鴨舵式雙旋彈非線性角運動及其分岔特性

趙新新, 史金光, 王中原, 張寧

(南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

現代戰爭對彈藥精確打擊能力的需求日益提高,設法消除或控制隨機誤差影響、改善炮彈地面密集度,已經成為兵器彈箭技術發展的重要方向[1]。在此背景下,為克服彈丸轉速過快對姿態測量和機構動作等的不利影響,以實現對常規旋轉炮彈的精確化改造,一類采用滾動軸承連接、具有前/后體雙自旋結構的彈道修正彈應運而生,并憑借對原彈結構改動較小、控制簡易和低成本等優勢,得到相關學者和研究機構的廣泛關注[2]。

在當前國內外已經開展的各類將常規旋轉炮彈改造為雙旋彈的研究中,根據修正機構特點以及在彈上安裝位置的不同,可將其主要技術途徑歸納為兩種[3]:一種是在彈丸頭部加裝具有鴨舵機構的修正組件,采用“前體低旋+后體高旋”的策略,通過控制前體滾轉角控制方位實現彈道修正;另一種則是在彈丸尾部加裝微型擾流片,采用“前體高旋+后體低旋”的策略,由擾流片張開提供彈道修正所需的控制力和力矩。由于第1種可以依靠舵片產生反轉力矩,使前體在彈道初始段快速實現自主減旋,從原理上降低了對驅動電機的性能要求,因此表現出較好的發展潛力和應用前景,并已有學者和研究機構圍繞其氣動特性分析[4-11]、彈道模型建立[12-14]、修正策略與控制方法研究[15-20]等開展了大量工作,所得結果為該類炮彈的研制提供了理論基礎。

近年來隨著研究的深入,針對鴨舵式雙旋彈在飛行過程中遇到的穩定性問題,相關工作開始重點圍繞其角運動理論和穩定性條件等展開。其中Wernert等[21]針對一種舵偏角可調節的鴨舵式雙旋彈,分析了其在線性假設下的穩定性問題;Zhu等[22]將攻角引起的舵片升力合并到后體上,研究了該類炮彈的飛行穩定性條件;文獻[23-24]中對重力、控制力作用下的動態響應規律進行討論,分析了舵片周期性干擾引起的強迫角運動;馬國梁等[25]采用Lyapunov方法,推導了前體滾轉角任意時變條件下的絕對穩定性判據;朱煌等[26]和趙新新等[27-28]通過建立并求解復攻角運動方程,對該類炮彈角運動的形成機理和彈道修正的力學本質進行闡釋,提出其全彈道飛行的動態穩定性條件和前體結構設計的舵片參數約束條件。

上述研究主要圍繞鴨舵式雙旋彈的線性角運動理論展開,對其非線性問題分析較少,部分已開展的工作實質上也是在小攻角假設下進行[29]。但是考慮舵控起始擾動和強迫作用等的影響[24, 27-28],該類炮彈復攻角的幅值一般較大,尤其是在起控后前體滾轉角控制方位多次切換時,甚至可能超出某一界限,使原基于小攻角假設得到的穩定性判據等結果不再準確,因此本文擬對其非線性角運動及其分岔特性展開研究。在非滾轉系中建立改進的6自由度彈道方程,并在考慮幾何非線性和氣動非線性條件下,導出其精確的廣義復攻角運動方程及其狀態空間模型。據此推導該類炮彈大攻角飛行時的動態穩定性判據,并通過外彈道數值仿真計算,討論不同因素對廣義復攻角運動及其分岔特性的影響,以期為工程研制提供理論參考。

1 動力學建模

1.1 物理模型

鴨舵式雙旋彈主要由裝有修正組件的前體和高旋后體兩部分構成,其中前體結構如圖1所示:差動布置的舵片1、3為減旋舵,用于產生反轉力矩,使前體轉速在彈道初始段快速下降,斜置角為δf;同向布置的舵片2、4為操縱舵,用于提供彈道修正所需的控制力和力矩,舵偏角為δd。

