互耦條件下渦旋電磁波目標方位探測方法

章鴻運, 栗蘋, 李國林, 賈瑞麗

(北京理工大學 機電動態控制重點實驗室, 北京 100081)

0 引言

近年來,攜帶軌道角動量(OAM)的渦旋電磁波被廣泛應用于雷達[1]、通信[2]和6G無線網絡[3]中。電磁波的總角動量可以分解為自旋角動量和OAM,攜帶不同OAM模式數的電磁波之間是正交的,這為模分復用多輸入多輸出(MIMO)系統提供了理論基礎[4]。電磁波的OAM信息在可見光波段具有較為成熟的應用。直到2007年渦旋電磁波才首次被引入微波波段中[5]。隨后,使用均勻圓環陣列產生渦旋電磁波的方法被廣泛采用[6]。

與傳統電磁波不同,渦旋電磁波的波前呈螺旋形分布,提供了方位分辨所需的相位變化。不同模式渦旋電磁波的相位分布不同,實現了對角度的分集,還具備一定的抗干擾能力。采用均勻圓陣發射攜帶不同OAM模式數的渦旋電磁波,對接收回波進行處理時,目標方位信息可以通過模式數與目標方位角之間的對偶關系獲得。文獻[7]通過對回波信號OAM域做傅里葉變換,獲得目標的方位角信息。緊接著空間譜估計的方法被引入渦旋電磁波探測中[8-10],使目標的角度分辨率得到了提高。由于渦旋電磁波目標回波中帶有非線性的貝塞爾函數項,這類方位角估計方法均對回波信號中的貝塞爾函數進行了近似處理,影響了估計精度。

目前對均勻圓陣產生渦旋電磁波的分析大多忽略了陣元間的互耦[11],即假定發射信號不會產生二次輻射。此外,根據奈奎斯特采樣定理,均勻圓陣的陣元間隔小于或等于半波長是產生渦旋電磁波的必要條件。當陣列天線工作在毫米波或者更高頻段時,天線間的距離較短,將導致陣元間的互耦問題。另外,當天線為共形陣列時[12-13],還將出現陰影效應和平臺效應,陣列性能受到嚴重影響?；ヱ顚﹃嚵械挠绊懕憩F為導向矢量的失配,大多數高分辨波達方向估計(DOA)估計算法對陣列流形的誤差比較敏感,將導致角度估計性能的退化。

互耦導致的誤差可以通過互耦矩陣補償消除。常見的互耦分析方法有開路電壓法[14]、全波法[15]、接收互阻抗法[16]和自校正方法[17-18]等。為解決均勻圓陣中的互耦問題,文獻[14]基于電路模型,將天線陣元上的激勵電壓分解為球諧模式[19-20]。文獻[16]通過接收互阻抗法得到了與目標俯仰角相關聯的互阻抗矩陣。文獻[21]結合陣列S參數和接收信號,提出了虛擬阻抗互耦校準方法,該方法與傳統互耦補償矩陣相比具有更小的計算量。

本文利用均勻圓陣互耦矩陣的循環對稱性,通過相位模式構造互耦效應的等效電路模型,將陣元間的互耦轉化至模式域,分析互耦對渦旋電磁波方位探測的影響,并采用有源單元方向圖法進行仿真。此外,本文利用貝塞爾函數的遞推關系,提出一種基于OAM的改進傳播算子方法,分析一些常用的典型算法在本文信號模型下的估計性能。

1 OAM模型

在無線電目標探測中,渦旋電磁波可以由均勻圓環陣列天線產生。如圖1所示,個陣元均勻分布在半徑為r的圓周上,數字1、2、n、N表示陣元序號,φ為入射信號的方位角,φn為第n個陣元與第1個陣元的夾角。以圓心為原點建立球坐標系,圓陣位于Oxy面上。為了產生模式數為l的渦旋電磁波,對每個陣元施加相位為lφn=2πl(n-1)/N(n=1,2,…,N)、幅值為I0的激勵,相鄰兩個陣元間的相位為Δφ=2πl/N?？臻g中與原點距離為R的任意一點P0(R,θ,φ)的電場E(r)可以表示為

(1)

