基于多項分布的彈藥多批次試驗命中概率估計

劉昊邦, 史憲銘, 郝冰, 姜永超

(陸軍工程大學石家莊校區 裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

彈藥命中概率試驗通常包含多個批次,并在每批次試驗結束后對彈藥物理性能進行改進,彈藥命中概率隨批次逐漸提高[1]。各批次試驗數據服從總體不同,因此考慮多批次試驗命中概率估計問題尤為必要。

現有彈藥命中概率研究主要考慮單批次試驗,即只利用一個批次彈藥射擊試驗數據,試驗數據服從同一總體。單批次彈藥命中概率估計方法主要包括蒙特卡洛模擬法、射彈散布分析法、二項分布成敗型數據法等。Trzun等[2]基于蒙特卡洛方法分析單發火箭彈射擊誤差情況,計算出了火箭彈命中概率。Corriveau等[3]研究了不同射擊位置和不同射擊場景對武器命中概率的影響。Khaikov[4]考慮目標類型和瞄準點因素,研究了彈藥命中概率隨水平距離的變化情況。王保華等[5]根據高炮預制破片彈對空中目標的毀傷機理建立毀傷能力模型,對火箭防空武器的命中概率進行了計算。Seo等[6]對精確制導導彈命中概率和置信水平估計進行了研究。Kang等[7]對防空火炮命中概率進行了預測。上述研究未能考慮彈藥多批次試驗特點,無法科學、合理地利用各批次試驗信息,且這些研究仍以命中與否的成敗型數據為研究基礎,結果較為粗泛、適應性差。

充分利用各批次試驗信息,是解決彈藥多批次試驗命中概率估計問題的關鍵。貝葉斯方法在信息融合領域應用較為廣泛,考慮運用貝葉斯方法對各批次試驗信息進行融合。Li等[8]基于貝葉斯方法融合專家信息和仿真信息,對彈藥消耗進行了預計。Guo等[9]利用貝葉斯信息融合方法對退化數據產品的可靠性進行了分析。Papananias等[10]基于機器學習貝葉斯信息融合方法進行了終端產品質量評估。上述研究為貝葉斯方法信息融合提供了借鑒。在融合過程中注意到,距離最終批次試驗越近的信息更能發揮主導作用,因此需要對不同批次信息的融合權重進行確定。體系貢獻度常用于衡量武器裝備對作戰體系作戰能力的貢獻程度[11],通過引入體系貢獻度可以計算不同批次信息權重。

此外,僅利用成敗型數據的二項分布法,在樣本數量較少時難以對彈藥命中概率進行估計?？紤]彈藥落點分布的射彈散布分析法雖然利用信息更為全面,但僅適用于射彈散布有規律可尋的情況,對射彈散布規律不明顯的彈藥并不適用。為更細致地描述彈藥命中概率,從彈藥打擊目標的實際出發,彈藥打擊目標會命中目標不同區域,造成目標毀傷效果不同,命中各區域都有一定概率發生。為了對二項分布法進行改進,可以改用多項分布描述彈藥命中概率試驗。

綜合以上分析,本文采用貝葉斯方法融合各批次試驗信息,并利用體系貢獻度確定信息融合權重。同時對原有基于成敗型數據的二項分布法進行改進,改用多項分布進行試驗描述。最終提出基于多項分布的彈藥多批次試驗命中概率估計方法。

1 多項分布彈藥命中概率試驗

現有彈藥命中概率試驗主要從命中成敗的二項分布角度進行分析。即假設命中概率為P,共發射n發彈藥,命中概率試驗[12]可表示為

(1)

式中:x為命中目標的彈藥數。

二項分布貝葉斯方法通常選擇彈藥命中概率參數P的共軛分布Beta分布作為先驗分布:

(2)

式中:先驗分布包含參數P的先驗信息;a、b為先驗分布中的超參數。

二項分布適用于兩級毀傷目標情況,即彈藥命中目標可使目標功能完全喪失。對于多級毀傷目標,彈藥在試驗中命中目標不同區域造成的毀傷程度不同。此時按照彈藥打擊造成的毀傷程度,可將目標區域劃分為無毀傷區域、輕度毀傷區域、中度毀傷區域、重度毀傷區域[13]。彈藥命中無毀傷區域未能造成目標損傷,命中重度毀傷區域能夠完全摧毀目標。彈藥命中概率試驗會產生4種命中結果,分別為命中無毀傷區域、輕度毀傷區域、中度毀傷區域、重度毀傷區域。每種結果都有一定概率發生,記為Pi,i=1,2,3,4。在n發彈藥試驗中,采用多項分布描述彈藥命中概率試驗[14]可表示為