圖1 前體結構示意圖Fig.1 The configuration of the forebody

該類炮彈在出炮口后開始無控飛行,后體高速旋轉,以維持彈丸飛行穩定,轉速約為300 r/s;前體快速減旋,為有控飛行時的姿態測量和機構動作提供條件,轉速在反轉力矩和前/后體滾轉阻尼力矩綜合作用下達到某一平衡轉速,一般為5～20 r/s。飛行一段時間后進入有控飛行階段,前體滾轉角在驅動電機作用下迅速切換到某一固定方位,并且會依據后續彈道諸元與預定彈道諸元的偏差進行有限次調整,前體轉速在一段時間內近似為0 r/s。

1.2 坐標系定義及轉換

1)基準坐標系:用作各坐標系的基準,記為E。該坐標系的原點為彈丸質心,Ox軸在水平面內指向射擊方向,Oy軸豎直向上,Oz軸按右手定則確定。

2)非滾轉坐標系:由基準坐標系旋轉得到,記為N。該坐標系OxN軸沿彈軸方向,OyN軸垂直彈軸向上,OzN軸按右手定則確定。其相對基準坐標系的轉動角速度記為ωN,且ωN軸向分量為0 r/s。

3)前體坐標系:用于確定前體滾轉角方位,記為F。該坐標系與非滾轉坐標系相差前體滾轉角γF,二者的轉換矩陣為

(1)

1.3 改進的6自由度彈道方程

為便于研究,依據鴨舵式雙旋彈前體滾轉角速度可以進行設計的特點,結合后體轉速導出約化滾轉角速度,建立其改進的6自由度彈道方程如下:

1)依據質心運動定理,在非滾轉坐標系下建立其質心運動方程,分量形式為

(2)

式中:vNx、vNy、vNz為速度矢量v在非滾轉坐標系中的分量;ωNy、ωNz為ωN在非滾轉坐標系中的橫向分量;m為彈丸質量;FNx,p、FNy,p、FNz,p分別為彈體空氣動力在非滾轉坐標系中的分量;FNx,c、FNy,c、FNz,c分別為舵片控制力在非滾轉坐標系中的分量;gNx、gNy、gNz分別為重力加速度矢量g在非滾轉坐標系中的分量。

2)依據動量矩定理,在非滾轉坐標系下建立其繞質心運動方程,分量形式為

(3)

式中:C、A分別為彈丸極轉動慣量和赤道轉動慣量;p為約化滾轉角速度,p=(pFCF+pACA)/C,pF、pA分別為前體和后體的滾轉角速度,CF、CA分別為前體和后體的極轉動慣量;MNx,p、MNy,p、MNz,p為彈體空氣動力矩在非滾轉系坐標中的分量;MNx,c、MNy,c、MNz,c為舵片控制力矩在非滾轉坐標系中的分量。

1.4 非線性角運動模型

為簡化問題,在考慮幾何非線性條件下,引入廣義復攻角對彈軸相對速度矢量的空間方位進行準確描述,表達式為

(4)

其對時間的1階導數為

(5)

(6)

1.5 空氣動力和力矩模型

考慮前/后體的干擾作用,鴨舵式雙旋彈的氣動非線性程度較高,尤其是在大攻角情況下不宜略去,故本文建立其非線性空氣動力和力矩模型。

1.5.1 彈體空氣動力和力矩

將前體軸對稱部分與后體合并記作彈體,其空氣動力和力矩模型與常規旋轉彈的相似。略去較小的馬格努斯力,彈體空氣動力主要由升力和阻力構成,在非滾轉坐標系中的表達式為

(7)

式中:η為非線性因子,η=vNx/v,體現大攻角飛行時幾何非線性的影響;ρ為空氣密度;S為特征面積;cx為阻力系數,cx=cx0+cx2δ2,cx0、cx2分別為其線性項和非線性項,δ為廣義復攻角幅值;c′y為升力系數對δ的導數,c′y=cy0+cy2δ2,cy0、cy2分別為其線性項和非線性項。

彈體空氣動力沿v方向的分量為

(8)

不考慮氣動偏心和動不平衡影響,彈體空氣動力矩主要包括靜力矩、赤道阻尼力矩、極阻尼力矩和馬格努斯力矩,在非滾轉坐標系中的表達式為

(9)

