基于計算全息的高質量貝塞爾光束陣列產生方法

張睿迪，段亞軒，達爭尚

（1 中國科學院西安光學精密機械研究所 先進光學儀器研究室，西安 710119）

（2 中國科學院大學， 北京100049）

（3 西安市高功率激光測量技術與儀器重點實驗室， 西安 710119）

0 引言

自1987 年DURNIN J［1］提出具有無衍射特性的貝塞爾光束以來，貝塞爾光束就一直是學者們研究的熱點，在激光加工［2-4］、光學顯微［5］等眾多領域中大顯身手。特別是在工業加工領域，貝塞爾光束因其長焦深的特點，在孔型結構的制備中發揮著重要的作用。然而對于大面積周期性的結構來說，單束激光逐點掃描加工的方式制約著其在工業中的應用，為了提高加工效率，并行加工技術應運而生。隨著光場調控技術［6］的發展，飛秒激光直寫技術煥發了新的生命。通過將設計好的全息圖加載到空間光調制器上，就可以對入射光進行調制，從而靈活地產生期望的光場分布。

利用空間光調制器可編程的特性，可以動態地調制出不同數量、間距和強度的貝塞爾光束陣列。2011 年，BOWMAN R 等［7］通過多個軸錐透鏡相位疊加的方法生成了計算全息圖，將其加載到空間光調制器上，產生了3×3 的貝塞爾光束陣列。相比于最早的環形孔徑法，該方法提高了入射光的能量利用率。GARCIA-MARTINEZ P 等［8］利用達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加的方法來產生貝塞爾陣列光束，然而得到的光場并非是平行貝塞爾光束陣列，并且光場的信噪比較低。近年來，還有許多研究者利用超表面作為高效、緊湊的平臺，來集成達曼光柵和軸錐透鏡全息圖的功能［9-10］，雖然也能實現貝塞爾光束陣列，但是這種方法有著成本高且工藝復雜的問題。

本文提出了多軸錐透鏡相位并行拼接法、多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法來產生貝塞爾光束陣列，并將這兩種方法與軸錐透鏡相位串行疊加法、達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加法進行比較，分別通過仿真和實驗的手段得到這四種方法在空間中傳播的衍射圖樣。結果表明，利用本文所提方法產生的貝塞爾光束陣列有著更高的均勻性和信噪比，本文所提方法對高質量貝塞爾光束陣列的生成提供了新的思路。

1 理論

1.1 軸錐透鏡相位

本文利用空間光調制器可編程的特性，模擬軸錐透鏡的相位圖，并結合角譜衍射方法，實現了貝塞爾光束中心光斑和無衍射距離等參數的動態靈活調制，貝塞爾光束的中心光斑可由半高全寬（Full Width at Half Maximum， FWHM）表示。高階貝塞爾光束的相位［11］表達式為

式中，r0表示軸錐透鏡的半徑，2πr/r0表示軸錐透鏡的相位，nφ表示螺旋相位，n為拓撲荷數，代表n階貝塞爾光束，R表示加載在空間光調制器上的全息圖半徑。

將設計好的全息圖加載到空間光調制器上，入射光為高斯光束，則空間光調制器反射后的光場可由式（2）表示為

式中，A0表示振幅，是歸一化常數，ω表示高斯光的束腰半徑。

由式（2）得到的貝塞爾光束全息圖和橫向光場分布如圖1 所示。此時，貝塞爾光束的無衍射距離，即最大焦深Zmax可由式（3）得到

圖1 0～3 階貝塞爾光束全息圖和橫向光場Fig.1 Holograms of 0～3 order Bessel beams and transverse light fields

由式（3）可知，用相位調制法產生貝塞爾光束時，當入射高斯光束的波長和束腰半徑確定，貝塞爾光束的最大無衍射距離與軸錐透鏡的半徑r0呈正相關。

1.2 平行貝塞爾光束陣列產生方法

利用多個軸錐透鏡相位疊加的方法來產生貝塞爾光束陣列，就是將多個軸錐透鏡的復振幅相加，再取其相位來生成計算全息圖，其基礎單元是單個軸錐透鏡的相位，由式（1）來表示。傳統的相位串行疊加法一般是將多個軸錐透鏡相位直接進行疊加，往往會帶來很大的背景噪聲，并且光場質量較差，為了解決這個問題并提高窗口的“口徑利用率”，本文提出多個軸錐透鏡相位并行拼接的方法來產生高質量的平行貝塞爾光束陣列。下面將對串行疊加和并行拼接兩種策略分別進行理論分析。

