基于互質陣列的近場源位置估計方法

王緒虎, 田雨, 張群飛, 李恩玉, 金序, 侯玉君

(1.青島理工大學 信息與控制工程學院, 山東 青島 266520; 2.西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

0 引言

隨著第5代移動通信(5G)技術的發展,車聯網(IOV)[1-2]技術成為未來發展趨勢之一,而車輛定位[3-5]技術是IOV的重要分支,需要十分精確的位置和方向信息用于路徑規劃和安全操作,并且獲取信息不會受天氣因素和周圍環境的影響。車輛位置可以借助北斗衛星導航系統(BDS)獲得,但該方法時延和估計精度誤差很大,尤其在隧道或云層較厚等環境中,極大影響該方法的使用,因此無線網絡協作定位方法[6-7]成為車輛定位的研究方法之一,常用的方法是波達方向(DOA)估計,即通過無線接入點(WAP)與車輛傳感器陣列共同配合,實現估計方位和距離功能,從而確認車輛位置。

陣列孔徑是影響估計精度因素之一,與均勻線列陣相比,互質陣列具有高自由度(DOF)的優勢,且能克服均勻線列陣間距受半波長限制的缺陷,因此互質陣列研究逐漸受到學者的重視。與互質陣列傳統方法[8-12]相比,基于壓縮感知和稀疏重構的DOA估計方法,在低信噪比(SNR)或少快拍數等情況下能表現出更準確的估計精度,因此文獻[13-17]提出了互質陣列的各種處理方法,然而上述方法主要是針對遠場信號提出的,無法直接套用在近場信號模型。針對近場模型,許多學者將傳統的多重信號分類(MUSIC)方法進行了改進,提出了新的基于子空間的近場源(SLONS)定位方法[18]、降維MUSIC(RDMUSIC)方法[19]和改進近場MUSIC(INF-MUSIC)方法[20]等,上述方法不需要二維峰值搜索便可實現位置估計,并且可以實現估計角度與距離的一一匹配,大大降低了計算復雜度。然而,上述方法進行了降維處理,依然需要多次一維搜索,會影響該方法的估計精度。文獻[21]在L1范數奇異值分解(L1-SVD)方法基礎上,提出了一種重新加權平滑的L0范數稀疏近場參數估計方法,該方法大大降低了計算復雜度。文獻[22]提出了一種無搜索近場源定位方法,通過參數分離和多項式根運算,獲得了信號方位估計和距離估計值,該方法避免了譜搜索和參數配對,提高了估計性能。上述方法都基于均勻線列陣,所能估計的信源數受到陣元數目的限制,估計多個目標位置信息會增大系統硬件成本開銷?；ベ|陣列能有效地解決這一問題[23],因此本文提出了一種基于互質陣列的近場源定位估計方法。所提方法通過迭代方法來逐步修正角度偏移向量,從而得到角度參數估計值;將已估計出角度值代入模型,通過迭代方法來逐步修正距離偏移向量,得到距離參數估計值。所提方法的處理過程能自動匹配估計角度與估計距離,同時在數據預處理過程中,使用對稱陣列的協方差,消除了噪聲的影響,提高了入射角度和距離的估計精度。

1 近場源信號模型

兩個不同間距的均勻線列陣嵌套構成一個稀疏陣列,互質陣列近場信號源模型如圖1所示。陣元的位置索引可表示為Ω=-ΩC∪ΩC,其中

ΩC={Mn|0≤n≤(N-1)/2}∪ {Nm|0≤m≤(M-1)/2}

(1)

式中:M和N為互質的整數。陣列1是N元均勻線列陣,間距為Md,陣列2是M元均勻線列陣,間距為Nd,d表示單位間距,一般將其設為d=λ/4,λ表示波長。

圖1 近場信號源模型結構圖Fig.1 Model configuration of near-field source

假設K個近場信號源入射到該互質陣列上,入射角度為θ=[θ1,…,θk,…,θK],θk表示第k個信源與參考陣元的角度,入射距離為r=[r1,…,rk,…,rK],rk表示第k個信源距參考陣元的距離,sk(t)表示第k個信號源,其中k=1,2,…,K,則第i個陣元相對于參考陣元來說,相對時延為

(2)

式中:Ωi表示第i個陣列的索引1≤i≤M+N-1;c表示信號的傳播速度。借助泰勒展開式,忽略 3階及以上階數的項數,則得到相對延遲相位為

(3)

陣列接收數據模型為

Y(t)=A(θ,r)s(t)+n(t)

(4)

2 離網格稀疏表示估計方法

2.1 角度參數估計

第Ωi1個陣元與第Ωi2個陣元之間的空間相關性可以寫為

(5)

(6)