式中:l為特征長度;d為彈徑;m′xz為極阻尼力矩系數對(pd/v)的導數,m′xz=mxz0+mxz2δ2,mxz0、mxz2分別為其線性項和非線性項;m′z為靜力矩系數對δ的導數,m′z=mz0+mz2δ2,mz0、mz2分別為其線性項和非線性項;m′zz為赤道阻尼力矩系數對(ωNd/v)的導數,m′zz=mzz0+mzz2δ2,mzz0、mzz2分別為其線性項和非線性項;m″y為馬格努斯力矩系數對(pd/v)和δ的聯合導數,m″y=my0+my2δ2,my0、my2分別為其線性項和非線性項。

1.5.2 舵片控制力和力矩

在外彈道飛行中,舵片產生的軸向力較小,可以略去;法向力不僅與舵偏角有關,還受到彈體攻角的影響,在前體坐標系中的擬合公式可以寫為

(10)

式中:c′f為減旋舵法向力系數對其有效攻角的導數,c′f=cf0+cf2δ2,cf0、cf2分別為其線性項和非線性項;α1,3為舵片1、3的有效攻角,α1,3=±δf-δ1sinγF+δ2cosγF,δf為斜置角;c′d為操縱舵法向力系數對其有效攻角的導數,c′d=cd0+cd2δ2,cd0、cd2分別為其線性項和非線性項;α2,4為舵片2、4的有效攻角,α2,4=δd+δ1cosγF+δ2sinγF,δd為舵偏角。

由于減旋舵和操縱舵作用上的差異,對前體進行設計時二者的氣動參數可能不同,則假設

(11)

由式(10)整理可得舵片控制力在非滾轉坐標系中的表達式為

(12)

式中:ν為廣義復攻角的相位。

舵片控制力沿v方向的分量為

(13)

綜合考慮式(12)對應的靜力矩和由一對減旋舵產生的反轉力矩,可得舵片控制力矩在非滾轉系中的表達式為

(14)

式中:L為舵片壓心沿彈軸方向到彈丸質心的距離;Mx,w為反轉力矩,Mx,w=ρv2Slm′x,wδF/2,m′x,w為反轉力矩系數對δf的導數,m′x,w=mx,w,0+mx,w,2δ2,mx,w,0、mx,w,2分別為其線性項和非線性項。

2 非線性角運動及其分岔特性分析

2.1 非線性廣義復攻角運動方程

將作用在彈丸上的空氣動力和力矩代入式(6),可得

(15)

式中:P=Cp/(Av)。

(16)

由于δf和δd取值較小(一般為4°～8°),且旋轉穩定彈的復攻角運動是以復平衡攻角為中心做二圓運動,故將等號右邊量級較小的第2、3和4項略去,再對其做周期平均處理,可得

(17)

式中:R為大攻角飛行時幾何非線性的影響,R=(η2-1)(bf+bc/2)。

將式(15)前兩式寫為矩陣形式,可得

(18)

將式(15)后兩式寫為矩陣形式,可得

(19)

聯立式(18)～式(19),并將方程轉化為對弧長s的導數,推導可得包含幾何非線性和氣動非線性的精確廣義復攻角運動方程為

(20)

式中:δ′1、δ′2分別為δ1、δ2對s的1階導數;δ″1、δ″2分別為δ1、δ2對s的2階導數;a11、a12、a21、a22、b11、b12、b21、b22為系數矩陣中各元素;c1、c2為非齊次項系數。

由于bx等空氣動力和力矩組合參數、g/v2和η′/η(η′為η對弧長的1階導數)均量級較小,可以略去彼此間乘積的高階小項,整理得到式(20)中各參數的表達式為

(21)

2.2 分岔特性分析

分岔概念源于對力學失穩問題的研究,是指系統相軌跡拓撲結構隨任意小的參數變化而發生突變的現象,依據具體問題的不同,主要可以分為靜態分岔、動態分岔以及局部分岔和全局分岔等[30]。對于本文研究的鴨舵式雙旋彈,為保證其具有良好的飛行特性,首先必須在小攻角條件下動態穩定。在此基礎上,對其廣義復攻角運動的分岔特性進行研究,有關問題即可轉換為次臨界狀態下的閉軌線分岔,通過對穩定平衡點附近不穩定極限環的形成條件及其有關性質進行分析,探討不同因素(包括非線性氣動系數(導數)、彈道位置以及舵片控制力和力矩)對極限環半徑的影響。

首先根據式(20)給出的鴨舵式雙旋彈廣義復攻角運動方程,導出其狀態空間模型為

(22)

