單邊約束下受脈動內流激勵作用簡支輸流管的碰振響應研究

王天林, 郭長青, 漆發輝, 許 鋒, 盧小緬,方孟孟

(1. 南華大學 土木工程學院,湖南 衡陽 421001;2. 南華大學 數理學院,湖南 衡陽 421001;3. 貴州師范大學 大數據與計算機科學學院,貴陽 550025;4. 悉地國際設計顧問(深圳)有限公司,廣東 深圳 518000)

輸流管在機械化工氣力輸送系統[1]、航空航天液壓系統[2]、核工業冷卻系統[3]以及石油與天然氣的運輸[4-5]等諸多領域中應用廣泛。輸流管系統的耦合振動(管道的結構振動、流體的壓力脈動等)極易導致管道薄弱部位發生裂紋,繼而破裂,造成嚴重的管道安全事故,導致巨大的經濟損失,如11·22青島輸油管道爆炸事件。因此,國內外眾多學者[6-9]對輸流管的振動穩定性問題開展了持續性研究。輸流管運用于實際工程中,管道內部會因動力裝置(如,泵、壓縮機等)的工作而產生脈動內流,導致輸流管發生振動。輸流管服役期間可能會遭遇約束松動、受工作環境限制而使輸流管與障礙物相鄰近等問題,導致輸流管在振動過程中管道局部與約束發生碰撞,而碰撞振動可能會降低管道系統的穩定性、縮短管道的使用壽命。目前,輸流管與對稱約束的碰撞振動研究已較為成熟,單邊約束碰撞振動研究也取得了豐厚的成果,但是單邊約束與輸流管的碰撞振動研究還較為少見,因此,很有必要針對該問題開展相應的研究工作。

輸流管與對稱約束的碰撞振動研究中,許多學者采用了立方非線性彈簧或修正的分段三線性彈簧模擬對稱約束。Paidoussis等[10-12]先后采用立方非線性彈簧與修正的分段三線性彈簧模擬對稱約束,分析了對稱約束下懸臂輸流管的碰撞振動特性,并通過試驗對數值計算結果進行驗證,其試驗結果與理論預測具有較好的一致性。Wang等[13]研究了對稱約束下懸臂輸流立管的穩定性和混沌運動,并與Jin[14]開發的懸掛式系統進行比較,發現懸臂輸流立管系統的動力學特性比懸掛式系統更為豐富。唐冶等[15]研究了對稱約束下受多種激勵作用懸臂輸流管的非線性動力學行為。Wang等[16]使用立方非線性彈簧模擬對稱約束,研究了受對稱約束作用懸臂輸流管的三維動力學行為。

單邊約束由于約束的非對稱性,吸引了眾多學者對其開展研究。Zhang等[17]建立了單邊約束非光滑系統的時間積分方法框架,并通過曲柄滑塊機構的數值試驗,驗證了該方法比經典的Moreau-Jean時步法所提框架在精度和效率上更具優勢。Peng等[18]提出了一種基于辛方法和線性互補法求解多體碰撞接觸動力學問題的方法,并通過多個數值案例證明所提出的方法即使在較大的時間步長下也具有較高精度。Miao等[19]對單邊約束下受簡諧激勵作用的單自由度沖擊振子進行研究,從拓撲學的角度研究了Nordmark映射混沌吸引子的結構。Gritli等[20]基于OGY狀態反饋控制律,研究了單邊約束下單自由度沖擊振子的非線性動力學行為。Reboucas等[21]采用點映射法、標準平均法和非光滑變換相結合的方法,分析了帶恢復系數單自由度模型的振動沖擊響應。Guo等[22]研究了單邊剛性約束下受簡諧激勵作用的雙擺模型。通過引入碰撞恢復矩陣、模態分析和矩陣理論,得到了高維非光滑非對稱系統中單邊雙碰撞周期解的解析表達式。

目前,只有極少數的學者對單邊約束與輸流管的碰撞振動問題開展研究,王乙坤等[23]基于碰撞恢復系數構造了輸流管與單邊剛性約束碰撞前后管道各處狀態向量的傳遞矩陣,分析了間隙值和碰撞恢復系數對輸流管系統的影響。