將式(6)寫成向量的表達形式,得到

(7)

(8)

式中:pθ表示網格點對應的功率,是實際功率p的零擴展。如果信號源的入射方向不在預設的網格上,則借助泰勒展開式得

(9)

(10)

(11)

然而上述問題會存在NP-Hard問題,文獻中已經提出了各種方法來解決優化公式(11),其中有代表性的是LASSO方法,該方法將式(11)中的L0范數用L1范數代替。文獻[16]利用對數和的方法進行推導,未知的功率矢量pθ和網格誤差δθ可以用以下方法求解:

(12)

(13)

(14)

(15)

式中:μ1表示角度網格的梯度下降系數。令式(14)中的參數表示為

(16)

(17)

式中:eu表示U×1維的單位列向量,第u個位置為1,其他位置全為0。

(18)

則?f1(δθ)/?δθ可得

(19)

(20)

2.2 距離參數估計

在得到估計角度后,新的接收數據模型變為

Y(t)=Aφ(,r)s(t)+n(t)

(21)

式中:Aφ(,r)是關于距離r的流形矩陣,表示K個估計值,Aφ(,r)=[aφ(1,r),…,Aφ(K,r)],信源距離r的分布空間為[0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ],D為陣列孔徑大小。參照DOA求解過程,本文將信源距離r的空間均勻劃分V份,得到網格點集合為Γ=[r1,r2,…,rV],進而得到離格場景下的稀疏模型為

Y(t)=Aφ(,Г)x(t)+n(t)

(22)

式中:x(t)表示原始信號s(t)的0擴展,在接近信號距離位置有值,其他位置全為0;Aφ(,Γ)=[aφ(1,Γ),…,aφ(K,Γ)]表示離散距離的完備基流型矩陣。假設信號與參考陣元之間的距離不在預設網格上,那么則借助一階泰勒展開式得到

Υ(,Γ)≈Aφ(,Γ)+Bφ(,Γ)diag(δr)

(23)

式中:Bφ(,Γ)=[bφ(1,Γ),bφ(2,Γ),…,bφ(K,Γ)],bφ(,Γ)=?aφ(,Γ)/?Γ;δr表示距離誤差,δr=[δr1,δr2,…,δrV]。在存在距離網格條件下,陣列接收數據表達式為

Y(t)=Υφ(,Γ)x(t)+n(t)

(24)

因此,得到的實際接收數據與離網格模型接收的數據誤差達到最小,定義目標函數為

(25)

(26)

式中:μ2表示距離網格的梯度下降系數。令Cv=?Υφ(,Γ)/?δrv=Bφ(,Γ)diag(ev),ev表示V×1維的單位向量,在第v個位置為1,其余位置為0,1≤v≤V。則對距離誤差矢量某一個元素求導?f2(δr)/?δr,得

(27)

(28)

2.3 本文方法步驟

離網格互質陣列近場信號位置估計的實現過程為:

1)得到近場模型的接收數據,采用式(7)的思想構造新的協方差數據rθ;

2)將空間區域[-π/2 rad,π/2 rad]均勻劃分成U份,得到式(10)離散網格模型;

3)固定角度網格間距δθ,利用式(13)求功率θ;

6)將距離區域[0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ]均勻劃分成V份,得到式(24)離散網格模型;

7)得到定義的最優化問題,將式(25)中距離網格誤差矢量進行求導,利用式(26)梯度下降原理得到網格誤差δr;

8)當滿足距離誤差精度的條件,利用式(28)確定入射角度所對應的距離,否則進入步驟7,直到滿足條件或者達到最大迭代次數停止,最后輸出入射角度與距離所對應關系的圖像。

3 仿真實驗仿真及性能分析

為了驗證所提方法在DOA估計方面的卓越性能,并與其他現有的方法進行比較,包括SS-MUSIC方法[13]、JLASSO方法[14]、ESPRIT方法等。在仿真實驗中,SS-MUSIC和ESPRIT方法需要提前知道信號源個數,而其他方法則不需要假設信源數。在空域區間-90°～90°劃分網格,步長3°,選擇菲涅爾模型距離區間,以步長3 m劃分網格。模擬條件下SNR為10 dB,快拍數取500?？紤]互質陣列中子陣列傳感器數量M=5、N=3,則互質陣列陣元位置索引為Ω=[-6,-5,-3,0,3,5,6]。

3.1 仿真實驗

3.1.1 功率譜圖分析

為了驗證所提出的方法在DOA估計的可行性,與SS-MUSIC方法和JLASSO方法進行比較。取K=3個窄帶不相關的近場信號源,角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m]、[25.19°,34.66 m]和[43.21°,59.18 m],得到歸一化功率譜圖如圖2所示。