式(21)為狀態矩陣中各元素的精確表達式。為簡化問題,依據分岔點復攻角的幅值近似不變,略去a11和a22中的η′/η項。進一步考慮起控前/后前體滾轉角運動特性的不同[28],可以分別導出該類炮彈在無控飛行和有控飛行時狀態矩陣中各元素的表達式如下:

1)無控飛行時前體自由滾轉,前體滾轉角速度pF相對復攻角慢圓運動的頻率較大,因此可以在一個運動周期內將狀態矩陣中各元素平均處理,可得

(23)

2)有控飛行時前體滾轉角控制方位固定不變,pF在一段時間內近似為0 r/s,故略去其與氣動組合參數乘積的高階小項,整理得到狀態矩陣中各元素為

(24)

將式(23)和式(24)分別代入式(22),可得狀態矩陣為緩變系統。采用系數凍結法對其進行研究,并任選參數σ為分岔參數,則其特征方程為

f(λ,σ)=h0λ4+h1λ3+h2λ2+h3λ+h4

(25)

式中:λ為特征根;各項系數的表達式為

(26)

據此依據文獻[28],采用霍爾維茨方法可以導出滿足系統在無控飛行和有控飛行時均動態穩定的充要條件為

(27)

因此若存在η0∈(0,1),能使式(27)在任意η>η0處成立、在η<η0處不成立,則系統穩定的平衡點附近會形成不穩定的極限環,且極限環半徑為

(28)

則η=η0即為參數σ對應的分岔點,其由式(27)在η的取值范圍內遍歷求解,并判斷上述條件成立時得到,故只有當δ

3 數值仿真計算分析

3.1 仿真初始條件

考慮到鴨舵式雙旋彈的精確廣義復攻角運動方程及其對應的狀態空間模型較為復雜,直接對其解析求解存在困難,因此本節以某155 mm鴨舵式雙旋彈為例,在炮兵標準氣象條件下,采用數值方法對其分岔特性進行分析。彈丸物理參數見表1,將仿真初始條件設為初速930 m/s、后體轉速300 r/s、初始擾動略去,可得主要空氣動力和力矩組合參數(線性項)的全彈道變化曲線如圖2所示。

圖2 空氣動力和力矩組合參數Fig.2 Combination parameters of aerodynamics and moments

3.2 計算結果分析

(29)

3.2.1 非線性氣動系數(導數)的影響

為便于分析非線性氣動系數(導數)對系統分岔特性的影響,首先依據1.5節建立的空氣動力和力矩模型,在大攻角條件下,將bx等空氣動力和力矩組合參數改寫為

bx=bx0(1+τ1δ2),by=by0(1+τ2δ2),kz=kz0(1+τ3δ2),kzz=kzz0(1+τ4δ2),ky=ky0(1+τ5δ2)

(30)

式中:τi(i=1,2,…,5)為各空氣動力和力矩系數(導數)的非線性項與線性項之比。

據此在無控飛行條件下,選取彈道頂點處參數為數值仿真條件,給出極限環半徑隨τi變化的曲線如圖3所示。由圖3可見:1)當τ1、τ3、τ4、τ5大于某界限,或τ2、τ5小于某界限時,穩定的平衡點附近均會形成不穩定的極限環,且r隨τ1、τ3、τ4、τ5增大或τ2、τ5減小而減小;2)升力和馬格努斯力矩的非線性項對系統分岔特性起主要影響,當τ2、τ5趨近某一界限值時,會導致r快速減小到較低水平。

將式(30)代入式(29),則f對τi分別求導,可得

(31)

圖4分別為τ2=-25和τ5=25時不同初值下的復攻角運動曲線。由圖4可見:當初值位于極限環內時,系統逐漸收斂;當初值位于極限環外時,系統逐漸發散,驗證了前述分析和式(28)的極限環半徑判別方法合理有效。

圖4 不同初值下的復攻角運動曲線Fig.4 Complex attack angle motions under different initial values

3.2.2 彈道位置的影響

進一步分析彈道位置的影響,首先在不考慮氣動非線性的條件下,給出極限環半徑全彈道變化曲線如圖5所示。易見系統在彈道初始段會形成不穩定的極限環,而在其余彈道點處不會形成。據此結合3.2.1節初步表明:τi的界限值會隨彈道位置發生變化,并在某些彈道點上趨近于0,故不同彈道點上r對非線性氣動系數(導數)的響應特性存在差異,導致較小的氣動非線性也可能使r快速減小。