1.2.1 多個軸錐透鏡相位串行疊加

串行疊加法是將觀察面中能產生多個不同位置的貝塞爾光束相位直接疊加在一起，得到的計算全息圖由式（4）表示為

式中，mod2π(·)函數表示返回2π 的余數，angle 是復振幅的相位參數，φBessel是軸錐透鏡的相位公式，m為貝塞爾光束的數量。

為了更直觀的說明串行法的疊加原理，設Δx和Δy為零階貝塞爾光束偏離觀察面中心的x和y方向上的偏移量，因此貝塞爾光束在觀察面的位置可由式（5）表示為

式中，當Δx和Δy都為0時，表示該零階貝塞爾光束在觀察面正中心。不同位置貝塞爾光束的全息圖如圖2。

圖2 不同位置貝塞爾光束的全息圖Fig.2 Hologram of Bessel beams at different positions

1.2.2 多個軸錐透鏡相位并行拼接

本文提出多個軸錐透鏡相位并行拼接的方法，以3×3 的貝塞爾光束陣列為例，將觀察窗口劃分為9 個小正方形，每個小正方形里放置一個軸錐透鏡相位，最后組合成一個512×512像素的相位圖，原理如圖3所示。

圖3 并行拼接法原理Fig.3 Schematic diagram of parallel splicing method

圖3 中，p1、p2、p3 分別為采樣點數171×171、170×170、172×172 的軸錐透鏡全息圖，橫豎相加均為512 像素，它們組合形成了512×512 像素的貝塞爾光束陣列全息圖，每個貝塞爾光束的位置由軸錐透鏡相位在全息圖中的位置確定。

1.3 發散貝塞爾光束陣列產生方法

將達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加，可以產生發散的貝塞爾光束陣列。陣列的階數取決于達曼光柵的結構參數，通過查表法，可以快速獲取達曼光柵相位轉折點的數值，避免了耗時的運算。然而，該方法生成的貝塞爾光束陣列信噪比較低，光場的質量嚴重依賴于達曼光柵的結構設計，無疑增加了計算難度和時間成本。對此，本文提出了一種多透鏡和軸錐透鏡相位疊加的方法來產生高質量的發散貝塞爾光束陣列。下面將對達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加、多透鏡和軸錐透鏡相位疊加兩種方法分別進行理論分析。

1.3.1 達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加

達曼光柵是在1971 年由達曼最早提出來的一種對稱相位結構光柵，但是存在相位轉折點多，效率低的缺點，后來研究者們對達曼光柵結構進行改進，不僅大幅減少了一個周期內相位轉折點的數量，還降低了達曼光柵制作難度。達曼光柵是一種傅里葉變換型分束器，將其置于傅里葉變換透鏡前，經平面波照射之后，在透鏡的后焦面（頻譜面）可以得到等光強、等間距且具有一定分束比的光陣列分布。光柵的相位一般為0或π，光柵周期歸一化為1，達曼光柵分束比由相位轉折點的位置控制，通過查找達曼光柵數值解的表可以快速獲得。為了設計方便，通常先設計一個一維光柵結構，再將其在正交方向展開，即可得到二維達曼光柵。將達曼光柵和軸錐透鏡相位進行疊加，可以生成貝塞爾光束陣列全息圖，如圖4 所示。

圖4 達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加原理Fig.4 Schematic diagram of Dammann grating and axicon phase superposition method

1.3.2 多透鏡和軸錐透鏡相位疊加

該方法首先利用多個透鏡相位疊加的方法在觀察面上產生多個焦點分布，再通過疊加軸錐透鏡相位，將每個焦點的光束都調制為貝塞爾光束，從而形成陣列貝塞爾光束，該方法的關鍵在于多透鏡相位疊加來生成位置可控的多焦點分布。

從幾何光學的角度看，凸透鏡對光束的會聚作用是因為光線經過透鏡時發生了折射現象；從物理光學的角度看，凸透鏡對光束的會聚作用主要是因為透鏡相位因子產生的相位調制。一束平行光經過凸透鏡就會在后焦面處會聚成一個焦點，凸透鏡的相位公式為

式中，f為透鏡的焦距，其取值與目標焦面的距離相關。xl和yl為目標焦平面中焦點的空間位置坐標。波數，λ為波長。

根據焦點在目標光場中的位置來設計計算全息圖，焦平面中焦點的位置取決于xl和yl，焦平面在空間中沿z軸傳輸方向的位置取決于f。平面多焦點分布的實現步驟為：先確定焦平面在空間中的位置f，再通過改變xl和yl的坐標，即可控制焦點在x-y橫平面中的位置，然后將這些具有不同焦點位置的透鏡相位疊加，即可得到該焦平面多焦點分布的相位。最終貝塞爾光束陣列的計算全息圖?arrayBessel為

