模糊厭惡下基于區塊鏈挖礦算力投資模型研究

王良熠,沈明軒,費為銀

(安徽工程大學 數理與金融學院,安徽 蕪湖 241000)

比特幣作為第一個去中心化的可運行的數字貨幣,它的市場運作與行業動態值得我們關注研究。在比特幣等一類加密數字貨幣市場中,商家和消費者能夠以更低的成本去交易,且區塊鏈技術使得這樣的交易和使用傳統銀行系統相比幾乎是一樣安全的。這種安全性依賴于將密碼原語的穩健性和參與協議執行的代理人的經濟激勵相結合。礦工在這其中扮演主角,他們通過工作量證明解決隨機數難題生成新區塊并以加密方式賦予時間戳,獲得記賬權的礦工將交易信息記錄在區塊中。在工作量證明共識機制下,每個節點利用自身的算力不斷進行哈希運算來尋找符合條件的隨機數。最快找到隨機數并驗證通過的節點將獲得記賬權,生成并發布新區塊添加到區塊鏈上,該過程就稱為“挖礦”,每輪競爭的獲勝者會獲得一定數目的比特幣作為獎勵,分散在世界各地的通過操縱計算機或礦機參與挖礦的人稱為“礦工”。攻擊比特幣的成本與礦工投入的算力成正比,因為該成本由工作量證明協議中隨機數難題的難度決定。整個系統要想保持安全性,攻擊的成本必須服從比特幣價值的指數級增長,用于挖礦的其他資源也是一樣。起初一些礦工由于興趣愛好使用他們的個人計算機開始挖礦,而后漸漸地發展成為挖礦行業,使用專門用于挖礦的機器設備(后文中統稱為礦機)進行挖礦,這個行業通過挖礦社區網絡消耗全世界近0.15%的電力。因此,礦工的挖礦行為決策需要考慮成本、回報以及市場的不斷變化和不確定因素。綜上,本文的研究工作首先去分析挖礦市場中的一些重要因素以供進一步建模并深入研究。

眾所周知,比特幣的可行性對于挖礦市場而言是十分重要的,本文基于模糊不確定環境,建立了一個表現挖礦市場隨時間演化的均衡模型,表明網絡算力投資僅使用比特幣兌美元的匯率就可以預測,并且當市場的模糊程度較高時,礦工挖礦面臨的投資風險較大。挖礦的硬件投資有兩個重要特點:第一,礦機在挖礦市場之外沒有轉售的價值,因為礦機只能用于挖礦;第二,未來的收入有諸多的不確定性,因為比特幣兌美元的匯率波動較大。這兩個重要的特點結合就使得還未進入市場的礦工由于預期收入不確定需要考慮進入市場是否合理,而對于現有的已在市場中挖礦的礦工而言,退出市場的成本也是足夠高的,同樣需要謹慎考慮。本文的研究面臨的主要挑戰是,我們不能將每個獨立礦工對待挖礦收入的問題看作是外生的,相反,我們必須考慮市場中活躍礦工的數量如何內生性地決定回報。本文的經濟學視角是比特幣協議的相關規定使得挖礦算力產生了一條下降的需求曲線,因此,挖礦市場表現為一個具有競爭力的行業,與傳統的完全競爭市場類似。

本文將比特幣兌美元的匯率與比特幣網絡總算力結合,構建了一個衡量礦工回報的新變量,建立模型并預測出礦工購買新的硬件當且僅當回報達到反射邊界,回報不會超過這個臨界值,因為新的進入觸發了挖礦難度的增加,導致收入降低。本文還考慮挖礦硬件設備的技術進步因素,在均衡模型使用了一個體現技術進步的比率,從而使得分析描述更具顯示意義和研究價值。