圖5 r隨t變化曲線(τi=0)Fig.5 Variation curve of r with t (τi=0)

圖6為不同彈道點處r隨τi變化的曲線。事實上彈道位置改變實質是飛行速度和空氣密度的變化對系統分岔特性產生影響,且前者在彈道末段趨于平緩,后者在t=10 s和t=70 s處近似相等。由圖6可見:1)空氣密度變化會對系統分岔特性產生影響,其值增大總體上會使r逐漸減小,即高度越低彈丸穩定性相對越差;2)飛行速度對系統分岔特性起重要影響,其值改變可能使r增大,也可能導致其快速減小,故工程研制中應對彈丸初速和起控時刻進行設計,以盡量避免在某些速度條件下對彈丸進行控制。

圖7以τ5=-25為例分別給出了以t為10 s和70 s處參數作為數值仿真條件的復攻角運動曲線。結合圖6(e)可知,當飛行高度近似相同時,速度變化導致極限環半徑發生改變,并使相同初值在t=10 s時位于極限環外,而在t=70 s時位于極限環內,故系統在兩彈道點處分別逐漸發散和逐漸收斂,驗證了前述結論合理。

3.2.3 舵片控制力和力矩的影響

此外,考慮有控飛行對系統分岔特性的影響。依據式(31)可知,f隨τ1、τ2、τ4、τ5先增大、后減小,隨τ3持續減小,故當起控后滿足X>0時,舵片控制力和力矩會使圖3中r隨τi變化的曲線向內收縮,從而導致極限環半徑相較無控飛行時的減小;又由于X中不含γF項,故前體滾轉角控制方位改變對系統分岔特性影響不大,即彈丸在不同控制方位下的穩定性近似相同。

圖6 不同彈道點處r隨τi變化曲線Fig.6 Variation curves of r with τi at different ballistic points

圖7 不同彈道點的復攻角運動曲線Fig.7 Complex attack angle motion at different ballistic points

圖8 不同μ時r隨τi(i=1,4,5)變化曲線Fig.8 Variation curve of r with τi(i=1,4,5) under different μ values

在τ5=-25情況下,選取t=70 s處參數作為數值仿真條件,給出了有控飛行時的復攻角運動曲線,如圖9所示。易見,當γF分別取0°、45°、90°和135°時,復攻角曲線的運動頻率和收斂性質基本吻合,表明前體滾轉角控制方位對系統分岔特性影響不大,驗證了本節結論和考慮有控飛行時的動態穩定性條件合理可行。

圖9 不同控制方位下的復攻角曲線Fig.9 Complex attack angle motions under different control directions

4 結論

本文通過建立鴨舵式雙旋彈精確的廣義復攻角運動方程及其對應的狀態空間模型,研究了該類炮彈大攻角飛行時的非線性角運動問題,并采用數值方法分析不同因素對系統分岔特性和極限環半徑的影響。所得主要結論如下:

1)綜合考慮幾何非線性和氣動非線性影響,建立了鴨舵式雙旋彈非線性的動態穩定性條件,能夠用于判別該類炮彈在大攻角飛行時的動態穩定性。

2)升力和馬格努斯力矩的非線性項是影響系統分岔特性的主要因素,當τ2、τ5大于某一界限且繼續增大,或τ2、τ5小于某一界限且繼續減小時,均會導致極限環半徑快速減小。

3)彈道位置變化通過使飛行速度和空氣密度改變,對系統分岔特性產生影響,且速度變化可能導致極限環半徑快速減小,故工程研制中應對彈丸初速和起控時刻進行設計,以盡量避免在某些速度條件下對炮彈進行控制。

4)舵片控制力和力矩會影響r對τi的響應特性,當τ1、τ2、τ3、τ4大于某界限,或τ5小于某界限時,其值增大容易導致極限環半徑快速減小,故在炮彈研制過程中須對其大小進行限制。

5)當有控飛行滿足X>0時,舵片控制力和力矩會使極限環半徑相較無控飛行時的減小,彈丸穩定性變差;又由于X中不含γF項,故極限環半徑受前體滾轉角控制方位影響不大,即前體滾轉角控制方位改變對飛行穩定性影響較小。