基于核心素養的立體幾何教學

［摘? 要］ 如何在日常立體幾何教學中，讓學生通過參與數學活動積累“直觀想象”的經驗，養成運用數學思維來觀察世界的習慣，這是值得深入研究的問題. 文章結合“直線與平面垂直”的三次備課經歷，淺談立體幾何教學中如何滲透核心素養.

［關鍵詞］ 核心素養；直觀想象；立體幾何；備課；教學設計

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.”［1］6從直觀想象的定義來看，它主要包括兩個方面：幾何直觀和空間想象. 幾何直觀是數學抽象的前提，是從感性認知到理性認知的前提要求，空間想象能力是達成數學教學目標的基本能力.在立體幾何教學中，一些教師也關注直觀想象，但沒有真正理解“直觀不是‘教出來的，而是‘悟出來的”，因此往往采取灌輸式、填鴨式教學方式直接給出立體幾何中的概念、定理. 那么，如何在日常立體幾何教學中，讓學生通過參與數學活動積累“直觀想象”的經驗，養成運用數學思維來觀察世界的習慣，這是值得深入研究的問題［2］.本文結合“直線與平面垂直”的三次備課經歷，淺談立體幾何教學中如何滲透核心素養.

厘清知識脈絡，提高關鍵能力

直線與平面垂直是學生學習空間點、線、面的位置關系，直線與平面平行的判定與性質后，即將學習的又一線面特殊位置關系，也是運用幾何直觀、空間想象研究空間圖形位置關系的又一次實踐. 通過直線與平面垂直的教學，進一步培養學生的問題探究、推理論證和空間想象能力，為研究面面垂直、線面角、面面角打下基礎，在整個立體幾何的教學中具有承上啟下的作用. 因此，直線與平面垂直的定義、判定定理及應用等的學習非常重要，這既是進一步研究空間幾何圖形性質的基礎，又是培養學生直觀想象素養、落實學生關鍵能力的基石.

在第一次教學設計時，筆者梳理了直線與平面垂直的知識結構（如圖1所示）.

在教學實施環節中，為了幫助學生建構完整的知識體系，本節課主要解決如下問題.

問題1 什么叫直線與平面垂直？（定義）

問題2 如何判定直線與平面垂直？（判定定理）

問題3 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行嗎？（性質定理）

問題4 如果兩條平行線中的一條直線與一個平面垂直，那么另外一條直線也與此平面垂直嗎？（應用）

上述問題的解決，使學生獲得直線與平面垂直的基礎知識，包括線面垂直的定義，線面垂直的判定定理與性質定理，并掌握利用定理解決問題的基本技能，形成完整的知識體系，為后續學習做好鋪墊. 當然，掌握知識并不是課堂教學的最終目標，而是在知識建構的過程中學會用數學的眼光觀察世界，用數學的語言表達世界，實現數學教育功能的最大化. 當前，“導學案”教學模式在一些學校盛行，但其目標停留在提高學生的學習成績上，學生只知道“是什么”，而不知道“為什么”，這樣的教學模式限制了學生素養的自我調節和提升，不符合新課標理念，這值得注意.

關注思維過程，凸顯數學素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：“直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.”［1］6直觀想象利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物. 在直線與平面垂直的教學中，讓學生經歷直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的定理（判定定理和性質定理）的產生過程，主要表現在：通過對生活實例、圖片的觀察，學生自主提煉直線與平面垂直的定義；通過直觀感知，學生大膽猜想直線與平面垂直的判定定理，并在此基礎上探究直線與平面垂直的性質定理；嘗試運用定理證明一些關于空間位置關系的簡單命題.

在第二次教學設計時，筆者梳理了直線與平面垂直的定義、定理的產生過程以及學生的思維過程（見圖2）.

在教學實施環節中，為了幫助學生梳理直線與平面垂直的定義、定理，厘清數學概念、數學定理建立的思維方法，本節課主要解決如下問題.