本文對單邊約束下受脈動內流激勵作用簡支輸流管的碰振響應問題開展研究。首先,通過Hamilton原理推導出輸流管系統的運動微分方程。其次,使用Galerkin法將偏微分方程離散為常微分方程組。最后,采用可變階次的數值微分(numerical differentiation formulas,NFDs)算法[24-25]對離散后的常微分方程組進行求解。研究了脈動內流激勵頻率、平均流速、單邊約束位置坐標與約束間隙等參數對輸流管系統的影響規律,為輸流管的碰撞振動控制提供理論基礎。

1 求解方法

圖1為簡支輸流管與單邊約束的碰撞振動模型。當輸流管與單邊約束發生碰撞時,單邊約束對輸流管有約束反力;輸流管與單邊約束分離后,單邊約束不再影響輸流管的運動。目前,已有學者[26]采用碰撞恢復系數來處理單邊約束,但使用該方法需滿足兩個條件:根據結構的特點和單邊約束的位置坐標將管道劃分為多個單元且單邊約束處于某一單元節點上;實際發生振動的自由節點個數等于Galerkin模態截斷數。因此,當單邊約束位置坐標發生變化時,需重新劃分單邊、Galerkin離散與構造傳遞矩陣,極大地增加了工作量。本文新提出的非線性彈簧(受拉時剛度幾乎為零、受壓后剛度迅速增大)模型,可在不增加工作量的前提下分析單邊約束任意位置坐標對輸流管系統的影響規律。

圖1 單邊約束下簡支輸流管示意圖Fig.1 Schematic diagram of simply supported fluid conveying pipe with unilateral constraints

考慮輸流管運動過程中因軸線變形而導致的幾何非線性因素,根據Hamilton原理,可將單邊約束下受脈動內流激勵作用簡支輸流管的運動微分方程寫成[27-28]

(1)

式(1)中,脈動流的表達式[29]

U=U0[1+μsin(Ωt)]

(2)

式中:U為管內流體的流速;U0為管內流體的平均流速;Ω為脈動內流的脈動頻率;μ為脈動內流的脈動幅值。

式(1)中,等效單邊約束非線性彈簧恢復力Fb與變形量(w+H)的關系為

Fb=kb[e-s(w+H)+ζ](w+H)

(3)

式中:kb的作用是降低非線性彈簧受拉階段產生的恢復力;s與非線性彈簧恢復力的變化速率相關,s越大則非線性彈簧受壓階段恢復力的增大速率越快;ζ的作用是確保非線性彈簧無負剛度情況;H為輸流管與約束之間的間隙。

引入如下無量綱參數

可將式(1)～式(3)寫成如下的無量綱形式

(4)

其中,

u=u0[1+μsin(ωτ)]

(5)

fb=κb[e-ν(η+h)+ζ](η+h)

(6)

使用Galerkin法對無量綱運動方程式(4)、式(6)進行離散,輸流管的橫向位移函數可表示為

(7)

式中:N為Galerkin截斷數;φj(ξ)為簡支輸流管(簡支梁)第j階的振型函數;Tj(τ)為廣義坐標,且有

φj=sin(λjξ)

(8)

λj滿足特征方程

λj=jπ

(9)

φ={φ1,φ2,…,φN},T={T1,T2,…,TN}T

(10)

將式(7)代入式(4)和式(6),并在方程兩邊同時左乘φT,再對ξ從0～1積分,由模態函數的正交性,輸流管的運動微分方程可離散成如下形式

(11)

其中,

(12)

(13)

(14)

pb=2κbφ(ξb)T{e-ν[φ(ξb)T+h]+ζ}[φ(ξb)T+h]

(15)

(16)

(17)

p=pb-pE-pα

(18)

為了方便后續的數值計算,引入狀態向量

(19)

將式(11)寫成如下形式的一階狀態方程

(20)

(21)

式中:I為N階的單位矩陣;Ok為N階的零矩陣;Op為向量分量為0的N維列向量。

式(20)為單邊約束下受脈動內流激勵作用簡支輸流管的非線性控制常微分方程組,求解該方程組可獲得輸流管在取定參數下的動力響應。

2 計算結果驗證與分析

輸流管單邊約束處(ξ=ξb)分岔圖的觸發條件為該處的速度趨于零,即

(22)

