解析幾何八大典型易錯點的糾正與剖析

■廣東省惠州仲愷中學 陳偉流

解析幾何是高中數學幾何與代數主線中的重要內容,其內容涵蓋點、直線、曲線等多種基本概念,涉及對斜率、長度、面積等多種幾何量的求解,在直線與直線、直線與曲線、曲線與曲線的位置關系情境中考查同學們對基本方法、基本思想的有效掌握及靈活應用。但在實際學習中,不少同學卻在基本概念、方法技能、解題思維等方面出現理解偏差、考慮不周、思維定式等不良現象,遠未達到深度理解并有效掌握的本質性要求。為此,筆者以解析幾何中八大典型易錯點為例,在錯解糾正剖析的基礎上,進一步點撥相關題型的求解方法,旨在促進同學們對基本概念、方法技能及解題思維能有更本質、更全面的認知理解,從而促進高考備考中的提質增效。

一、斜率與傾斜角關系辨識不清

剖析：沒有正確認識直線的斜率與傾斜角的關系,認為y=tan α在(0,π)上是遞增函數,出現思維定式的誤判。

圖1

點撥：對于直線斜率與傾斜角的關系判斷或范圍求解問題,要用函數思想、數形結合思想等進行指導解題,確保思維的嚴密性。

二、平行關系判斷中忽略充分性驗證

例2已知直線x+2ay-1=0 與直線(a-2)x-ay+2=0平行,則a=( )。

錯解：由兩直線平行得-a=2a(a-2),解得a=0或。故選C。

剖析：應用兩直線的平行關系進行必要性判斷,最后忽略了充分性驗證,產生增根。

正解：由兩直線平行得所以。故選D。

點撥：對于直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,由此可知平行關系判斷中需進行A1C2≠A2C1的充分性驗證,避免兩直線重復產生增根,垂直關系中則無需驗證。

三、忽略直線方程的適用范圍,產生漏解

例3求過點(2,4)且在坐標軸上的截距之和為0的直線方程。

錯解：設直線方程為,因為直線過點(2,4),所以,解得a=-2,代入直線方程得x-y+2=0。

剖析：截距式方程只適用于截距不為0和不平行于坐標軸的情形,錯解中沒有考慮截距為0的情形,導致漏解。

正解：當直線的截距均為0時,直線過原點,易得其方程為y=2x;當直線的截距均不為0時,同錯解得直線方程為x-y+2=0。綜上可得,所求的直線方程為2x-y=0或x-y+2=0。

點撥：在截距相等(反)、截距絕對值相等或截距成倍數的情境中應用截距式方程,應考慮截距為0 及不為0 的特殊與一般的情形。同樣的,兩點式方程也不適用于斜率為0和斜率不存在的情形,所以應用直線方程時應充分考慮方程的適用范疇,避免因思維不嚴密而出現漏解。

四、忽略圓方程成立的必要條件

例4若過點A(4,2)可以作兩條直線與圓C:(x-3m)2+(y-4m)2=25(m+4)2相切,則點A在圓C的____(填“外部”“內部”“上面”),實數m的取值范圍是_____。

錯解：易知點A(4,2)在圓C的外部,代入圓C的方程可得(4-3m)2+(2-4m)2＞25(m+4)2,解得。

剖析：忽略圓的半徑需大于0 的必要條件,產生思維漏洞。

正解：易知點A(4,2)在圓C的外部,代入圓C的方程得(4-3m)2+(2-4m)2＞25(m+4)2,且25(m+4)2＞0,解得m＜且m≠-4,故實數m的取值范圍是。

點撥：對于圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中的r＞0 及一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的Dx+Ey+F＞0的必要條件是解題過程中容易忽略的點。

五、軌跡方程求解中忽略幾何圖形存在的必要條件

例5在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,c,b依次成等差數列,且a＞c＞b,|AB|=2,求頂點C的軌跡方程。

錯解：由a,c,b依次成等差數列得a+b=2c=4,即|CA|+|CB|=4＞|AB|,故頂點C的軌跡為橢圓,如圖2,以AB的中點為原點建立平面直角坐標系,則易求得橢圓方程為。

圖2

剖析：求解中忽略了邊長的大小關系及A,B,C三點不共線的前提條件。

正解：因為a＞b,所以|CB|＞|CA|,故軌跡只能取橢圓在y軸左側的部分,且A,B,C三點不共線,需挖去橢圓的左頂點(-2,0),故頂點C的軌跡方程為(-2＜x＜0)。

點撥：在求解動點軌跡方程時,除了要注意圓錐曲線成立的前提條件,還需注意動點在某些特殊位置是否與題意的幾何條件產生矛盾,從而明晰變量的取值范圍,培養思維的嚴密性。

六、對直線與圓錐曲線的位置關系理解有偏差

例6已知過點(0,3)的直線與雙曲線有唯一公共點,則這樣的直線有_____條。

錯解：設所求直線方程為y=kx+3,聯消去y整理得(1-2k2)x2-12kx-20=0,由Δ=(-12k)2+80(1-2k2)=0得,故滿足題意的直線有2條。

剖析：錯解中混淆了直線與雙曲線相切和有一個公共點的邏輯關系。

正解：當直線與雙曲線的漸近線平行時,其方程為,分別與雙曲線的一支有一個公共點,符合題意;當直線與漸近線不平行時,設其方程為,同錯解得,故滿足題意的直線有4條。

點撥：在判斷直線與圓錐曲線的關系位置中,若直線與封閉曲線(圓及橢圓)相切,則二者只有一個公共點;若直線與雙曲線只有一個交點,則直線與曲線相切或平行于雙曲線的一條漸近線。

七、忽略根的判別式的適用范圍

例7已知圓(x-a)2+y2=4與拋物線y2=6x沒有公共點,求a的取值范圍。

錯解：聯立消去y整理得x2+(6-2a)x+a2-4=0,可知方程無實數解,故Δ=(6-2a)2-4(a2-4)＜0,解得,故a的取值范圍為。

剖析：根的判別式只適用于直線與曲線的位置關系的判斷,并不適用于曲線與曲線的位置關系的判斷,錯解忽略了根的判別式的適用范圍。

正解：易知圓的圓心為(a,0),半徑為2,拋物線的頂點為(0,0)。當圓與拋物線內切時,a=2;當圓與拋物線外切時,a=-2。要使兩者無交點,則需a＞2或a＜-2,故a的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞)。

點撥：在判斷兩個曲線的位置關系時,可通過幾何圖形的臨界狀態(曲線相切),以形助數找到參數的臨界值,再對圖形進行動態分析,從而進一步明確參數的取值范圍。

八、運算路徑、方法不恰當,導致運算受阻或產生困難

例8已知橢圓C:,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線l與橢圓C交于A,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M。試判斷直線BM與直線DE的位置關系,并說明理由。

剖析：在錯解中忽略了直線斜率存在的前提條件,同時沒有遵循先特殊后一般的求解邏輯,一旦后續求解出現卡殼就會使解題停滯不前,繼續引發解題失敗。

當直線AB的斜率存在時,同錯解得kBM=1=kDE,故BM∥DE。

綜上可得,直線BM與直線DE平行。

點撥：在解析幾何的定值、定點、位置關系判斷等問題的求解中,可優先通過直線斜率不存在(或斜率為0)等特殊條件對問題進行必要性的結論探索,再通過一般性證明結論的完整性,以減少運算方向的不明確性和阻礙性,提升運算效益。