問題1 在日常生活中，學校操場上的旗桿與地面，江陰大橋的橋柱與水面，以及數學圖形中圓錐的軸與底面給了我們怎樣的直觀印象？

問題2 播放動畫，觀察圓錐的軸與底面的哪些直線是垂直的. 請你給直線與平面垂直下個定義. （線面垂直的定義）

問題3 如何判斷學校操場上的旗桿與地面是否垂直？（線面垂直的判定定理）

問題4 江陰大橋的橋柱1與橋柱2平行，橋柱1與水面垂直，那么橋柱2與水面是什么關系？（線面垂直的性質定理）

問題5 本節課你學到了哪些直線與平面垂直的知識？

上述問題的解決，讓學生從生活實例中直觀感知直線與平面垂直的定義、判定定理、性質定理等產生的合理性，讓學生在問題情境中提出問題、分析問題、解決問題. 學生從直線與平面垂直的直觀感知中，獲得線面垂直的定義；利用定義判斷直線與平面是否垂直時，發現定義法缺乏實際可操作性，由此探究直線與平面垂直的判定定理、性質定理. 在揭示直線與平面垂直的定義、定理的過程中，學生體會并獲得了建立數學概念、數學定理的思維方法. 只有讓學生經歷數學知識的產生過程，學生才能獲得研究數學問題的一般方法，形成良好的數學思維品質. 學生不僅知道“是什么”，更能體會“為什么”“怎么做”.

踐行立德樹人，落實核心素養

黨的十九大報告進一步指出，要“落實立德樹人根本任務”，為了實現直線和平面垂直的教育功能，使其成為學生學習立體幾何的典型案例，讓學生在直線與平面垂直的學習過程中體驗用數學理論解釋生活中的一些現象，運用數學的語言表達世界，發展學生把握空間與圖形的能力以及論證推理的能力.

在第三次教學設計時，筆者重新思考，堅持立德樹人根本任務，落實數學核心素養，對本節課的素養目標進行了細化、優化（見圖3）.

在教學實施環節中，為了讓學生體會數學發現之美，提高學生的數學學習熱情，提升學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學素養，本節課的第三次教學設計如下.

（1）創設情境，感知概念.

情境1 （生活中的“直線與平面垂直”的現象）觀察圖片：天安門廣場上的旗桿，旗桿與地面給了我們怎樣的直觀印象？

情境2 （數學幾何體中“直線與平面垂直”的現象）觀察旋轉體中圓錐（圓柱、圓臺）的軸與底面，給我們留下了什么直觀感覺？

情境3 介紹我國古代普遍使用的計時儀器——日晷（見圖4），觀察羅盤針與底座是什么位置關系.

設計意圖 通過創設問題情境，將數學知識與生活聯系起來，讓學生直觀感知直線與平面垂直，形成直線與平面垂直的感性認識. 通過介紹數學史揭示直線與平面垂直背后的文化元素，使學生感受數學的應用價值所在，激發學生主動探究熱情，提升學生的數學素養.

（2）觀察歸納，形成概念.

問題1 結合這三個實例，你能給“直線與平面垂直”下個定義嗎？

設計意圖 引導學生從實例、數學模型中概括事物的典型特征，從具體到抽象，建立感性認識與抽象思維的聯系，并嘗試給出直線與平面垂直的定義. 在建立線面垂直定義的過程中，讓學生收獲成功的喜悅，學會用數學的語言表達世界，而且提升學生的數學抽象、直觀想象等數學素養.

（3）深化認識，辨析概念.

問題2 線面垂直定義中的“任意一條直線”能否換成“無數條直線”呢？請舉例說明.

設計意圖 通過問題2的討論辨析、反例列舉，讓學生加深對線面垂直定義的理解，學會“數學思考”，也為下一環節“探究直線與平面垂直的判定定理”做好鋪墊.

