初中數學學習過程中的一種策略——“猜”

徐世斌

（蘭州市第三中學 甘肅 蘭州 730030）

前言

所謂數學“猜想”（或稱猜測、假設），它是根據已知條件的數學原理對未知的量及其關系的似真推斷。它既有邏輯的成分，又含有非邏輯的成分。人類絕大多數知識的發現都源于猜想，與人類發展和社會進步息息相關的數學也如此。大數學家、物理學家牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現?！毙睦韺W家同樣認為：“猜想是人們根據事實，憑借直覺所做出的似真推測，是一種創造性的思維活動”。毫不夸張地說，數學“猜想”是推動科學發展的強大動力之一[1]。

九年義務教育數學課程標準（2022 版）明確規定：有效的教學活動是學生學和教師教的統一，在數學教學中，作為學習主體的學生學習應是一個主動的過程，同時作為學習的組織者、引導者與合作者的教師在教學活動的實施當中應注重啟發式，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題。從而促進一些知識和技能的掌握，方法和經驗的積累，良好的習慣和價值觀、核心素養的形成和確立。因此，要培養學生的各種技能，除了一些學習數學的重要方式外還必須得擔負起開發他們的思維的責任，思維的開發又離不開最初的觀察、猜測、實驗等基礎方法。無論是教學發展史和人類發展史（如著名的哥德巴赫猜想、費爾馬猜想、歐拉猜想等），還是平時的教學環節中一直在經歷的一些過程（如“探索—發現—猜想—證明”等），我們都會用到“猜想”，也正因為這些“猜想”，才有了后來學者們繼續為之而努力探索的必要；才有了我們的學生學習或者研究的方向。這些“猜想”，對推動數學的發展起著指導性的作用，對我們日常生活和教學中需要解決的數學問題有著“跨越式”的幫助。它為學生充分的思考和交流搭建了階梯，提供了進一步推敲和想象空間，因此倡導學生去“猜想”，鼓勵學生去積極“猜想”，對培養和發展學生的創造性和“猜想”意識，在新時代教育的當下尤其重要和必要。

讓我們一起來看看，在平時的數學教學中常常通過什么方式來猜想的和一些和“猜”有關的知識吧。

1.通過“自學”相關內容，充分地“議論”，正確地“引導”，直觀、形象的提出“猜想”

初中數學中的許多概念、性質、判定等知識，對于正處于由感性認識到理性認識轉化的初中生而言是比較抽象的。這就需要我們對數學課程目標中的過程目標更加重視起來，促使他們在“自學”過程中，善于通過觀察具體圖形或實物模型，結合自己的親身體驗、思維體驗以及主動探索，手、腦并用，在思想、行動上適時地與他人，或者與自己充分地 “議論”一番，在真誠地接受“引導”下，力爭在感性認知的基礎上獲得合理的“猜想”。這對加深學生的認知，進一步促進、提高學生的直覺思維是相當有益處的。

通過直觀、形象（有時候需要特殊的排列方式）把復雜的問題簡明、形象化，從而幫助學生探明解決問題的思路，預測得出結果的例子在初中數學中也很常見。比如在學習八年級下冊《不等式的基本性質》時，我們就是經歷了通過類比、猜想、驗證等一系列過程來發現不等式基本性質的。

如：北師大版八年級下冊第二章《一元一次不等式與一元一次不等式組》第2 節《不等式基本性質》這一節知識的學習，就直接體現出了“猜想”在本節課中的優勢。借鑒課本編排，大致過程是這樣的：起初，我們不妨可以讓學生先行自學課本這一節中的某些內容，隨后逐步實施一些問題性的“引導”和暗示，引導他們能正確運用類比“等式的基本性質”這一內容，大膽“猜想”出屬于“自己”的“不等式的基本性質”的相關內容（務必嘗試用文字語言敘述出來），接著再讓他們試舉出一些例子來加以驗證，最后結合以上實驗結果進行分析整理，歸納總結，最終形成課本中給定的“不等式的基本性質1、2、3”。通過這樣的形式即可實現“不等式的基本性質”的探索。在通過后面的一系列練習鞏固中發現其知識能被大多數學生所理解和掌握，更能靈活應用還不易出錯，簡單而高效[2]。在此知識授課過程中所體現到的就是“猜想”在這節課中的強大作用和魅力！以及課本中所呈現的獨特排列方式，這其中的每一點對我們順利猜想出“不等式的基本性質1、2、3”都起到了積極的、實際的作用。下面就是課本所體現的如何通過它的方式將我們的探索過程與猜想聯系起來的。具體如下：

