基坑開挖誘發下臥既有隧道隆起變形解析解

馮國輝 ，陳光仔，張迪，孫峰，萬鵬，李雨杰，楊穎，徐長節,

(1.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大學 平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310028；3.浙大城市學院 土木工程系，浙江 杭州 310015；4.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北 武漢 430061；5.安徽大學 計算機科學與技術學院，安徽 合肥 230601；6.華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西 南昌 330013；7.華東交通大學 軌道交通基礎設施性能監測與保障國家重點實驗室，江西 南昌 330013)

城市地下空間的發展越來越受到人們的青睞，近些年來，城市地鐵的快速發展極大地改善了城市交通擁堵狀況，但其安全性也不容忽視。城市里地下空間的開挖勢必會對附近既有線產生較大的不利影響[1-5]。相較于有限元模擬[6-7]和離心機實驗[8-10]，理論解析方法擁有簡單方便、快速運算的優點，被廣泛應用于預測地下建筑物的應力應變。ZHANG 等[11]基于Mindlin 解和Winkler 地基模型提出了基坑開挖誘發下臥隧道隆起變形的簡化計算方法；LIANG等[12]將隧道簡化成歐拉梁擱置在Pasternak 地基模型上，采用差分法解析獲得隧道變形響應應答；康成等[13]考慮到土體彈性剛度非線性情況下隧道隆起變形的簡化計算；ZHANG 等[14]將既有管線埋置在非均質土體中，基于Pasternak 地基模型解析獲得既有管線在鄰近基坑開挖作用下的變形響應解答。為了進一步考慮隧道管片間的剪切變形，梁榮柱等[15-16]將隧道簡化成鐵木辛柯梁放置在單參數Winkler 和雙參數Pasternak 地基模型上，通過兩階段分析法得到隧道變形響應解析。LIU 等[17]從實際工程出發，采用雙參數Vlasov 地基模擬隧-土相互作用，闡述了在基坑與隧道豎向凈距非常近的情況下，考慮隧道側向土體影響對預測隧道變形響應可明顯提高預測精度。江杰等[18]采用Pasternak 地基和歐拉梁獲得層狀地基下基坑卸載誘發既有隧道隆起變形解析。然而由螺栓連接相鄰管片形成的地鐵隧道無法忽略隧道的剪切變形對隧道受力變形的影響[19]。同樣的，多位學者采用可考慮土體應力擴散的Kerr地基模型模擬隧道-土相互作用，馮國輝等[20-24]均指出Kerr地基模型計算結果與實測數據吻合較好。綜上所述，目前的理論方法缺乏考慮土體應力擴散效應對既有隧道受力變形的影響，基于此，本文在既有研究的基礎上提出一種新的解析方法，將隧道所受到的附加應力轉化成Fourier 級數，將隧道假定為放置在三參數Kerr 地基模型上的鐵木辛柯梁，進一步解析獲得基坑開挖誘發鄰近下臥隧道變形響應解答，并通過本文解析結果與既有工程案例進行對比驗證。隨后針對既有工程實況進行參數分析。

1 分析方法

1.1 隧道附加應力計算

矩形基坑與下臥隧道位置簡化如圖1所示?；娱L、寬及深度分別為L1，B1和H1，既有隧道軸線距離地表深度z0。同時，分別以基坑中點o′和隧道中心點o為原點建立2 個不同坐標系?o′η和xoy，其中o′o=d0，且2個坐標系成夾角θ。

圖1 基坑與下臥隧道位置關系Fig.1 Correlation position between existing tunnel and excavation

假設均勻分布在基坑底部的卸載為psd?d?(ps=γsH1，γs表示基坑土天然重度)，根據既有文獻計算基坑開挖引起下臥隧道軸線處的附加應力[12-13,15-16,21,24]，那么由Mindlin 解可知下臥隧道中軸線任意點(x,0,z0)的豎向附加應力q為[12]：