1 文獻綜述

現有的很多文獻從各個方面對比特幣作出了詳細分析研究。Nakamoto[1]最早提出了比特幣系統的架構模型,為其設計了工作量證明(PoW)共識機制并在文獻中詳細說明。Decker和Wattenhofer[2]分析了比特幣如何通過網絡傳播交易和區塊來更新分類賬副本,并使用收集到的信息來驗證以下猜測:網絡中的傳播延遲是區塊鏈分叉的主要原因。Karame[3]分析了使用比特幣進行快速支付的安全性,并專注于研究針對快速支付的雙重支付攻擊。Reid等[4]從比特幣的公有交易歷史出發,研究了兩個網絡的拓撲結構,證明了這兩個網絡具有非平凡的拓撲結構,提供了比特幣系統的互補視圖,并且對匿名性有影響。

隨著加密貨幣原理逐漸應用到經濟領域,部分文獻開始對比特幣一類的加密貨幣以及挖礦行為進行較為深入的經濟學機理研究。Chiu[5]研究了比特幣等一類加密貨幣的優化設計,并定量評估此類貨幣對雙邊貿易的支持程度。Hong等[6]分析了法定貨幣和數字貨幣的雙重貨幣制度,并在傳統貨幣經濟模型框架下研究了法定貨幣和數字貨幣的潛在擠出效應。研究發現,當使用一種貨幣(交換媒介和價值儲存)的成本極高,而使用另一種貨幣的成本極低的極端情況下會產生擠出效應。Rosenfeld[7]描述了用于計算比特幣礦池挖礦參與者獎勵的各種評分系統,解釋了每種評分系統的設計用來解決的問題并分析了各自的優缺點。洪陽等[8]在模擬誠實礦工挖礦實驗的基礎上,重點研究自私挖礦情況下礦工的最佳相對收益。姚前[9]基于經濟學的視角剖析了區塊鏈技術的激勵相容設計。

還有一些文獻通過建立模型來分析礦工行為以及比特幣挖礦市場的動態。Biais等[10]將工作量證明區塊鏈協議建模為一個隨機博弈,并分析了理性的戰略礦工的均衡策略。費為銀等[11]從挖礦找到隨機數這一事件入手,建立挖礦收益與確定性等價收入模型,建立礦池管理者關于池費的最大化期望效用模型和礦工關于自身算力分配的最大化收益模型,分析算力優化問題。Athey等[12]建立了一個用戶采納和使用虛擬貨幣(如比特幣)的模型,重點研究了當存在匯率不確定性引起的摩擦時,虛擬貨幣用戶采納的變化情況,該理論模型可用于分析市場基本面如何決定法定貨幣兌比特幣的匯率。Prat等[13]提出了用比特幣/美元匯率來預測比特幣網絡算力的模型,通過校準模型參數預測網絡算力隨時間的演變規律,通過樣本外測試和對進入規則的調查來確定模型的準確性。

挖礦活動作為一項不可逆投資,其中有許多經濟學因素值得深入研究,也與許多競爭行業有著類似之處。Aied等[14]建立了明確的社會最優規則,用于具有不確定性的不可逆的投資決策,并詳細討論了經濟效應。Caballero等[15]研究了在一個具有不可逆投資的競爭性行業中,行業性和不確定性對企業進入、總投資和價格的影響,并決定了進入決策和由此產生的行業均衡及相關特征,指出不同的不確定性來源產生的影響。作者強調不可逆性影響價格的均衡分布,而均衡分布又反過來影響進入。Dixit等[16]首次詳細闡述了企業資本投資決策的新理論方法,強調了大多數投資決策的不可逆性,以及做出這些決策的經濟環境的持續不確定性。