式中:r為P0點的位置矢量;j為恒定電流密度矢量;ω為信號角頻率;μ0為真空磁導率;d為偶極子長度;k為波數,k=2π/λ,λ為波長;rn為第個陣元的位置矢量,rn=(Rcosφn,Rsinφn,0)。用|r-rn|≈R和|r-rn|≈R-·rn分別作為遠場幅度和相位的近似[6],其中為r的單位向量。

圖1 均勻圓陣幾何結構Fig.1 UCA array geometry

離散的均勻圓陣可以看作是連續圓陣在每個陣元處饋入激勵,即連續圓陣的采樣。采樣函數s(φ)可以表示為一個周期為2π/N的均勻單位脈沖序列:

(2)

式中:δ(·)表示單位階躍函數。則歸一化電場可表示為

J(l+qN)(krsinθ)ej(l+qN)φ

(3)

式中:Jl為l階第1類貝塞爾函數。

離散均勻圓陣用于產生渦旋電磁波時,主項由于采樣會產生周期延拓,式(3)中的求和項包含無窮多個高階模式數。在渦旋電磁波應用中只希望產生主模式,而其他周期延拓分量是多余的。根據貝塞爾函數的性質可知,當貝塞爾函數的階數大于其輻角krsinθ時其幅值Jl(krsinθ)≈0,故模式數l>kr的項可以忽略。另一方面,根據奈奎斯特采樣定理,N個陣元的均勻圓陣最多可以產生L=?(N-1)/2」個渦旋電磁波模式,?·」表示向下取整。因此可以得到kr5時波束相位不再呈螺旋狀分布,不能產生渦旋電磁波。

2 互耦分析

由第1節的結論可知,用于產生渦旋電磁波的均勻圓陣,其陣元間距小于半波長,且電磁波頻率并非是不變常數。當陣列工作在較高頻段時,產生渦旋電磁波不僅受空間采樣影響,陣元間還存在互耦。

在陣列天線分析中,互耦效應常用阻抗矩陣Z描述?？紤]所有陣元之間都存在互耦,即互耦自由度為N,則

(4)

式中:Zmn為第m個和第n個陣元間的互阻抗,

Zmn=Vm/In

(5)

Vm(m=1,…,N)為第m個陣元的開路電壓,In(n=1,…,N)為當其他陣元開路、第n個陣元的短路電流。如圖3所示,發射信號經相位加權后饋給各個天線,發射阻抗ZG1,…,ZGN可以表示為一個對角矩陣ZG,則互耦矩陣C為

C=(ZG+Z)-1Z

(6)

圖3中,Port1、Port2、…、PortN分別為天線的等效端口。將上述互耦模型代入渦旋電磁波信號中,可得

E(θ,φ)=ICa(θ,φ)

(7)

式中:I為第l個OAM模式的激勵矢量,

I=I0[ejlφ1,ejlφ2,…,ejlφn]

(8)

a為理想情況下的導向矢量,

(9)

通過以上分析可知,陣列天線的性質可以完全由阻抗矩陣Z和a(θ,φ)表征。

圖2 理想情況12陣元不同OAM模式相位分布圖Fig.2 Phase distribution of different OAM modes of 12 elements in ideal conditions

對于每一個OAM模式,可以通過對互耦矩陣做離散傅里葉變換,將各個陣元間的互耦分解成相位序列c,其中第l個元素為

(10)

式中:Cmn為第m個和第n個陣元間的互耦。當圓陣中的陣元相同且各向同性時,任意陣元的阻抗都相同,互耦矩陣C具有循環對稱性,式(10)可以簡化為對互耦矩陣的第1行做離散傅里葉變換(DFT):

(11)

圖4將均勻圓陣中的互耦表示成OAM模式,其中等效電流,等效電阻和等效電壓分別展開成自變量為l的序列。圖4中,Voc為開路電壓源,zl為等效負載阻抗。由此可得互耦情況下空間任意一點的歸一化電場為

E(θ,φ)=cljlJl(krsinθ)ejlφ

(12)