式中：υ為土體泊松比，且

基于大多數工況中隧道軸線與基坑邊緣非平行關系，此時需將2個坐標系進行轉換[12]，則有：

1.2 隧道變形理論推導

圖2 為基坑開挖誘發既有隧道變形計算簡圖，并采用Kerr地基模型模擬隧-土相互作用。

圖2 Kerr地基模型Fig.2 Kerr foundation model

基于前人的研究[22,24]，可知擱置在Kerr 地基模型上的隧道豎向位移控制方程為：

式中：w2為第2 層彈簧豎向位移，c和k分別為模型中第1 層和第2 層彈簧的地基反力，Gp為地基土體間的剪切效應，D為隧道直徑，EI和?分別為隧道抗彎及剪切剛度。

式(4)的齊次方程的形式為：

式(5)可化簡為：

式中：χ1，χ2和χ3滿足以下條件：

根據文獻[22]可知，6階齊次方程的根為

其中：α和β可由χ2和χ3來確定。

考慮到將隧道簡化成無限長梁(-L≤x≤L)，此時基坑開挖引起隧道軸線處的附加應力q(x)可簡化成傅里葉級數來表達：

那么控制方程(4)的近似解為：

式中：b1，b2，b3，b4，b5和b6可由隧道兩端的邊界條件確定，將式(9)～(11)代入式(4)，可得an為

此時，地基剪切層變形量w2的各階導數數學表達式為

式中：b7～b21可表示為：

由既有文獻可知，此時隧道首尾兩端可假定成自由[12-13,15,21,24]，即

此時，s1～s10可由b1～b26唯一數學表達，而b7～b26是由b1～b6唯一數學表達。式(17)可表示為：

式中：={b1,b2,b3,b4,b5,b6}T，{R}={R1,R2,R3,R4,R5,R6}T，Kij(i=1…6,j=1…6)是矩陣[K]的子項，可由式(18)得到：

至此，參數b1,b2,b3,b4,b5和b6可由式(18)獲得，下層彈簧位移w2(x)可由式(19)獲得，進一步隧道的隆起變形w(x)。值得注意的是，當模型中彈簧地基反力c=0時，可得退化的雙參數Pasternak地基解[24](T-P 法)；同樣的，當鐵木辛柯梁剪切剛度?=∞時，可得退化的歐拉梁解(EB-K法)。

1.3 Kerr地基參數確定

依據既有文獻[25]，傳統的Kerr地基參數確定較為簡單：

式中：Et為土體彈性模量。然而，傳統方法引入較多假設，缺乏考慮工程實況。馮國輝等[24,26-27]基于本工況采用數值模擬分析比較，獲得了Kerr 地基修正基床系數：

2 算例驗證

為了驗證本文所提出方法的正確性，筆者收集到相關工程已有文獻中的有限元數據[12]和上海某隧道工程[6]的實測數據，將收集到的有效數據與本文方法進行對比分析。

2.1 三維有限元數據對比

為了研究鄰近基坑開挖對下臥隧道的受力變形分析，LIANG 等[12]基于PLAXIS 3D 軟件建模研究了基坑開挖對下臥既有隧道的影響?；涌珊喕删匦?，基坑長、寬均為8 m，深6 m。為了消除邊界條件對三維模型的影響，設置三維模型的尺寸為200 m×200 m×40 m?；幽Ｐ椭?，為了抵抗水平土壓力的作用，LIANG等[12]設置了4個地下連續墻，每個連續墻的長度為10 m。模型中的土體簡化成各向同性的彈性體，均質土體中土的重度為18 kN/m3，隧道位于基坑的正下方且隧道與基坑長邊平行。根據志波由紀夫等[28-29]分別計算隧道的抗彎剛度及剪切剛度，具體隧道及土體相關參數信息見表1。