經濟環境的不確定性影響著投資者的決策,目前,不少國內外學者開始研究模糊不確定對各種經濟行為的影響。隨著全球經濟環境的不斷變化,影響金融市場中投資者投資決策的因素也變得越來越復雜,這些因素往往會對投資者的投資效率帶來沖擊。因此在進行投資決策時,除了需要考慮風險外,還需要將模糊性納入衡量投資收益的不確定性當中進行考量,以便作出更加明智的決策。Chen等[17]在一個具有代表性的代理資產市場環境中提出一個模型,該模型提供了對超額回報的限制并考慮了反映風險溢價和模糊性單獨溢價的情況。文中表示不確定性定義可分為明確的兩部分:風險(Risk)和模糊性(Ambiguity)。風險是指存在特定的概率分布,可計算期望和方差的不確定性;而模糊性則是指不確定性無法計算的情況,即沒有明確的概率分布以及期望和方差。Miao等[18]在研究中區分風險和模糊不確定性,采用了多先驗效用模型研究模糊性對期權行權決策的影響,結果表明模糊性對期權行使決策的影響取決于繼續收益和終止收益的相對模糊程度,模糊性可能會加速或延遲期權的行使。Neamtiu等[19]主要研究了模糊性對投資管理和現金控股的影響。Agliardi等[20]將模糊性引入可轉換債務的未定權益模型,研究了股權持有人和債務持有人的模糊偏見對可轉換債務估值的影響,運用債券價值對持有人態度變化的模糊性及穩定性參數,對債券價值提供了敏感性分析。Agliardi等[21]從模糊性理論的角度探討了以下問題:為什么一些公司發行股票而不是債務?為什么大多數公司保留他們持有的現金,而不是作為股息分配?在嚴重的金融限制和模糊時期,或在面臨不可預測的金融危機的威脅時,企業如何改變其融資政策?文章分析了模糊性如何影響公司的權益和債務價值,表明投資者的模糊厭惡偏差足夠大時,現金持有會保留更長的時間。李昊驊等[22]考慮決策者是模糊厭惡的,利用實物期權方法,解析地給出了銀行價值,企業價值和最優停貸水平,分析了模糊厭惡和基準波動率對最優貸款利率,最優停貸水平,企業價值和銀行價值的影響。Epstein等[23]用一個連續時間框架下的效用模型刻畫了資產價格波動和漂移的模糊性特征,進而將資產定價理論中的一些基本結果在模糊性下進行了推廣。何俊勇等[24]考慮投資者在每個期末由于投資經驗獲得的隨機稟賦與風險資產未來收益之間的相關系數存在模糊性,進而分析這種模糊性對資產定價和社會福利的影響。在最近的十幾年中,金融市場投資決策相關理論的迅速發展深化了我們對不確定性的理解,由于比特幣挖礦市場中,礦工的投資決策也同樣受到市場中各類復雜因素的影響,礦工獲得的回報獎勵受到多種因素變化帶來的沖擊,這種沖擊具有不確定性,因此為了更加靈活地處理模糊性對礦工投資決策的影響,我們有必要引入肖-布朗運動考慮模糊不確定性來刻畫挖礦市場的行業動態。

目前還有一些文獻基于G-布朗運動去研究現實中的種種經濟行為和決策。彭實戈[25]給出非線性期望的基本定義,表明非線性期望理論可以廣泛地用于分析和計算現實世界數據背后隱藏的概率和統計分布的不確定性,進而使人們對現實世界中概率模型本身的不確定性也能進行定量的分析和計算。費晨等[26-27]強調概率統計模型本身的不確定性是本質的且無法消除掉的,并在此基礎上研究了Knight不確定下連續時間動態契約設計問題。費晨[28]根據次線性期望空間上的G-布朗運動性質,研究了非線性期望下隨機控制最優性原理,又進一步利用推導出的定理研究了一個考慮波動模糊性的最優消費和投資組合決策。這些文獻在研究中用G-布朗運動替代標準布朗運動來表征非線性,用下期望替代標準期望來表示最壞情況下的決策結果。在大多數情形下,只考慮事情發展到最壞時的預期結果,即代理人關注最壞的情況來確定他們的最佳決策,這確實是一個合理的思路。然而,僅考慮模糊不確定環境中的最壞情況,往往并不能充分解釋現實中的個體在模糊不確定環境下的行為和決策的多樣性。事實上,在現實環境下代理人對不確定性的厭惡程度也許介于模糊厭惡和模糊喜好之間的任意程度,所以本文從肖-布朗過程視角,刻畫決策者的模糊不確定。