同理,可得輸流管中點處(ξ=0.5)分岔圖的觸發條件為

(23)

分別記錄下滿足式(21)與式(22)條件時,輸流管單邊約束處(ξ=ξb)的位移η(ξb,τ)與中點處(ξ=0.5)的位移η(0.5,τ)。

2.1 脈動激勵頻率的影響

為驗證本文算法的正確性,在不考慮單邊約束情況時,采用王乙坤等研究中的參數(N=5,u0=4.5,α=0.005,β=0.64,κ=5 000,μ=0.2),本文采用NFDs算法得到的以脈動激勵頻率ω為控制參數輸流管中點處的分岔圖(如圖3(a)所示)與王乙坤采用四階Runge-Kutta法所得圖像(圖3(b)所示)一致,表明本文算法是可靠的。

圖3 以脈動激勵頻率ω為控制參數輸流管中點處的分岔圖Fig.3 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the midpoint of fluid conveying pipe

圖4是以脈動激勵頻率為控制參數輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,結合Poincare映射圖(由于篇幅限制未繪制在文中)可得系統由穩定周期運動通向混沌窗口與由混沌窗口演化穩定周期運動的演化路徑。當17.6≥ω≥7.7時,隨著ω的不斷增大,系統的運動形態由周期-2(本文周期-N1為不發生碰撞的周期N1運動,周期N1為發生碰撞的周期N1運動,周期N1運動為系統做穩態周期運動,且其運動周期為N1倍脈動激勵周期)因發生碰撞振動而直接進入第一個混沌窗口,而后由混沌運動經倒倍周期分岔(周期2n、周期2n-1、…、周期8、周期4、周期2)演化為穩定的周期2。當25.4≥ω≥21.6時,系統由周期2直接通向第二個混沌窗口,而后由混沌運動經倒倍周期分岔(周期3×2n、周期3×2n-1、…、周期12、周期6、周期3)演化為穩定的周期3。當43.6≥ω≥43.5時,系統由周期3直接進入第三個混沌窗口。

圖4 以脈動激勵頻率ω為控制參數輸流管單邊約束處和 中點處的分岔圖Fig.4 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe

當ω≥61時,系統將不再發生碰撞振動。若繼續增大ω,當ω≥63.8時,脈動激勵頻率將不再影響系統的運動形態,系統將一直保持周期-1。

當ω處于系統發生碰撞振動的脈動激勵頻率范圍時,系統可由穩定周期運動直接進入混沌窗口,而后又由混沌運動經倒倍周期分岔演化為穩定的周期運動。

2.2 平均流速的影響

圖5是以平均流速為控制參數輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,可以觀察到當3.16≥u0時,系統不發生振動。當4.56>u0>3.16時,系統幾乎處于非碰撞振動狀態。

圖5 以平均流速u0為控制參數輸流管單邊約束處 和中點處的分岔圖Fig.5 With the average flow velocity u0 is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the constraint and midpoint of fluid conveying pipe

當5.62≥u0≥4.5時,隨著u0的增大,系統的運動形態由周期-1經穩定焦點、吸引圓、概周期運動,最后因發生碰撞振動而進入混沌窗口,此過程Poincare映射圖的演化[30]如圖6所示。圖6(a)為隨運動時間的增大Poincare映射圖呈順時針螺旋匯聚成穩定焦點的過程;繼續增大u0,Poincare映射圖將呈現先順時針螺旋匯聚,到達轉向點(順時針螺旋匯聚與逆時針螺旋匯聚的分界點)后,逆時針螺旋匯聚成穩定焦點,如圖6(b);若再繼續增大u0,Poincare映射圖將呈現先順時針螺旋匯聚,到達轉向點后逆時針螺旋匯聚成吸引圓,且吸引圓隨著u0的增大而不斷向外擴張,最終演變為一封閉曲線,此時系統的運動形態為概周期運動,該過程Poincare射圖的演化如圖6(c)～圖6(e);當u0≥4.56時,輸流管與約束發生碰撞振動導致封閉曲線崩潰,系統進入混沌窗口,其后系統直接由混沌運動跳躍為周期3而離開混沌窗口。

圖6 輸流管單邊約束處與中點處的Poincare映射圖Fig.6 Poincare map at unilateral constraint and midpoint of pipe conveying fluid