3 方位估計

3.1 渦旋電磁波接收信號模型

基于多發單收的渦旋電磁波目標探測原理如圖5所示。振蕩器產生的載頻信號經波形調制器調制后,經由功率放大器進行放大,放大后的射頻信號經過功分器分為功率相同的N路信號,接著移相器給每路信號附加Δφ=2πl/N的相移,再通過均勻圓陣依次發射[-(2L+1),2L+1]OAM模式數的渦旋電磁波。接收天線位于陣列圓心,回波信號進入混頻器與載頻信號進行混頻得到中頻信號,經放大濾波后在OAM域進行采樣,最后通過信號處理得到目標方位角信息。

假設空間中存在P個目標,回波信號和噪聲均為平穩、零均值、不相關的隨機過程。則接收回波信號可以表示為

(13)

圖3 陣列互耦饋電網絡圖Fig.3 Schematic of the array mutual coupling feeding network

圖4 均勻圓陣互耦OAM模式等效電路圖Fig.4 OAM mode circuit model of the UCA including mutual coupling

圖5 渦旋電磁波探測原理圖Fig.5 Schematic diagram of vortex electromagnetic wave detection

式中:sp(t)為第p個空間信號。寫成矢量形式為

X(t)=ClBS(t)+N(t)

(14)

式中:Cl=diag(c);B為模式空間流形矩陣,B=[b1,b2,…,bp,…,bP],

bp=jlJl(krsinθp)ejlφp,l={-L,…,0,…,L}T

(15)

S(t)為信號矢量;N(t)為功率為σ2的高斯白噪聲。

3.2 MUSIC算法

接收數據的協方差矩陣為

(16)

式中:RS為信號協方差矩陣,RS=E[S(t)SH(t)]。對R進行特征值分解,令US為信號子空間,則譜估計[22]為

(17)

式中:W=diag(jlJl(krsinθ));v(φ)=ejlφ。方位角可以通過對P個譜峰的搜索得到。圖6為MUSIC算法的方位角估計譜,其中陣元數N=12,半徑r=λ,目標方位角分別為50°和80°。由圖6可以看出,陣列互耦對目標方位角估計產生了嚴重影響,通過互耦校準可明顯改善陣列估計性能。

3.3 OAM-PM算法

MUSIC算法需要對協方差矩陣進行特征值分解和譜峰搜索,計算量較大。傳播算子算法利用線性運算替代了特征值分解,降低了計算復雜度?，F有的傳播算子算法在對導向矢量矩陣分塊時,通常將非奇異矩陣用導向矢量的前P行來定義[23]。然而在渦旋電磁波探測中,由式(13)可知不同模式數的回波信號幅值受貝塞爾函數調制,模式數較低時對應的幅值較大。因此本文為了提高方位估計的穩健性,對傳播算子矩陣進行了重新定義,提出一種基于OAM的傳播算子方位估計方法。

將矩陣B分塊:

(18)

(19)

式中:P為傳播算子矩陣,P∈CP×(2L+1-P)。定義矩陣:

(20)

式中:P1為P的前?(2L+1-P)/2」列;P2為P的后「(2L+1-P)/2?列。由式(19)和式(20)可得

QBy=B

(21)

矩陣Q∈C(2L+1)×P張成的空間與矩陣B張成的模式空間是同一個空間。

在噪聲和互耦情況下,P可以從接收信號中得到。計算協方差矩陣

(22)

式中:t為時間變量;K為快拍數。將分塊

(23)

式中:R1∈C(2L+1)×?(2L+1-P)/2」;R2∈C(2L+1)×P;R3∈C(2L+1)×「(2L+1-P)/2?。根據式(18)和式(19)可得

(24)

通過最小二乘法可以得到P的估計:

(25)

由于傳播矩陣中含有貝塞爾函數,可以利用式(26)的遞推關系[24]:

(2l/krsinθ)Jl(krsinθ)=Jl-1(krsinθ)+Jl+1(krsinθ)

(26)

取Q和B的前2L-1行、第2～2L行和后2L-1行,分別定義為Q1、Q2、Q3和B1、B2、B3。將分塊矩陣分別代入式(21),可得

Q1Bx=B1,Q2Bx=B2,Q3Bx=B3

(27)

根據貝塞爾函數的性質可得B1、B2、B3具有如下關系:

DB2=B1Φ+B3Φ*

(28)