在對比特幣挖礦市場動態均衡模型的研究中,礦工所獲得的回報獎勵受到多種因素的影響,這些因素既表現出風險特征,也具有一定的模糊性特征。因此,本文在Prat等[13]研究比特幣挖礦市場演化模型的基礎之上進一步考慮模糊性對礦工挖礦行為及回報的影響,并將肖-布朗運動引入到模型當中,從而以一種嶄新的視角來研究挖礦行業動態均衡。

2 基本模型框架

比特幣作為一種點對點的電子現金系統,是區塊鏈技術的起源,區塊鏈技術是構建比特幣數據結構與交易信息加密傳輸的技術基礎,實現了比特幣的挖礦與交易。而比特幣網絡中的每個節點都是平等的,都可以接收發生的交易信息,但如果讓每個節點都來記錄和驗證交易信息,又會導致效率低下,因此,比特幣系統使用工作量證明共識機制來決定由哪個節點來記賬。在PoW共識機制下,每個節點利用自身的算力不斷進行哈希運算來尋找符合條件的隨機數。最快找到隨機數并驗證通過的節點將獲得記賬權,生成并發布新區塊添加到區塊鏈上,該過程就稱為“挖礦”,每輪競爭的獲勝者會獲得一定數目的比特幣作為獎勵,分散在世界各地的通過操縱計算機或礦機參與挖礦的人稱為“礦工”。由于礦工的記錄只有得到后續礦工的認可,獎勵才有效,因此礦工有動機去誠實地記錄交易。

我們從挖礦市場的主要特征入手來構建模型框架,給定比特幣的需求并使用比特幣/美元匯率的變動軌跡去預測網絡算力。模型建立在連續時間上,為了與平均的出塊時間保持一致,我們還要將時間長度標準化為10 min。由于規模報酬是常量,本文把礦工視為算力的無窮小單位并假設總的網絡算力可以取實軸上的任意值。

2.1 礦工的回報

本文用Rt表示區塊的美元獎勵,即比特幣/美元匯率乘以獲得的新幣與費用之和。Πt表示礦工找到一個有效區塊的泊松率。那么礦工的回報Pt近似等于

Pt≡Rt×Πt。

2.2 算力的價值

挖礦是一個成本高昂的活動,要使得在τ時刻購買的一單位算力能夠執行挖礦指令,就勢必會產生電力成本流Cτ。這一成本會根據礦機的不同生產批次而變化,一般來說更新后的礦機在消耗同樣多的能源下能夠執行更多的算力,也就是說技術的進步會帶來更低的挖礦電力成本。并且,從某種意義上說,算力的投資是不可逆轉的,因為礦機是挖礦專用的機器,無法應用到其他領域,因此很難轉賣出去?，F假設礦機不會為了節省電力成本而自動關閉,也就是說即使電力成本再高,挖礦仍可以繼續進行,這就不排除可能會導致算力價值出現負值的情況。由此我們可以得出以下關于批次τ的一單位算力價值的表達式:

(1)

式中,r是折現率。我們已經假定礦工與礦工之間是同質化的,除了電力價格,他們都面臨相同的問題。由于市場是自由進入的,只有那些使用的電力較為便宜的礦工能夠盈利,因此所有活躍礦工均面臨或多或少的營運成本。注意到

(2)

式(2)給出了報酬的表達式,它定義了一個單位彈性的等彈性需求曲線。它的微觀基礎是相當獨特的,不同于傳統行業,因為回報P和行業產出Q之間的遞減關系不是來自于消費者需求的飽和,而是由編碼在比特幣協議中的更新規則所導致。在比特幣協議中,總的算力產出Q的增長給全網帶來的調整是降低有效的工作量證明閾值,從而使得挖礦難度增大,因此使得每個礦工獲得獎勵的可能性減小,即回報P減小。

美元獎勵R不僅取決于挖礦市場中的比特幣需求,還受到比特幣兌美元匯率的影響,因此不能只考慮內生性。隨著全球經濟環境的不斷變化,無論是金融市場還是挖礦市場中,影響投資者投資決策的因素復雜多變,這些因素往往會給投資效率帶來沖擊。因此在進行決策時,除了需要考慮風險外,還需要將模糊性納入衡量投資收益的不確定性當中進行考量,以便作出更加明智的決策。許多關于不可逆投資的文獻均假設(Rt)t≥0服從幾何布朗運動,而本文假設(Rt)t≥0滿足肖-布朗(Choquet-Brown)過程:

