X 射線經過鏡片反射后到達探測器時接收到的光線條數不少于1.0×106。

單層鏡片的有效面積Asin可表示為

式中，Pbef為透過光闌未入射鏡片前的X 射線總功率；Paft為發生二次反射之后的總功率

54 層嵌套聚焦鏡的最外層鏡片編號#1，依次向內標記至#54。鏡片越大，其掠入射角度越大，反射率越小。以鋁為靶材時，如圖6（a）所示，鏡片越大，有效面積越大；X 射線點源測得的有效面積大于平行X 射線源。

圖6 兩種模型下每層鏡片的有效面積Fig.6 Effective area of each lens layer under two models

以鈦為靶材時，如圖6（b）所示，由于光子能量較高，反射率受掠入射角度影響較大，#1～#9 鏡片反射率基本為0，#9 之后的鏡片出現X 射線反射效果，單層有效面積隨鏡片層數呈先增大后減小的趨勢，并且每層鏡片在點X 射線源的有效面積大于平行X 射線源下的有效面積。銅靶和鈦靶類似，如圖6（c）所示，其光子能量更高。#1～#23 鏡片探測不到明顯的反射現象，#23 之后的鏡片有效面積先增大后減小，點X 射線源下的有效面積依然大于平行X 射線源下的有效面積。

鋁、鈦和銅三種靶材的特征輻射下，聚焦鏡的總有效面積如表2 所示。本文方法得出的聚焦鏡有效面積與其他方法得出的基本一致［13］。對于EP-FXT 的Wolter-Ⅰ型聚焦鏡，在地面標定條件下，使用X 射線點源入射聚焦鏡時，有效面積要比在軌平行X 射線入射鏡片時偏大，且隨X 射線光子能量的增加，反射率隨角度的變化越明顯，有效面積在不同光源入射時的偏差比例逐漸增大，這種現象與圖2 的結果一致。

表2 不同光源入射的有效面積比較Table 2 Comparison table of effective areas with different light sources

3.2 聚焦鏡離軸有效面積仿真分析

對聚焦鏡進行離焦+40 mm、以0.05°為間隔，1°以內的離軸分析。在離焦、正軸的條件下聚焦光斑均為二次反射光，此時聚焦鏡的理想成像如圖7（a）所示。當對聚焦鏡進行0.05°間隔的離軸時，成像出現依次向外延展的一次反射光，當離軸角度為0.5°時，成像結果如圖7（b）所示。當離軸角度達到1°時，成像多數為一次反射光，只有中間少部分二次反射光，如圖7（c）所示。

圖7 離軸仿真成像圖Fig.7 Off-axis simulation imaging

由于二次反射光為聚焦鏡的有效收集光，聚焦鏡表面反射率與入射角度相關，因此聚焦鏡的離軸角度對有效面積有很大影響，將聚焦鏡正軸時的有效面積視為1，有效面積隨離軸角度的變化如圖8 所示。當離軸角度達到10′時，有效面積較正軸工況減少約20%。

圖8 仿真得到的有效面積隨離軸角度的變化Fig.8 Variation of effective area with off-axis angle by simulation

4 有效面積標定測試

Wolter-Ⅰ型X 射線聚焦鏡實驗需要進行光學對準，光學對準過程主要分為三步：

第一步，將聚焦鏡模塊安裝固定在真空大罐內部轉臺上，如圖9 所示。在100 m 真空管道的另一側為X光源，用532 nm 激光入射百米X 射線標定裝置，光線與管道內部無接觸并且光斑中心置于管道軸心，使聚焦鏡軸心、SDD 中心與激光光束初步重合。

圖9 真空罐內部Fig.9 Vacuum tank interior

第二步，將光屏置于聚焦鏡后，調整聚焦鏡轉臺，使激光束經聚焦鏡匯聚在光屏成像無一次反射光，如圖10。此時沿光軸方向調整光屏前后位置，初步尋找聚焦鏡焦點位置，即光斑最小位置，并將SDD 和CCD相機調至此處。