圖2 各類方法的歸一化功率譜圖Fig.2 Normalized power spectra of various methods

圖2的仿真結果表明上述3種方法都能估計出信號的入射角度θ。但是,從歸一化功率譜圖上可以看出,JLASSO方法會在實際入射角度位置產生偽峰,極大地影響了該方法的估計性能,SS-MUSIC方法與本文方法都能估計出信號角度,但是SS-MUSIC方法的估計精度取決于預設的掃描角度間隔,SS-MUSIC方法的峰值所對應的角度與實際角度有誤差,且歸一化功率分布不均衡。而本文方法估計的角度幾乎與實際角度重合且歸一化的功率都到了0.9以上,所以本文方法的估計性能要優于SS-MUSIC方法。

3.1.2 角度與距離估計分析

取K=3個窄帶不相關的近場信號源,角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m]、[25.19°,34.66 m]和[43.21°,59.18 m],先估計角度后并固定,用上述3種方法和ESPRIT方法對距離進行估計,得到估計距離與估計角度一一對應的仿真結果如圖3所示。

圖3 角度與距離對應關系Fig.3 Relationship between angle and distance

從圖3的仿真結果中可以看出,除了JLASSO方法對近場信號的距離估計失效之外,其余3種方法都能準確地估計出信號的位置。將實際信號位置細節進行放大,可以看到,ESPRIT方法估計出的信號位置誤差最大,性能最差。本文方法與SS-MUSC方法都比較接近實際信號位置,其原因是SS-MUSIC方法與掃描角度間隔有關,但本文方法與實際信號位置的距離更接近,表現出的估計性能要優于上述3種方法。

3.2 估計精度性能分析

為了研究SNR和快拍數等因素和角度與距離之間的關系,把均方根誤差(RMSE)作為精度的判別準則。定義均方根誤差表達式為

(29)

(30)

式中:Q表示蒙特卡洛仿真實驗的次數;qk表示第q次蒙特卡洛仿真實驗估計的第k個信號入射角;qk表示第q次蒙特卡洛仿真實驗估計的第k個信號距離。

3.2.1 RMSE隨SNR變化

為了研究角度誤差和距離誤差隨SNR的變化關系,在其他條件不變的情況下,設有一個近場信號,其入射角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m],改變SNR從-10 dB開始,以步長2 dB增加到 10 dB,進行200次獨立的蒙特卡洛仿真實驗,得到仿真結果如圖4所示。

圖4 不同SNR下的RMSE性能Fig.4 RMSE performance versus SNR of different methods

從圖4(a)中可以看出,所有方法的角度誤差都隨SNR的增加而減少,但是JLASSO方法表現性能最差,角度誤差較大,而SS-MUSIC方法得到的角度誤差要小于ESPRIT方法,因此SS-MUSIC方法的性能優于ESPRIT方法。本文方法在整個SNR范圍內角度誤差小于上述3種方法,表現出了最優的估計性能。從圖4(b)中可以看出,所有方法的距離誤差都隨SNR的增加而減少,在SNR整個區間,SS-MUSIC方法始終優于ESPRIT方法,本文方法在距離估計方面仍然表現出優良的估計能力,誤差始終小于上述兩種方法。仿真實驗結果可以看出,本文方法具有穩定優良的DOA估計能力。

3.2.2 RMSE隨快拍數變化

為了研究角度誤差和距離誤差隨快拍數的變化關系,在其他條件不變的情況下,設有一個近場信號,其入射角度與距離分別為[-22.87°,25.42 m],改變信號快拍數從100開始,以步長100增加到1 000,進行200次獨立的蒙特卡洛仿真實驗,得到仿真結果如圖5所示。

圖5 不同快拍數各類方法的RMSE性能Fig.5 RMSE performances of different snapshot methods

從圖5(a)中可以看出,所有方法的角度誤差都隨快拍數的增加而減少,但是JLASSO方法表現的角度誤差變化緩慢,呈現的效果最差,而其他3種方法的表現性能提升很大,本文方法在整個快拍數范圍內均能表現出較好的估計性能,誤差始終小于SS-MUSIC方法和ESPRIT方法。從圖5(b)中可以看出,所有方法的距離誤差都隨快拍數的增加而減少,在快拍數的整個區間,SS-MUSIC方法始終優于ESPRIT方法,本文方法在距離估計方面仍然給出了優良的估計能力,誤差始終小于上述兩種方法。從仿真實驗結果可以看出,本文方法具有穩定優良的位置估計能力。

3.3 估計分辨力性能分析

為了研究SNR和快拍數等因素和角度分辨能力與距離分辨能力之間的關系,設有兩個入射信號,定義分辨條件[24]:

max{|1-θ1|,|2-θ2|}<|θ2-θ1|/2

(31)

max{|1-r1|,|2-r2|}<|r2-r1|/2

(32)