（4）實驗探究，形成定理.

問題3 如何判定直線與平面垂直呢？

設計意圖 通過問題3的辨析，學生切身感受到直接利用直線與平面垂直的定義判斷線面垂直缺乏實際可操作性，此時引導學生類比直線與平面平行的判定定理，通過不斷猜想和分析，得到直線與平面垂直的判定定理.

在此過程中筆者設計了如下兩個問題.

①如果直線l與平面α內的一條直線垂直，能保證l⊥α嗎？

②如果直線l與平面α內的兩條直線垂直，能保證l⊥α嗎？

在解決上述兩個問題的基礎上引導學生進行數學實驗，從實驗中直觀認知. 例如折紙實驗，先折疊一張三角形紙片，再將紙片略打開放置于桌面上（折痕與桌面相交），然后思考：折痕與桌面所在的平面一定垂直嗎？如何折疊才能使折痕與桌面所在的平面垂直呢？通過數學實驗實現從感性到理性的飛躍，抽象出數學定理，有利于學生思維品質的訓練.

問題4如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行嗎？

設計意圖 在探究性質定理這個環節中，采取小組合作，讓學生先從身邊的實例，即從“形”的角度尋求問題的答案，再抽象概括出直線與平面垂直的性質定理，然后通過嚴格的推理論證其正確性. 在探究活動中，學生能進一步認識線面位置關系的研究方法，發展邏輯推理能力.

（5）運用定理，解決問題.

問題5 如圖5所示，已知正方體ABCD-ABCD.

（1）求證：直線AB⊥平面BCCB；

（2）直線AC與平面BDDB是否垂直？

（3）AB與平面ABCD垂直嗎？

設計意圖 通過直線與平面垂直定理的簡單應用，讓學生體會判定線面垂直的一般方法；在問題的探究過程中暴露學生的思維軌跡，讓學生領悟隱含于問題之間的數學本質，從而積累解決數學問題的方法，促進理性思維的發展，提升數學核心素養.

（6）回顧反思，提高素養.

問題6 我們是如何研究直線與平面垂直的？

設計意圖 引導學生回歸直線與平面垂直的研究過程：創設情境、觀察歸納、深化認識、實驗探究、運用定理、回顧反思.

即引導學生回顧研究的每個環節：如何從生活情境、數學模型中抽象出數學問題？在立體幾何學習中，建立數學概念、數學定理的一般過程與方法是怎樣的？怎樣運用定義、定理解決問題？進而讓學生感悟：研究直線與平面垂直的過程和方法，也是研究面面平行、面面垂直的一般過程和方法. 這為今后利用空間向量研究立體幾何問題奠定了基礎.

本節課基于提高學生的核心素養組織教學，實現數學育人的目標.第一是重視數學基本活動經驗的積累，通過創設問題情境，將數學知識和生活聯系起來，讓學生感悟數學源于生活，又服務于生活，引導學生借助幾何直觀、數學實驗、數學推理，獲得數學最本質的活動經驗，以及實踐意識. 第二是注重數學思維品質的培養. 立體幾何教學與其他知識模塊不同，學生往往借助幾何直觀產生對事物的直觀感知，但其正確性需要通過數學知識推理論證. 數學核心素養的培養是一項系統工程，立體幾何的教學承載著培養學生直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養的重任，唯有立足課堂，潛心研究，才能真正做到“隨風潛入夜，潤物細無聲”.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 周艷祖. 高中生直觀想象素養的現狀調查及教學建議［J］. 中學數學，2018（19）：32-34.

基金項目：無錫市教育科學“十四五”規劃課題“基于泛在學習的高中數學‘閱讀與思考欄目教學研究”（A/E-b/2021/01）.

作者簡介：萬贏銀（1979—），碩士研究生，中學一級教師，從事數學教學研究工作，曾獲江陰市教科研能手、江陰市教學能手等稱號.