圖7 輸流管單邊約束處的位移時程曲線與速度時程 曲線(u0=7.2)Fig.7 Displacement time history curve and velocity time history curve at the unilateral constraint of the flow tube(u0=7.2)

從圖7觀察到系統出現周期性完全顫碰振動[31-32],單邊約束下受脈動內流激勵的簡支輸流管在此運動過程中經歷三種運動狀態:參數振動(本文參數振動狀態只受脈動內流激勵作用不碰撞振動)、顫碰振動和黏滯狀態。系統處于顫碰振動時,輸流管約束處的振動幅值與沖擊速度(輸流管撞擊單邊約束時管道單邊約束處的速度)隨著碰撞次數的增加而不斷減小,但在減小為零之前,輸流管約束處的合力方向發生改變,系統未能進入黏滯狀態的顫碰振動稱為周期性非完全顫碰振動;將沖擊速度減小為零時,輸流管約束處合力仍然指向單邊約束,導致輸流管與單邊約束黏滯在一起,合力方向發生改變后,輸流管與單邊約束分離,黏滯狀態結束的顫碰振動被稱為周期性完全顫碰振動。

當8.05≥u0≥7.3時,系統由周期3經倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口,而后又由混沌運動跳躍為周期3離開混沌窗口。當8.95≥u0≥8.79時,系統由周期3經倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口。

通過對管內流體平均流速的研究,觀察到了周期性完全顫碰振動;發現了輸流管系統通向混沌的兩種路徑:由穩定周期運動經穩定焦點、吸引圓、概周期運動通向混沌窗口與由穩定周期運動經倍周期分岔通向混沌窗口。

2.3 單邊約束位置坐標的影響

2.3.1 無約束間隙系統(h=0)

圖8是以單邊約束的位置坐標ξb為控制參數輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,從該圖可以清楚地觀察到當單邊約束處于始端支座附近(0.173≥ξb>0)時,輸流管與單邊約束一直處于黏滯狀態。

圖8 以約束的位置坐標ξb為控制參數輸流管單邊 約束處和中點處的分岔圖(h=0)Fig.8 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0)

當0.829≥ξb≥0.775時,系統出現周期N1的一種特殊碰撞振動形態——N2/N1周期碰撞振動,即系統歷經N1個脈動激勵周期,輸流管與約束發生的碰撞次數為N2次的現象。為了更清楚地觀察輸流管與約束的N2/N1周期碰撞振動現象,圖9～圖12繪制出了輸流管單邊約束處與中點處的相圖以及Poincare映射圖(輸流管單邊約束處相圖中的虛線表示單邊約束)。當ξb=0.775時,如圖9所示,由Poincare映射圖可知系統歷經了3個脈動激勵周期,相圖顯示輸流管與約束發生了1次碰撞,為1/3周期碰撞振動。隨著ξb的增大,系統由1/3周期碰撞振動經倍周期碰振響應(1/3周期碰撞振動(見圖9所示)、2/6周期碰撞振動(如圖10所示)、4/12周期碰撞振動(見圖11所示)、…、2n/3×2n周期碰撞振動)通向混沌窗口(如圖12所示),而后由混沌運動經倒倍周期碰振響應(2n/3×2n周期碰撞振動、2n-1/3×2n-1周期碰撞振動、…、4/12周期碰撞振動、2/6周期碰撞振動、1/3周期碰撞振動)演化為穩定的1/3周期碰撞振動。

圖9 1/3周期碰撞振動(ξb=0.775)Fig.9 1/3 periodic impact vibration (ξb=0.775)

圖10 2/6周期碰撞振動(ξb=0.785)Fig.10 2/6 periodic impact vibration (ξb=0.785)

圖11 4/12周期碰撞振動(ξb=0.787)Fig.11 4/12 periodic impact vibration (ξb=0.787)

由此可知,對于無約束間隙輸流管系統,當單邊約束鄰近始端支座時,輸流管與單邊約束會一直處于黏滯狀態,即不發生振動。觀察到了N2/N1周期碰撞振動現象與系統由穩定的N2/N1周期碰撞振動經倍周期碰振響應通向混沌窗口的現象。

2.3.2 具有約束間隙的輸流管系統(h=0.03)

