學思探微，歸納剖析
——備考不等式及其解法

■四川省綿陽實驗高級中學 黃 芹

在近幾年的高考解答題中,關于不等式的考查主要包括解一元二次不等式、指對數不等式、三角不等式等。在高考選填題中,還常常涉及利用函數圖像解不等式、利用函數單調性解不等式等。本文旨在歸納不等式及其解法的題目類型,挖掘做題方法和技巧,希望對同學們的復習備考能有所幫助。

類型一、利用函數圖像解不等式

抓住函數圖像特征(定義域、值域、對稱性、單調性、周期性和特殊點等),結合函數圖像和選項確定答案。

例 1(2023 年商丘模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)在[0,+∞)上的圖像如圖1 所示,則不等式x2f(x)＞2f(x)的解集為( )。

圖1

解析：根據奇函數圖像的特征,作出f(x)在(-∞,0)上的圖像,如圖2所示。

圖2

由x2f(x)＞2f(x),得(x2-2)f(x)＞0,則結合f(x)的圖像解得x＜-2或或。

例 2(2023 年貴陽模擬)設函數f(x)的定義域為R,滿足f(x+1)=2f(x),且當x∈(0,1] 時,f(x)=x(x-1)。若對任意的x∈(-∞,m],都有f(x)≥-成立,則m的取值范圍為( )。

解析：已知當x∈(0,1]時,f(x)=x(x-1),f(x+1)=2f(x)。

所以當x∈(1,2]時,f(x)=2f(x-1),即f(x)向右平移1個單位長度,縱坐標變為原來的2倍。

當x∈(2,3]時,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),如圖3所示。

圖3

令4(x-2)(x-3)=,解得x1=。

所以要使對任意的x∈(-∞,m],都有成立,則。

所以m的取值范圍為。故選B。

點睛:對f(x+1)=2f(x)的理解是畫出函數圖像的關鍵。解不等式轉化為找y=上方的圖像所對應的x的取值范圍。

類型二、由表達式直接運算解不等式

解一元二次不等式、指數不等式、對數不等式、含絕對值的不等式是直接求解不等式的常見題型。解指對數不等式的關鍵是熟練掌握指對數運算法則及指對數函數的圖像特征。解含絕對值不等式的關鍵是能否利用零點分段法去掉絕對值。

例3(2023 年重慶質檢)已知函數則f(x)＜f(x+1)的解集為_____。

解析：當x≤0 時,x+1≤1,f(x)＜f(x+1)等價于x2-1＜(x+1)2-1,解得;

當0＜x≤1時,x+1＞1,此時f(x)=x2-1≤0,f(x+1)=log2(x+1)＞0,所以恒有f(x)＜f(x+1);

當x＞1時,x+1＞2,f(x)＜f(x+1)等價于log2x＜log2(x+1),此時也恒成立。

綜上可得,不等式f(x)＜f(x+1)的解集為。

點睛:本題的解答可歸結為解一元二次不等式和對數不等式。解對數不等式的關鍵是利用對數函數的單調性。

例4(2023 年南昌模擬)已知函數f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函數。

(1)求k;

(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1)。

解析：(1)因為f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x),即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx對任意的x∈R 恒成立,所以2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=,所以k=-1。

(2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=(3x+3-x),則不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等價于3x+3-x≥7·3x-1＞0。

由7·3x-1＞0,解得x＞-log37;

由3x+3-x≥7·3x-1,得6·(3x)2-3x-1≤0,得,即x≤-log32。

綜上可得,所求不等式的解集為(-log37,-log32]。

點睛:第(2)問解對數不等式,轉化為解指數不等式和一元二次不等式。解指數不等式的關鍵是利用指數函數的單調性。

例5(2023年上海高三專題練習)已知a,b,c∈R,若關于x的不等式0≤x+的解集為[x1,x2]∪{x3}(x3＞x2＞x1＞0),則( )。

A.不存在有序數組(a,b,c),使得x2-x1=1

B.存在唯一有序數組(a,b,c),使得x2-x1=1

C.有且只有兩組有序數組(a,b,c),使得x2-x1=1

D.存在無窮多組有序數組(a,b,c),使得x2-x1=1

解析：由題意知不等式0≤x2+bx+a≤c-x,即的解集是[x1,x2]∪{x3}(x3＞x2＞x1＞0),則不等式x2+bx+a≥0的解集是{x|x≤x2或x≥x3},不等式x2+bx+a≤c-x的解集是{x|x1≤x≤x3}。

①-②得x2-x1=1,所以存在無窮多組有序數組(a,b,c),使得x2-x1=1。故選D。

點睛:本題解答的關鍵是轉化求一元二次不等式的解集,從而結合一元二次方程根與系數的關系得出結論。

類型三、利用函數的單調性解不等式

例6(2023 年揚中檢測)已知函數f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數,在[0,3]上單調遞減,并且f(-m2+2m-2),則m的取值范圍是_____。

解析：因為函數f(x)在定義域[2-a,3]上是偶函數,所以2-a+3=0,解得a=5,所以f(-m2-1)＞f(-m2+2m-2)。

因為f(-x)=f(x)=f(|x|),所以f(|-m2-1|)＞f(|-m2+2m-2|)。

又因為f(x)在[0,3]上單調遞減,所以解得。故m的取值范圍是。

點睛:本題是利用抽象函數的奇偶性和單調性解不等式,特別是偶函數的性質。

點睛:觀察不等式的結構特點,構造相應的函數,分析函數的單調性,從而應用單調性解不等式。

類型四、討論函數的單調性

已知函數的解析式,討論函數的單調性,本質上是解不等式f'(x)＞0,f'(x)＜0。含參數的不等式需要對參數進行分類討論,討論的依據常常是判斷對應方程是否有實根及比較對應方程的根的大小,考查函數、方程、不等式之間的相互轉化,是綜合性題目。

例8(2023 年合肥質檢)已知函數,試討論函數f(x)的單調性。

點睛:解含參一元二次不等式時,應先判斷對應一元二次方程是否有實根,再討論一元二次方程的根的大小。

例9(2023年山西聯考模擬預測)設函數f(x)=(x+1)ex+m(x+2)2,m∈R,討論f(x)的單調性。

解析：依題意得f'(x)=(x+2)ex+2m(x+2)=(x+2)(ex+2m)。

①若m≥0,則當f'(x)＜0 時,得x＜-2;當f'(x)＞0時,得x＞-2。所以f(x)在(-∞,-2)上單調遞減,在(-2,+∞)上單調遞增。

點睛:通過判斷方程(x+2)(ex+2m)=0的根的個數及比較方程根的大小來討論函數f(x)的單調性。

備考不等式及其解法,打好基礎是關鍵,基礎知識包括熟練掌握基本初等函數的圖像和性質,函數與方程、不等式的關聯和轉化,靈活運用函數圖像、函數性質解不等式,典型題目掌握通性通法才能做到融會貫通,靈活運用。