(3)

貝葉斯先驗分布選擇方法包括無信息先驗分布法、最大熵法、共軛先驗分布法等。無信息先驗分布法適用于先驗信息不夠充分的情況[15],而本文擁有各批次試驗信息。最大熵法計算過程復雜,不易求解[16]。因此選擇共軛先驗分布法確定先驗分布。查閱貝葉斯相關文獻可知多項分布的共軛分布為Dirichlet分布[17],可表示為

(4)

式中:αi為先驗分布中的超參數;Γ(αi)為Gamma函數。

采用多項分布描述命中概率試驗,能夠獲取彈藥命中目標不同毀傷區域的概率。相比僅利用命中成敗數據的二項分布方法,采用多項分布描述彈藥命中概率試驗更為合理。

2 基于體系貢獻度的多批次試驗信息融合

多批次彈藥命中概率試驗包含多個批次試驗信息。距離最終批次試驗越近的信息價值越高,對彈藥命中概率估計貢獻程度越大。因此在信息融合過程中亟需確定各批次試驗信息的貢獻程度。

2.1 多批次命中概率試驗信息融合過程

多批次命中概率試驗信息來源主要包括射擊試驗信息、前一批次彈藥命中概率信息、仿真實驗信息[18]。信息融合過程如圖1所示。

距離最終批次越近的信息更能在彈藥命中概率估計中占據主導地位,因此需要衡量不同信息在最終批次彈藥命中概率估計中的貢獻程度。

2.2 基于體系貢獻度的融合權重計算

(5)

在采用直覺模糊隸屬函數法確定彈藥命中概率信息隸屬度過程中,注意到專家看待彈藥命中概率信息來源是否可靠時會猶豫,引入直覺指標表示專家猶豫程度[22],表達式為

(6)

確定先驗信息權重中采用猶豫程度的一半進行修正,可以求出信息δl的隸屬度表達式如下:

(7)

進行歸一化處理,可以得到信息δl的融合權重:

(8)

(9)

3 彈藥多批次試驗命中概率貝葉斯推斷

與單批次試驗研究不同,多批次試驗需要考慮每一批次信息,從初始批次開始對各批次試驗命中概率進行分析。

3.1 初始批次命中概率貝葉斯推斷

初始批次彈藥命中概率估計只包含初始批次射擊試驗信息L(x(1)|P(1))和仿真實驗信息π(P(1)|α(1))。利用貝葉斯方法將上述信息進行融合可以求出初始批次彈藥命中概率分布:

(10)

(11)

(12)

初始批次結果可作為第2批次先驗信息進行使用。

3.2 第2批次命中概率貝葉斯推斷

經過初始批次試驗之后對彈藥物理性能進行改進,并進行第2批次試驗。第2批次試驗在估計彈藥命中概率時需要將初始批次試驗信息考慮進去。因此第2批次試驗包含信息有第2批次射擊試驗信息L(x(2)|P(2))、第2批次仿真實驗信息π(P(2)|α(2))、初始批次彈藥命中概率信息π(P(1)|x(1))。相比初始批次試驗,第2批次試驗信息增加了初始批次試驗信息。依據第2節提出的體系貢獻度確定信息融合權重,并利用貝葉斯方法求得第2批次彈藥命中概率分布:

(13)

3.3 第i批次命中概率貝葉斯推斷

同理,第i批次試驗包含信息有第i批次射擊試驗信息L(x(i)|P(i))、第i-1批次彈藥命中概率信息π(P(i-1)|x(i-1))、第i批次仿真實驗信息π(P(i)|α(i))。 其中π(P(i-)|x(i-1))包含從初始批次至第i-1批次命中概率所有信息。第i批次彈藥命中概率用貝葉斯公式表示為

(14)

(15)