式中:D=(2/krsinθ)diag{-(L-1),…,0,…,(L-1)};Φ=diag(ej(φ1+π/2),ej(φ2+π/2),…,ej(φP+π/2));Φ*為Φ的共軛轉置。同理可得

DQ2=Q1Ψ+Q3Ψ*

(29)

(30)

可得

(31)

式中:?表示Moore-Penrose偽逆;Ψ*為Ψ的共軛轉置。對Ψ特征值分解即可獲得目標的方位角:

φp=arg (λp)-π/2

(32)

經過以上分析,本文所提解耦合OAM方位估計算法步驟如下:

2) 將協方差矩陣分塊,由式(25)得到傳播算子矩陣P,并通過式(20)得到矩陣Q。

3) 將矩陣Q劃分為Q1、Q2、Q3,分別為Q的前2L-1行、第2～2L行和后2L-1行。

4 仿真分析

4.1 陣列互耦仿真

互耦矩陣通過有源單元方向圖法得到[25]。天線的有源單元方向圖是指陣列中只激勵一個單元,同時其他所有單元終端都接匹配負載時的輻射方向圖。當陣列天線單元間存在互耦時,陣列環境中的單元輻射方向圖與孤立單元方向圖不同。有源單元方向圖法是將孤立單元方向圖和有源單元方向圖通過互耦矩陣建立聯系:

(33)

通過最小二乘法求解互耦矩陣:

(34)

陣列參數由表1所示。

表1 FEKO仿真參數Table 1 FEKO simulation parameters

通過FEKO仿真得到耦合相位序列為

c=[0.743 1+0.229 0i,0.980 4- 0.041 3i,0.894 1-0.082 5i 1.242 8+0.120 0i,1.280 1-0.261 7i, 1.245 7+0.121 3i 1.280 1-0.261 7i,1.242 8+0.120 0i, 0.894 1-0.082 5i 0.980 4-0.041 3i,0.743 1+0.229 0i]

(35)

4.2 計算復雜度

本文算法涉及協方差矩陣計算、矩陣特征值分解、矩陣偽逆和最小二乘法等運算。假設快拍數為K,譜峰搜索范圍為[0°,360°),譜峰搜索步長為1°,各算法計算復雜度如表2所示。

表2 不同算法的計算復雜度Table 2 Computational complexity of different algorithms

圖7為快拍數K=100、最大模式數L變化范圍為5～100時算法計算出的復雜度曲線。

圖7 不同模式數的計算復雜度Fig.7 Computational complexity of different mode numbers

圖8為模式數L=50、快拍數K變化范圍為50～1 000時算法計算出的復雜度曲線。

從圖7和圖8中可以看出,本文算法將MUSIC算法和ESPRIT算法中2L+1維的矩陣特征值分解改進為求P維矩陣的Moore-Penrose逆,同時還避免了譜峰搜索,降低了計算復雜度。

4.3 性能分析

為驗證所提算法在不同陣列配置下的方位探測性能,在陣元數N=12、半徑r=λ的均勻圓陣上進行了200次獨立的蒙特卡洛仿真。其他仿真參數設置如下:載頻f=24 GHz,總模式數2L+1=11,目標個數P=2,方位角分別為30°和80°。

無條件信號模型的克拉美羅界[26]可以表示為

(36)

定義均方根誤差為

(37)

圖9為快拍數為1 000、信噪比變化范圍為0～30 dB時,不同算法計算出的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。

圖10為信噪比為10 dB、快拍數變化范圍為50～1 000時,不同算法均方根誤差隨快拍數變化的曲線。

圖10 均方根誤差與快拍數關系圖Fig.10 Dependence of root mean square error on snapshots

由圖10可以看出,本文所提算法相較于傳統傳播算子算法估計誤差明顯降低,性能與MUSIC算法和ESPRIT算法近似,且具備更低的計算復雜度。

5 結論

本文提出一種解耦合的OAM目標方位探測新算法。首先建立OAM互耦模型,使用FEKO軟件對12陣元的均勻圓環陣列偶極子天線仿真得到互耦矩陣,然后通過DFT將其轉化到模式域,最后通過OAM-PM算法進行目標方位估計。實驗結果表明,所提算法具有良好的解耦合性能,對目標方位角具備精確探測能力的同時擁有更低的計算復雜度。