表1 工程實例1計算參數Table 1 Calculated parameters of actual project 1

圖3為基于本文方法計算結果、本文退化解析T-P 法、本文退化解析EB-K 法和有限元給出的基坑開挖引起下臥隧道隆起位移圖。由圖3 可見，4種不同計算方法獲得的隧道隆起位移趨勢均具有較好的一致性。相比于有限元的計算結果，本文方法得到的隧道最大隆起變形預測解略小，這主要歸因于隨著基坑的逐步開挖，基坑底部土體卸載導致隧道-土體剛度不斷降低，但本文解難以考慮土體剛度削弱的影響，進而引起本文解析結果偏小。從圖3 中可以看出，本文方法退化解EB-K法解析獲得的計算結果會更加低估隧道的隆起變形，這是由于歐拉梁沒有考慮到隧道剪切剛度的因素，致使隧道剛度相比于實際工況會有所偏大，隧道在同樣外力作用下抵抗變形的能力會增大。

圖3 隧道隆起位移計算及有限元結果對比圖Fig.3 Comparison of the calculated and finite element results of uplift deflection of tunnel

2.2 上海某隧道工程

黃宏偉等[6]曾報道過上海某隧道工程的工況，并建立相應的有限元模型模擬研究該工況下隧道變形響應?；涌珊喕山匦纹矫?，長、寬和深為50 m×10 m×11 m。北線隧道外徑11 m，襯砌厚55 cm，開挖基坑平面的長邊與北線隧道軸線的夾角為75°?？紤]到隧道軸線埋深20.8 m，基坑底部與隧道拱頂均在粉質土層中，地基土彈性模量可取30.8 MPa。梁榮柱等[15]根據志波由紀夫等[28-29]研究可分別計算隧道的抗彎剛度及剪切剛度，具體隧道及土體相關參數信息見表2。黃宏偉等[6]基于現場工況將有限元軟件模擬結果與北線隧道現場實測數據進行了對比，為了消除邊界條件對三維模型的影響，設置三維模型的尺寸為230 m×150 m×64 m，三維模型劃分網格后包含90 000 個結點單元。三維模型四周邊界采取水平方向位移約束，底部同時采取水平與豎直方向位移約束。梁榮柱等[15]將北線隧道簡化成鐵木辛柯梁擱置在Winkler 地基模型上，并比較了解析計算結果與現場實測數據。在此，本文以此隧道工程參數為基礎進行算例分析。

表2 工程實例2計算參數Table 2 Calculated parameters of actual project 2

圖4 為基于本文方法計算結果、黃宏偉等[6]和梁榮柱等[15]以及工程實測給出的基坑開挖引起下臥隧道隆起的隆起變形圖。由圖4 可見，3 種不同計算方法獲得的隧道隆起變形與實測結果對比均具有較好的一致性。雖然本文方法得到的隧道最大位移預測解略小于黃宏偉等[6]的有限元計算結果，這主要歸因于隨著基坑開挖深度不斷增大，坑底土體的卸載導致隧道-土體剛度不斷降低，顯然本文解難以考慮土體剛度削弱的影響。然而，梁榮柱等[15]提出的Winkler 地基模型計算結果會高估隧道的隆起變形，這是由于Winkler 地基模型不能考慮到土體的剪切作用，而土體的剪切作用在預測土與結構相互作用時是不可忽略的。從圖中還可以看出本文解和有限元結果均稍大于實測結果的最大值，造成這一偏差的原因在計算時難以準確把握工程施工過程中土體參數變化，致使理論計算結果偏大。

圖4 隧道隆起位移計算、有限元及實測數據對比Fig.4 Comparison of the calculated，finite element and measured results of uplift deflection of tunnel

3 參數分析

為了研究隧道剪切剛度、土體彈性模量和隧道軸線埋深變化對既有隧道受力變形的影響，以上海某隧道工程的基本工況為基本參數，并采取控制變量法進行參數分析。

3.1 隧道剪切剛度

取6 組不同的隧道剪切剛度進行分析，取?=ts(?)eq，其中ts=0.1，0.2，0.5，1，5，10 且(?)eq為原上海工程中隧道剪切剛度，并通過本文方法獲得隧道受力變形響應。