(3)

給出了Rt服從的運動過程還不能夠計算出回報的期望價值,因為它還取決于網絡算力Q,Q的值是內生決定的。因此為了解決這個均衡問題,必須同時獲得Q服從的過程以及礦工的市場進入規則。

2.3 市場進入

自由進入確保礦工不能通過向網絡中增加算力來獲取利潤,故下面的不等式必須成立:

(4)

為了理解為什么這樣的機制確定了一個競爭性的市場均衡,我們還需要對P的運動規律進行分解。將式(3)插入到式(2)中并使用伊藤引理,我們有

(5)

2.4 行業均衡

(6)

圖1 回報及算力變化趨勢模擬圖

2.5 比較靜態分析

3 數值模擬與經濟學解釋

現在給出模型相關參數設置,如表1所示。市場動態均衡演變框圖如圖2所示。

表1 模型參數設置

圖2 市場動態均衡演變框圖

本節在數值模擬的基礎上進一步分析前文模型的經濟含義,主要包括電力成本、網絡總算力等因素如何影響礦工投入算力的實際價值以及挖礦的回報,并且當挖礦市場環境處于不同的模糊程度之下,礦工挖礦面臨的風險以及行為決策的變化情況。

根據文中式(1)～(3),我們繪制出圖3。電力成本對算力的實際價值影響顯著,由圖2可知,當電力成本過高時,算力的價值逐漸趨于0再到等于0,也就是說,當礦工挖礦的電力成本超過一定的數值時,投入算力去挖礦就幾乎毫無價值了。

圖3 不同模糊程度下算力價值與電力成本關系圖 圖4 不同模糊程度下挖礦回報與算力產出關系圖

根據文中式(2)、(3)、(5),我們繪制出圖4。從圖4中不難看出,挖礦回報與算力產出之間為負相關關系,因為比特幣協議對總算力增長的反應是降低有效的工作量證明閾值,使得挖礦難度增大,因此使得每個礦工獲得獎勵的可能性減小,即挖礦回報降低。但需要注意的是,圖4中的端點值,也就是縱軸上的點在實際中是不存在的,當算力產出為0時,也就不存在挖礦回報了。這也與前文分析結果一致,表明挖礦回報始終達不到最大臨界值,只可能無限接近于這一最大回報數值,也就是前文中所說的回報存在的障礙上邊界。

4 結束語

本文已經證明,礦工投資挖礦設備以及電力資源等來獲得算力投入挖礦的決策可以很好地近似看作一個具有不可逆投資的行業動態的標準模型,進而再去更深入地分析研究。研究表明,礦工挖礦行為的決策受到技術更新、電力成本、市場環境等多種因素的影響,礦工的挖礦收入因自由進入而產生上限,且隨著網絡算力產出的增加而減小。本文還創新性地在模糊不確定情況下去分析研究比特幣挖礦市場,進而證明,對于模糊厭惡的礦工來說,模糊性影響著他們的決策,模糊程度越高,算力的價值越低,挖礦回報也越低,即礦工面臨的風險越大,模糊程度越小則帶來的風險也就越小。我們相信,本文的研究結果將會引起比特幣等一類加密數字貨幣從業者和經濟學家的興趣。本文模型為相關從業者提供了一種預測網絡算力流量的工具,并為礦工的激勵機制提供了新的探索方向,這將更加有助于解釋比特幣的可行性。對經濟學家來說,比特幣的挖礦市場為測試行業發展演化模型提供了一個理想的環境。在這方面,我們的研究發現是十分合理的,因為結論表明,礦工的行為可以用傳統經濟學理論去解釋,包括供求關系、價格理論、完全競爭市場機理等等,因此挖礦行業與現有行業動態理論表現出了較強的一致性。讀者可以進一步考慮并深入研究,挖礦活動在ESG背景下如何權衡電力成本及碳排放等多種因素進而作出最優投資決策。