式中，mod2π(·)函數表示返回2π 的余數，angle 是復振幅的相位參數，φ(x，y)為單個透鏡的相位，m為平面焦點的數量，φBessel是軸錐透鏡的相位公式。

1.4 光場質量評估

為了更好地評估所提方法產生貝塞爾光束陣列的光場質量，本文分別計算了所提方法和傳統方法所生成光束陣列的均勻度和衍射效率［12］。均勻度采用式（8）來表示

式中，Imax和Imin分別為出射光平面中目標光束能量的最大值和最小值。

雖然純相位型空間光調制器具有較高的衍射效率，但其本身的結構會不可避免的產生其余衍射級次的光，從而導致能量的損失，所以全息圖的衍射效率也極其重要。全息圖的衍射效率通常是指目標光場強度和入射光場強度的比值，由式（9）表示

式中，Itarget和Iincident分別表示目標光場強度和入射光場強度。

2 仿真

2.1 仿真參數

為了對比所提方法和傳統方法產生的貝塞爾光束陣列的光場質量，本文設計了3×3 的貝塞爾光束陣列，利用MATLAB 軟件分別仿真出四種方法得到的貝塞爾光束陣列。

仿真設置的采樣點數為512×512，像素大小為8 μm，入射光為高斯光束，波長為520 nm，束腰半徑為2 mm，軸錐透鏡的r0=200 μm，R=1 mm，將全息圖加載到空間光調制器后，經過入射光照射，即可用CCD在無衍射距離內觀測到陣列貝塞爾光束，光路示意圖如圖5 所示。仿真達曼光柵所用的歸一化相位轉折點坐標為0.735 26，光柵結構尺寸為4.096 mm×4.096 mm，光柵周期為0.126 mm×0.126 mm。

圖5 光路示意圖Fig.5 Schematic diagram of optical path

2.2 仿真結果

采用所提方法和傳統方法仿真得到的3×3 貝塞爾光束陣列計算全息圖，如圖6 所示。

用MATLAB 軟件對圖6 的計算全息圖分別進行仿真，得到所提方法和傳統方法產生的貝塞爾光束陣列的衍射圖樣，如圖7 所示。

從圖7 可以看出，多軸錐透鏡相位并行拼接法產生的貝塞爾光束陣列具有良好的均勻性，而且背景干凈，幾乎沒有“鬼影光斑”，且FWHM 為60 μm，相較于軸錐透鏡相位直接疊加的方法，光場質量有了很大的提升；多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法生成的貝塞爾光束陣列背景較為純凈，且光束分布均勻，FWHM 為20 μm，該方法所得的中心光斑直徑最小，光場質量較好。分析原因是：由于加入了透鏡相位，從而在頻譜面之后的一段距離內得到一個微型貝塞爾陣列光束，凸透鏡對零階貝塞爾光束陣列起了縮小的作用；多軸錐透鏡相位串行疊加法產生的貝塞爾光束陣列有較大的背景噪聲，FWHM 為120 μm，中心光斑直徑較大，整體光場質量較差；達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加法產生的陣列貝塞爾光束均勻性較差，FWHM 為64 μm，目標光場周圍分布數量較多、能量較大的雜散光束，且達曼光柵只能實現陣列式的光束分布，靈活性不足。

為了進一步觀測貝塞爾光束陣列在自由空間傳播時的光場，本文基于角譜衍射過程，模擬了它們各自沿z軸傳播時不同位置處的光場分布，如圖8 所示。為了便于觀測它們的光場質量，模擬了它們各自的光強剖面輪廓圖，如圖9 所示。

圖8 所提方法和傳統方法產生的貝塞爾光束陣列在沿傳輸方向120 mm、130 mm、140 mm 位置處的衍射圖樣Fig.8 The diffraction pattern of Bessel beam array generated by the proposed method and the traditional method at 120 mm，130 mm and 140 mm positions along the transmission direction

圖9 所提方法和傳統方法產生的貝塞爾光束陣列在沿傳輸方向120 mm、130 mm、140 mm 位置處的光強剖面輪廓Fig.9 The light intensity profile of the proposed method and the traditional method at 120 mm， 130 mm and 140 mm positions along the transmission direction