圖10 可見光對準Fig.10 Visible light alignment

第三步，關閉真空罐，用多靶X 射線源代替激光器，在高真空下使用X 射線對準聚焦鏡。微調聚焦鏡轉臺，使像為標準聚焦鏡離焦光斑，如圖11 所示。探測器進行多次掃描進一步微調，找到成像光斑最小時的位置，此時，CCD 相機的位置即為FXT 聚焦鏡最佳焦點位置。此時將CCD 相機更換為SDD，測試平場計數和經過聚焦鏡聚焦后的光子計數。

圖11 離焦光斑Fig.11 Defocused spot

4.1 聚焦鏡正軸有效面積實驗結果

地面有效面積標定使用德國聯邦物理技術研究院（Physikalisch-Technische Bundesanstalt， PTB）標定過的SDD，其靈敏面積為17 mm2。分別測試有聚焦鏡能譜計數、平場能譜計數，有效面積表示為

式中，Aeff為聚焦鏡有效面積，Adet為SDD 有效面積，Cmirror為有聚焦鏡光子計數，Cflat為平場光子計數。

地面測試時為了得到連續能量范圍的聚焦鏡有效面積，選取銅作為X 射線靶材，設置管電壓為16 kV，管電流為10 μA，獲得連續譜，處理SDD 采集的數據統計相同時間內聚焦鏡光子數與平場光子數，如圖12（a）所示。計算得出連續譜下聚焦鏡的有效面積，如圖12（b）所示。

圖12 實驗標定結果Fig.12 Experimental calibration results

在圖13（b）中選取與仿真分析相對應的X 射線能量，得到聚焦鏡地面標定的有效面積分別為339.80 cm2@1.49 keV、73.57 cm2@4.51 keV 和29.47 cm2@8.05 keV。由于地面標定與在軌標定光源掠入射角度不同，通過仿真分析得出地面標定大于在軌標定的有效面積，兩種標定有效面積的偏差比例分別為2.7%@1.49 keV、3.0%@4.51 keV 和4.0%@8.05 keV，對地面標定數據進行修正，推測出在軌有效面積為330.74 cm2@1.49 keV、71.43 cm2@4.51 keV 和28.34 cm2@8.05 keV。

圖13 離軸實驗成像結果Fig.13 Off-axis experimental imaging results

4.2 聚焦鏡離軸有效面積實驗分析

聚焦鏡在離焦+40 mm 位置處，進行離軸0.5°和0.95°的成像，如圖13 所示。離軸二次反射光斑成像與仿真基本一致，根據一次反射光可以看出，少部分一次反射光有明顯交合，這是由于鏡片制作加工過程復雜，微小應力作用或者鍍膜工藝差異都會改變鏡片的面型，從而影響鏡片的性能［14-16］，這也是聚焦鏡有效面積實際測試結果偏低于理想模型的原因。

控制轉臺，以0.05°為步長，進行離軸實驗，得到有效面積隨離軸角度變化曲線，如圖14 所示。實驗得到的有效面積隨離軸角度變化與仿真結果（圖8）趨勢基本一致，當離軸角度達到10′時，有效面積只有正軸工況的80%，這也說明X 光源出射的中心方向與聚焦鏡的軸心共軸是很重要的。

圖14 實驗得到的有效面積隨離軸角度的變化Fig.14 Variation of effective area with off-axis angle by experiment

5 結論

本文對Wolter-Ⅰ型聚焦鏡的地面標定與在軌標定進行仿真，分析不同標定方式對有效面積與離軸有效面積的影響。在IHEP 標定廳的百米X 射線標定裝置中，對Wolter-Ⅰ型聚焦鏡進行了X 射線束的測試。通過仿真分析得出，聚焦鏡在地面標定的實驗條件下其有效面積要大于在軌有效面積，在鋁的特征輻射下，偏差比例為2.7%@1.49 keV。實際地面標定實驗中測得聚焦鏡有效面積為339.80 cm2@1.49 keV，對地面標定結果按仿真分析得出的偏差比例修正，得到在軌有效面積為330.74 cm2@1.49 keV，符合FXT 的指標要求。該研究對X 射線聚焦鏡通過有地面標定結果推算其在軌有效面積提供了有效方法，并會作為修正地面與在軌標定差異的基礎，EP 衛星發射成功后，將進行在軌標定，結合兩種標定數據，可進一步研究兩者之間差異的修正方法。所得結果可對未來Wolter-Ⅰ型X 射線聚焦望遠鏡的標定工作有一定的參考價值。