上述順序約束關系分別表示第i批次彈藥命中輕度及以上毀傷區域、中度及以上毀傷區域、重度毀傷區域的概率大于第i-1批次,表明對彈藥命中性能進行了改進。

4 馬爾可夫鏈-蒙特卡洛方法多批次試驗命中概率求解

3) 繼續進行迭代轉移,產生新的命中概率參數點序列[P(i)](k+1),[P(i)](k+2),…,[P(i)](m)。

4) 去除掉馬爾可夫鏈收斂狀態之前的k個點序列,選用新的點序列作為命中概率參數P(i)的抽樣值,可以求出命中概率參數P(i)的后驗期望:

(16)

由于命中概率參數P(i)維數較高,不易直接抽取樣本,此時需要借助Gibbs抽樣方法將高維樣本轉化為每次只抽取一個參數的一維抽樣問題,從而便于抽樣實現。

基于Gibbs抽樣方法步驟[24]如下:

1) 確定命中概率參數后驗分布的一元條件分布,從一元條件分布中抽樣比直接從多元后驗分布中抽樣容易很多。依據命中概率參數后驗分布公式可以求出后驗一元條件分布:

(17)

3) 選擇馬爾可夫鏈平穩狀態時段的點序列均值作為彈藥命中概率參數貝葉斯估計值:

(18)

根據抽樣結果若發現不滿足約束關系,即出現第i批次彈藥命中概率小于第i-1批次情況,表明該批次試驗之前對彈藥命中性能改進不理想,需要進一步對彈藥命中性能進行研究。

5 示例分析

為測算某型號彈藥命中概率,共進行3個批次射擊試驗,每批次發射10發彈藥。每次射擊試驗之后對彈藥命中性能進行改進,彈藥命中概率認定逐步提升。獲取這3個批次射擊試驗信息以及仿真實驗信息,結果如表1所示。

表1 多批次試驗彈藥命中概率信息Table 1 Ammunition hit probabilities in multiple-batch tests

按照體系貢獻度打分規則,邀請6位同領域專家對第i-1批次彈藥命中概率信息δ1和第i批次仿真實驗信息δ2的隸屬度進行打分。打分結果如表2所示。

表2 先驗信息專家隸屬度打分Table 2 Prior information membership score in expert interview

生成各批次彈藥命中概率參數概率密度函數圖,如圖5所示。對各批次參數馬爾可夫鏈結果進行統計,如表3所示。

表3中貝葉斯統計結果給出各批次試驗命中概率參數的均值和方差。以第3批次試驗作為最終批次,可以得到最終批次彈藥命中無毀傷區域概率的均值為0.124、方差為0.084 7;輕度毀傷區域概率的均值為0.251、方差為0.199 3;中度毀傷區域概率的均值為0.343、方差為0.244 3;重度毀傷區域概率的均值為0.282、方差為0.212 3。從結果中可以看出,本文方法能夠得出彈藥命中目標不同毀傷區域的概率分布情況,相比依據命中與否的二項分布方法,所得概率更為全面。同時發現各批次結果滿足順序約束關系,表明每批次試驗之后對彈藥命中性能進行了有效改進。

圖3 第2批次命中概率參數迭代跡圖Fig.3 Iteration trace graph of the second-batch hit probability parameters

圖4 第3批次命中概率參數迭代跡圖Fig.4 Iteration trace graph of the third-batch hit probability parameters

圖5 各批次彈藥命中概率參數概率密度函數圖Fig.5 Probability density function diagram of ammunition hit probability parameters of each batch

6 結論

本文對基于多項分布的彈藥多批次試驗命中概率估計進行了研究,在現有二項分布、單批次試驗研究的基礎上,從實際試驗過程出發對多項分布、多批次試驗彈藥命中概率進行估計。得到如下主要結論:

表3 各批次彈藥命中概率參數貝葉斯統計分析Table 3 Bayesian statistical analysis of ammunition hit probability parameters for each batch

1) 考慮彈藥命中概率試驗通常分多個批次進行的實際情況,在進行多批次命中概率估計時,通過體系貢獻度確定各批次試驗信息的融合權重。

2) 采用貝葉斯方法對各批次射擊試驗信息與仿真實驗信息進行融合,從而實現融合各批次試驗信息的目的。

3) 考慮彈藥命中目標不同毀傷區域的實際情況,以彈藥命中目標不同毀傷區域的概率作為彈藥命中性能指標,采用多項分布描述命中概率試驗,能夠細致描述彈藥命中性能,為彈藥命中概率估計提供借鑒。