固定θ1=0°,θ2=θ1+Δθ,Δθ是角度增量;1是真實角度r1的估計值;2是真實角度r2的估計值。固定r1=20 m,r2=r1+Δr,Δr是距離增量。固定兩個信號源位置,其中信源1的位置為[0°,20 m],信源2的位置為[15°,35 m]。

3.3.1 角度分辨力

為了研究角度分辨力和距離分辨力誤差隨SNR的變化關系,在其他條件不變的情況下,固定信源1的位置,改變信號源2的入射角度,由1°增加到10°步長為1°。SNR快拍數分別為[0 dB,500]、[10 dB, 500]和[10 dB, 100],進行200次獨立的蒙特卡洛仿真實驗,得到準確率與角度間隔的仿真結果如圖6所示。

圖6 角度分辨力變化Fig.6 Variation graph of angle resolution

從圖6的變化曲線中可以看出,所有方法的準確率隨角度間隔的增加都呈上升趨勢。圖6(a)和圖6(b)中SNR分別設為0 dB和10 dB,快拍數都為500。SNR為0 dB時,本文方法成功估計出兩個角度為9°,ESPRIT方法成功估計出兩個角度為10°,SS-MUSIC方法在角度為10°時準確率接近0.95,而JLASSO方法在角度為10°時準確率接近0.75,本文提出的方法分辨率優于其他3種方法。SNR為10 dB時,本文方法,SS-MUSIC方法和ESPRIT方法成功估計出兩個角度均為7°,而JLASSO方法在角度為10°時準確率接近0.9,隨著SNR的增加,各類方法準確率都得到了提升;圖6(b)和圖6(c)中SNR都為10 dB,快拍數分別設為500和100?？炫臄禐?00時,本文方法成功估計出兩個角度為8°,ESPRIT方法成功估計出兩個角度為9°,SS-MUSIC方法成功估計出兩個角度為10°,而JLASSO方法在角度為10°時準確率接近0.8,快拍數為500時,本文方法,SS-MUSIC方法和ESPRIT方法成功估計出兩個角度均為7°,而JLASSO方法在角度為10°時準確率接近0.9,說明隨著快拍數的增加,各類方法準確率都得到了提升。

3.3.2 距離分辨力

為了研究角度分辨力和距離分辨力誤差隨快拍數的變化關系,在其他條件不變的情況下,固定信源1的位置,改變信號源2的距離,由21 m增加到30 m步長為1 m。進行了3次仿真實驗,SNR快拍數分別為[0 dB,500]、[10 dB, 500]和[10 dB, 100],進行200次獨立的蒙特卡洛仿真實驗,得到仿真結果如圖7所示。

圖7 距離分辨力變化曲線圖Fig.7 Variation graph of distance resolution

從圖7的變化曲線中可以看出,所有方法的準確率隨距離間隔的增加都呈上升趨勢,本文提出的方法優于SS-MUSIC方法。將圖7(a)和圖7(b)SNR分別為0 dB和10 dB,快拍數都為500。SNR為0 dB時,本文方法在距離為10 m時準確率接近0.93,SS-MUSIC方法在距離為10 m時準確率接近0.89。SNR為10 dB時,本文方法成功估計出兩個距離為9 m,SS-MUSIC方法成功估計出兩個距離為10 m,說明隨著SNR的增加,各類方法準確率都得到了提升。將圖7(b)和圖7(c)圖SNR都為10 dB,快拍數分別為500和100?？炫臄禐?00時,本文方法成功估計出兩個距離為10 m,SS-MUSIC方法在距離為10 m時準確率接近0.95;快拍數為500時,本文方法成功估計出兩個距離為9 m,SS-MUSIC方法成功估計出兩個距離為10 m。在其他距離間隔內準確率得到了提升,說明隨著快拍數的增加,各類方法準確率都得到了提升。

4 結論

本文對壓縮感知技術進行研究分析,利用該技術提出一種基于互質陣列的近場源位置估計方法。該方法預處理接收數據,得到了角度參數的求解模型,利用一種迭代方法來逐步修正角度偏移向量和功率向量,實現最終的DOA估計;將估計的DOA結果代入,建立關于距離參數的求解模型,利用梯度下降方法估計出距離。理論分析和仿真實驗結果表明,本文方法在快拍數較少、SNR較低的情況下,依然可以獲得比較好的位置估計性能,該方法不僅具有較高的估計精度,而且可以實現角度和距離參數的自動配對。本文處理角度網格和距離網格都需要使用梯度下降法,但梯度下降系數的選擇比較困難,因此找尋一個自適應的梯度下降系數有待進一步研究。