圖13是以約束的位置坐標ξb為控制參數輸流管單邊約束處與中點處的分岔圖,可以觀察到當單邊約束處于輸流管中部(0.678>ξb>0.272)時,可使系統的最大響應幅值大幅度降低。結合圖8與圖13可以觀察到,輸流管單邊約束處與中點處的運動形態基本一致,由此可知,整個輸流管都處于同一運動形態?？赡苡捎诹黧w流速具有方向性,所以以約束的位置坐標ξb為控制參數的分岔圖未關于管道中心點的垂線(ξb=0.5)對稱。

圖13 以約束的位置坐標ξb為控制參數輸流管單邊 約束處與中點處的分岔圖 (h=0.03)Fig.13 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0.03)

從圖13可以觀察到,ξb過小輸流管會因始端支座的影響而無法與單邊約束發生碰撞振動,但此約束間隙下,隨著ξb的不斷增大,系統終將由非碰撞振動經擦邊運動[33-34]發生碰撞振動。通過分岔圖結合相圖與Poincare映射圖(篇幅限制只繪制部分關鍵節點的圖像)可觀察到,當0.226≥ξb≥0.205時,隨著ξb的增大,系統的運動形態由周期-4、周期-4擦邊、1/4周期碰撞振動、倍周期碰撞振動響應(1/4周期碰撞振動、2/8周期碰撞振動、…、2n/4×2n周期碰撞振動)、概周期碰撞振動、周期-4、概周期碰撞振動,最后通向混沌窗口。

當0.4≥ξb≥0.34時,隨著ξb的增大,系統先后發生兩次擦邊運動導致其運動形態由1/1周期碰撞振動經一系列運動形態的演變,最終演化為3/1周期碰撞振動。此過程系統運動形態的演化為:1/1周期碰撞振動(如圖14所示)、1/1擦邊周期碰撞運動(如圖15所示)、概周期碰撞振動、3/2周期碰撞振動、2/1周期碰撞振動(如圖16所示)、2/1擦邊周期碰撞運動、6/2周期碰撞運動、最后演化為3/1周期碰撞振動(圖17)。

圖15 1/1擦邊周期碰撞振動(ξb=0.345)Fig.15 1/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.345)

圖16 2/1擦邊周期碰撞振動(ξb=0.3907)Fig.16 2/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.3907)

當0.815>ξb≥0.786時,隨著ξb的增大,輸流管的運動受末端支座的影響越來越大,最終將導致系統由碰振運動演化為非碰振運動。此過程系統的運動形態的演化為:混沌運動、1/4周期碰撞振動、周期-4擦邊、周期-4。雖然當ξb≥0.799,輸流管已開始不與約束發生碰撞振動,但系統仍會出現間歇性的碰撞振動,直至ξb≥0.815,輸流管才無法再與約束發生碰撞振動。此后,系統的運動形態將一直維持周期-4。

由此可見,對于具有約束間隙的輸流管系統,當單邊約束處于輸流管中部時,可使系統的最大響應幅值大幅度降低。擦邊運動可誘發系統發生倍周期碰振響應或使系統的碰振形態發生跳躍,系統可由碰振混沌運動經周期性碰撞振動、擦邊運動演化為穩定的周期性非碰振運動。

3 結 論

(1) 單邊約束下受脈動激勵作用的簡支輸流管存在三種路徑通向混沌:由穩定的周期運動經穩定焦點、吸引圓、概周期運動通向混沌窗口;由穩定的周期運動發生倍周期分岔通向混沌窗口;直接由穩定的周期運動跳躍進入混沌窗口。

(2) 對于具有約束間隙的系統,當單邊約束處于管道中部時,約束使輸流管的最大響應幅值大幅度降低;對于無約束間隙系統,當單邊約束處于始端支座附近時,輸流管與約束一直處于黏滯狀態而不發生振動。

(3) 觀察到系統歷經N1個脈動激勵周期發生N2次碰撞的N2/N1周期碰撞振動、倍周期碰振響應、周期性完全顫碰振動與擦邊運動等非光滑碰振系統特有的現象。

(4) 擦邊運動可誘發系統發生倍周期碰振響應或使系統的運動形態發生跳躍,系統可由混沌運動經周期性碰撞振動、擦邊運動演化為穩定的周期性非碰振運動。