崔藝蘭,歐見平
(五邑大學 數學與計算科學學院,廣東 江門 529020)
為了更準確估計和比較網絡的可靠性,文獻[7-8]介紹了m限制邊割和m限制邊連通度的概念:圖G的邊割S是一個m限制邊割,如果G-S的每個連通分支都至少含有m個點. 所有m限制邊割中所含的最小邊數稱為圖G的m限制邊連通度,用λm(G)表示,或簡寫為λm. 如果連通圖G含有m限制邊割,則稱它是λm連通的. 令,其中表示圖G中只有一個端點在X的邊的集合,簡寫為. 如果,則圖G是λm最優的或極大m限制邊連通的. 注意到當m= 1時,是邊連通度;當m= 2時,是限制邊連通度,也常表示為λ';當m= 3時是3 限制邊連通度λ3. 極大3 限制邊連通在網絡設計的可靠性中發揮著重要的作用,一些極大3 限制邊連通的充分條件可以在文獻[9-10]中得到. 極大m限制邊連通也取得了豐碩的成果,讀者可參考文獻[7-8]等.
Li 等[11]在2005 年定義了零階廣義Randi? 指數:,其中α是實數,d(v) 是點v的度. 特別地,當α=-1 時,,即為圖G的逆度. 許多研究者給出了基于零階廣義Randi? 指數,階數和最小度的最優λ(G)圖和超級λ(G)圖的充分條件[12-16]. 郭利濤等[17-19]還給出了關于R(G) ,δ(G) ,ξ(G)和n的函數的圖是最優λ2和最優λ3的充分條件. 本文將他們的結論推廣到限制邊連通圖上,分別考慮在一定條件下,基于零階廣義Randi? 指數分別給出了圍長g≥ 5、δ≥2的圖是λ2最優及g≥ 6、δ≥ 2的圖是λ3最優的充分條件. 對于未說明的其他符號和術語,我們采用文獻[20]中的符號與術語.
為了得到主要結論,我們將列出用于后面證明的一些引理.
引理1[12]設實數α<0或者α> 1且x1,x2, … ,xp和A為正實數使得,則.如果x1,x2, … ,xp和A為正整數且A=ap+b,其中a,b是整數且0≤b<p,則.
引理2[13]設實數0<α< 1且x1,x2, … ,xp和A為正實數使得,則. 如果x1,x2, … ,xp和A為正整數且A=ap+b,其中a,b是整數且0≤b<p,則.
以下這個引理來自凸函數和凹函數的定義.
引理3[17]設 Φ (x)是[L,R]上的連續函數且l+r=L+R,其中l,r∈[L,R]. 則
引理4[18]設G是圍長大于等于5 的λ2連通圖,且δ(G) ≥ 2,則存在一個λ2割[X,Y],其中兩個不交點集且[X,Y] =λ2. 如果λ2<ξ,則.
引理 5[19]設G是λ3連通圍長大于等于 6 的圖,且δ(G) ≥ 2. 如果,則存在一個λ3割[X,Y],其中兩個不交點集,使得.
接下來我們考慮在一定條件下,圖G是2λ最優及3λ最優的充分條件.
定理1設G是圍長g(G) ≥5 的2λ連通n階圖且最小度δ≥2 .
1)若α≤-1 且,則.
2)若 -1 <α< 0且,則.
3)若1<α≤ 2且,則.
證明反設,則圖G存在一個最小2 限制邊割S=[X,Y],其中,X,Y是兩個不交的點集使得,且. 根據引理 4 可知,,所以. 不失一般性,設圖G的最小度為δ的一個點.
由于X中的每個點至多能與X中的個點相連,且X中的點僅與Y中的點有λ2條邊相連.則
同理,
由引理1,可得
所以,
當α≤- 1時,,且. 由于,容易驗證 當t>1,α≤-1 時,,所以 此時g(t)為凹函數. 又由假 設,則有
矛盾.
當 - 1<α< 0時,,且. 由于,容易驗證當t> 1, -1<α< 0時,,所以此時g(t)也為凹函數. 又由假設,則有
矛盾.
當1<α≤ 2時,,且. 同 樣 容 易 驗 證 當t>1,1<α≤ 2時,,所以g(t)為凹函數. 又由假設,得
定理 2設G是圍長g(G) ≥ 5的λ2連通n階圖且最小度δ≥ 2. 若0<α< 1且,則.
證明反設,則圖G存在一個最小2 限制邊割S=[X,Y],其中,X,Y是兩個不交的點集使得,且. 根據引理 4 可知,,所以. 不失一般性,設圖G的最小度為δ的一個點.
由于X中的每個點至多能與X中的X- 1個點相連,且X中的點僅與Y中的點有λ2條邊相連.則
由引理2,可得
同理,
由引理2,可得
所以,.因為0<α< 1,所以. 令函數,容易驗證當,所以此時g(t)為凸函數,根據引理3,可得
矛盾. 定理證畢.
定理3設G是圍長g(G) ≥ 6且最小度δ(G) ≥ 2的λ3連通n階圖.
1)若α≤-1 且,則.
2)若 -1 <α< 0且,則.
3)若1<α≤ 2且,則.
證明反設,則圖G存在一個最小3 限制邊割S=[X,Y],其中,X,Y是兩個不交的點集使得,且. 根據引理 5 可知,,所以. 不失一般性,設圖G的最小度為δ的點.
由于X中的每個點至多能與X中的個點相連,且X中的點僅與Y中的點有λ3條邊相連.則
由引理1,可得
同理,
由引理1,可得
當α≤-1 時,容易驗證g(t)為凹函數且
矛盾.
當 -1 <α< 0時,容易驗證g(t)也為凹函數且
矛盾.
當1<α≤ 2時,容易驗證g(t)為凹函數且
矛盾. 定理證畢.
定理4設G是圍長g(G) ≥ 6且最小度δ(G) ≥ 2的n階λ3連通圖. 若0<α< 1且,則.
證明反設,則圖G存在一個最小3 限制邊割S=[X,Y],其中,X,Y是兩個不交的點集使得,且. 根據引理 5 可知,,所以. 不失一般性,設圖G的最小度為δ的一個點.
由于X中的每個點至多能與X中的個點相連,且X中的點僅與Y中的點有λ3條邊相連.則
由引理2,可得
同理
由引理2,可得
因為0<α< 1,所以
且
矛盾. 定理證畢.