首先，我們可以從這些簡單易懂的入手

如果2＜3；那么

一開始我們便要按要求對上面的“空格”進行填寫，之后，結合以上的形式（或者說排列、特點）通過縱向觀察，引導學生在對比中先去“猜想”發現了什么？緊接著讓大家得出一個初步的結論，最后再照此法換幾個具體的數字試一試并加以驗證，同時啟發學生思考下去，慢慢地讓學生嘗試用式子來表示先前的發現，不等式的基本性質，就這樣在一系列的嘗試、探索中逐步形成了。

在這一教學過程中，我們的學生始終是處于主導地位的，完全是通過自己的積極參與和簡單的填寫、判斷后，形成了“不等式的基本性質”的“雛形”，隨后在老師的幫助引導，同學的合作交流下，成功的實現了本節內容上由學到掌握的一個提升。相信期間的努力與付出都會被認為是值得的。

2.通過“引導”和“議論”摸索出來的一些規律“猜想”

數學中有很多的知識點，若要把每一個知識點都清楚地、準確地記住就很困難，靈活運用就更是難上加難了。（自學）然而，若以某些知識為載體，（議論）使其幫助學生一定程度上領悟數學思想方法、培養學生數學能力才是我們新時代新教育真正要做的、更是今后重視的?！皻w納”是數學思想和數學能力中很重要的一塊，而“操作+猜想”又是為“歸納”做保障的，更能在培養學生的“歸納”思想與技能方面起著至關重要的作用。例如：兩條直線相交最多只有一個交點，三條直線相交最多有三個交點，四條直線相交最多有六個交點……，那么n 條直線相交，最多有多少個交點？在找規律這一內容里經常會遇到類似的題目。怎么辦呢？不妨先動手畫一畫，再想一想，猜一猜，通過特例來研究考察問題的本質，歸納問題的規律和性質。于是在畫一畫，數一數之后得出：當畫第二條直線時，因為已有直線一條，因此最多可有1 個交點；當畫第三條直線時，最多可與原有的兩條直線都相交并有兩個交點，因此一共有1+2=3 個交點；當畫第四條時，在原來交點的基礎上最多可與原有的三條直線都相交成3 個交點，那么總共會出現1+2+3=6 個交點……漸漸地我們就會發現，當n 條直線相交時總共會得到：1+2+3+4+…+（n-1）個交點。這時我們就很容易回答：n 條直線相交，最多可有n（n-1）/2 個交點。我們還可以將這種方法靈活應用到一些知識的識記當中，這樣有效地學習不但不容易出錯，而且還不用花大量時間去死記硬背。數學中常用的“類比”和“猜想”結合法就是如此。例如：一個多邊形有幾條對角線、過多邊形的一個頂點有幾條對角線等等都可以這樣去解決。通過“操作”和“猜想”的一種雙向過程，讓學生在“操作”過程中建立起“猜想”，由“猜想”指引著“操作”，兩者相輔相成，逐步激起“歸納”與“總結”的欲望，實現從“特殊”到“一般”，快捷地“歸納”出更完美更具代表性的結論。相信這定是我們每個學生“夢寐以求”的事情。

3.通過備選答案和積累的經驗“引導”“猜想”

我們有時也可以通過估算法或者末尾計算法來快速“猜想”我們想要的結果。這種方法通常在選擇題中很常見。

總之，我們在教學過程中，經常會應用到一些策略和方法來解決問題，解決問題時更要善于、合理采用“自學·議論·引導”教學論的學習方法，注重精準創設“猜想”情境，大膽、合理進行“猜想”，充分展現和感受“猜想”在數學中的作用，讓學生在學習過程中以動手操作為基礎，以體驗樂趣為動力，以“猜想”為翅膀，讓他們在課堂上“動”起來，自由地操作、思考、討論、交流；讓他們在課堂上勇于表現，發展個性，展現自我，讓他們都能以“主體”的身份最大程度地參與到教學活動中來，實現自我，超越自我。我想：這是符合我們新課程改革的，也是我們數學教育的初衷[3]。

有效的教學活動是學生學和教師教的統一，作為學習的組織者、引導者和合作者的教師同樣應在“自學·議論·引導”教學論的學習方法合理引領下，要和學生一起共同科學地、巧妙地、理性地利用起來“猜想”這一方法，教會他們主動的認真聽講，獨立思考，自主探索。還應在激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難和引導學生在真實情景中發現問題和提出問題上多下功夫，促進他們理解和掌握一些基本知識和基本技能，體會和運用數學的思想和方法，獲得經驗，形成積極的、正確的價值觀。在課堂教學與緊密聯系的生活實踐中互相學習，共同探索、共同進步。力爭把“過一種幸福完整的教育生活”真真切切落實到每一個教育者和受教育者當中，讓我們的學生和老師一起伴隨著“猜想”，真正“自主”、“快樂”地學習數學，“創造數學”，在享受“猜想”帶給我們樂趣和多元化的同時去愛上數學！