從仿真結果可以看出這四種方法的優劣：1）多軸錐透鏡相位并行拼接法產生的貝塞爾光束陣列不僅均勻性好，而且沒有明顯的背景噪聲，信噪比高，并且光束在無衍射距離內能保持幾乎相同大小的光強，光束平行性保持良好；2）多透鏡和軸錐透鏡相位疊加產生的貝塞爾光束陣列均勻性好，且中心光斑直徑最小，信噪比較高，但是無衍射距離較小。原因是凸透鏡對光束有會聚作用，得到的陣列貝塞爾光束相當于一個微型陣列貝塞爾光束，所以光束的中心光斑直徑小，且產生的陣列貝塞爾光束不是平行貝塞爾光束陣列，隨著衍射距離的增大，光束間距也會增大，呈發散狀；3）多軸錐透鏡相位串行疊加法得到的貝塞爾光束陣列光場質量最差，背景區域雜散光強，信噪比低；4）達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加法產生的貝塞爾光束陣列效果并不好，光強很低，且背景雜散光較強，均勻性差。產生該結果的原因有兩個，一是光柵本身就具有分光的特性，因此造成了能量的極大損失，二是本文沒有對模擬的達曼光柵結構參數進行優化，僅采用了已有的光柵數值解，所以仿真模擬的效果一般。

根據仿真所用的參數，利用式（3）計算得到的貝塞爾光束的最大無衍射距離為384.6 mm，為了觀測貝塞爾光束陣列的最大無衍射距離，本文仿真了四種方法產生的貝塞爾光束陣列的軸向光場截面圖，如圖10 所示。另外，根據式（8）和（9），計算了貝塞爾光束陣列在軸向120 mm 位置處橫向光場的均勻度和衍射效率，計算結果如表1 所示。

表1 所提方法和傳統方法所產生貝塞爾光束陣列的最大無衍射距離、均勻度和衍射效率Table 1 The maximum diffract-free distance， uniformity and diffraction efficiency of Bessel beam arrays produced by the proposed method and the traditional method

圖10 所提方法和傳統方法產生的貝塞爾光束陣列沿傳輸方向的截面光場分布Fig.10 The sectional field distribution of Bessel beam array along the transmission direction generated by the proposed method and the traditional method

圖10（b）中有部分截斷的區域，原因是：該方法是利用多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法產生的貝塞爾光束陣列，藍線位置為透鏡的焦面位置，所以該位置的光場分布為貝塞爾光束的傅里葉變換形式，即環狀分布，貝塞爾光束的發散角可以通過改變多透鏡相位中的位置坐標和焦距參數來控制。從表1 可以看出，平行貝塞爾光束陣列的無衍射距離更長，發散貝塞爾光束陣列的無衍射距離較短。另外，相比于傳統方法，所提方法產生的貝塞爾光束陣列背景更加純凈，因此有著更高的均勻性和衍射效率。

3 實驗

為了驗證仿真的結果，本文設計了實驗來觀測空間不同位置處貝塞爾光束陣列的光場分布，實驗光路如圖11 所示。實驗使用的反射型空間光調制器規格型號為HDSLM80R，分辨率為1 920×1 200，像素大小為8 μm，刷新頻率為60 Hz，波長范圍為450 nm～1 550 nm，在波長范圍內反射率為85%。CCD 像素尺寸為7.4 μm×7.4 μm，靶面大小1 600×1 200。

圖11 實驗光路Fig.11 Experimental light path diagram

入射光束（波長520 nm）為高斯光束，經過準直擴束鏡和光闌后，利用格蘭棱鏡調節激光偏振方向為水平，再照射到加載了全息圖的空間光調制器上，實現對入射光的相位調制，最后通過一個4f系統（焦距相同均為100 mm），用CCD 在相應位置處接收，移動CCD，分別采集圖像。相機采集的實驗結果如圖12 所示。

實驗分別采集了所提方法和傳統方法沿傳輸方向在120 mm、130 mm、140 mm 位置的光場圖像，實驗結果與仿真結果保持一致，說明本文所提方法的有效性，即多軸錐透鏡相位并行拼接法以及多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法所產生的貝塞爾光束陣列有著更高的均勻性和信噪比。從平行貝塞爾光束陣列產生方法來看，多軸錐透鏡相位并行拼接法比多軸錐透鏡相位串行疊加法生成的光場質量更好；從發散貝塞爾光束陣列產生方法來看，多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法比達曼光柵和軸錐透鏡相位疊加法有更高能量利用率和更小的中心光斑直徑。

4 結論

本文提出了兩種方法產生高質量的貝塞爾光束陣列，分別是多軸錐透鏡相位并行拼接法、多透鏡和軸錐透鏡相位疊加法，建立了所提方法的理論模型，并仿真模擬了所提方法和傳統方法產生的3×3 貝塞爾光束陣列的衍射圖樣，對比分析了它們的光場質量。結果表明，相比于傳統方法，本文所提方法產生的平行、發散貝塞爾光束陣列均勻性分別提高了2.97%和4.70%，衍射效率分別提高了48.22%和54.75%。通過實驗采集了貝塞爾光束陣列沿傳輸方向不同位置的橫向光場，與仿真結果一致。利用空間光調制器可編程的特性，可以便捷地調節貝塞爾光束的數量、間距和強度等參數，以滿足實際應用的需求。