由圖5(a)可知，隧道位移會隨著剪切剛度的增大而不斷減小。同樣的，由圖5(b)可知，隧道剪切剛度不斷增加時，隧道最大變形量逐漸減小，同時其衰減速率逐步下降。這是由于隧道抗力隨剪切剛度的增大而不斷增強，待隧道剛度增大到一定的程度時，隧道剪切剛度的變化對隧道最大變形位移不再敏感，這也符合前人的研究結果[16]。

圖5 不同隧道剪切剛度下隧道受力變形變化Fig.5 Tunnel stress and deflection variation in different tunnel shear stiffness condition

3.2 土體彈性模量

取5組不同的土體彈性模量進行分析，分別為Es=5，10，20，40 和80 MPa。在此參數分析中，采用本文方法以及可退化的Pasternak地基模型(T-P法)獲得隧道受力變形響應。

圖6為土體彈性模量變化引起隧道最大豎向變形wmax和彎矩Mmax變化曲線。本文方法計算結果顯示，隨著土體彈性模量從5 MPa 逐漸增大到80 MPa，隧道的最大變形位移從35.1 mm逐漸減小到4.0 mm，降幅接近89%，但其減速是不斷減緩的；彎矩峰值從23.5 MN?m逐漸減小到7.1 MN?m，降幅接近70%，其降幅速度也在逐漸減小。這是由于隨著土體彈性模量的增加，隧道所受附加應力逐漸減小，顯然隧道變形及其內力均逐步減小。當采用退化解T-P 法時，隧道變形及其內力變化和本文方法的分析結果基本相同。從圖6 可以看出，土體彈性模量越小，退化解與本文解峰值的差值越大，考慮到軟土地區土體彈性模量普遍偏小，故采用本文方法對相應工程中隧道變形及其內力的預測更為合理。

圖6 不同土體模量變下隧道受力變形變化Fig.6 Tunnel stress and deflection variation in different elastic model condition

3.3 隧道埋深

取5 組不同隧道軸線埋深，即z0=18，20，22，24，26 m?？紤]到歐拉梁與鐵木辛柯梁計算結果的差別，在此次參數分析中，采用本文方法以及可退化的歐拉梁(EB-K 法)獲得隧道受力變形響應。

圖7 為隧道埋深變化引起隧道最大豎向變形wmax和彎矩Mmax變化曲線。本文方法計算結果顯示，隨著隧道埋深從18 m 逐漸增大到26 m，隧道的最大變形位移從12.8 mm 逐漸減小到9.4 mm，降幅接近27%，且其減速基本不變；彎矩峰值從12.0 MN ?m 逐漸減小到7.0 MN ?m，降幅接近42%，其速率基本不變。這是由于隧道和基坑豎向凈距越大，隧道收到開挖的影響越小。退化解E-K法計算結果趨勢和本文方法一致，但退化解將低估隧道的變形但會高估隧道的內力，這是由于歐拉梁將梁體的剪切變形視為無窮大，此時歐拉梁抵抗變形能力增強，同樣附加應力下梁體變形就會減小，而梁體所受內力會逐步增強。

圖7 不同隧道埋深變化下隧道受力變形變化Fig.7 Tunnel stress and deflection variation in different depth of tunnel

4 結論

1) 將基坑卸載作用下誘發既有隧道位置處的附加應力轉化成Fourier 級數附加在既有隧道上，將隧道假定為放置在Kerr 地基模型上的鐵木辛柯梁，結合隧道邊界條件得到隧道隆起變形解析方法。

2) 與有限元模擬數據及現場監測數據對比，本方法解析結果均具有較好的一致性。與既有研究解析及退化解T-P 計算結果對比，本方法預測結果更貼近實測數據。

3) 參數分析結果表明：隧道變形會隨剪切剛度增大而不斷減小，但隧道所受彎矩和剪力會隨之不斷增大；土體彈性模量和隧道埋深的增大均會引起隧道變形以及彎矩和剪力不斷減小。相比于本文可退化的T-P 法，本文方法會低估隧道變形及其內力；相比于本文方法，本文可退化的E-K法計算結果將低估隧道變形，但會高估隧道內力的大小。