基于拓撲優化的變密度蜂窩結構參數化設計及沖擊性能研究

鄒 震, 徐峰祥, 徐智釗, 蔣舟順

(1. 武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室,武漢 430070;2. 武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創新中心,武漢 430070)

蜂窩結構是一種高空隙率、輕質的新型結構,具有高比強度/剛度、減震降噪、沖擊吸能及可設計性等優勢,在建筑、汽車、鐵路車輛、船舶、航空航天、衛星、包裝和醫療植入物等領域具有廣泛的應用前景[1-3]。近年來,隨著汽車安全性與輕量化的沖突不斷加劇[4-6],對具有優異吸能特性的蜂窩結構的沖擊性能研究已成為熱點。

在蜂窩結構沖擊性能和輕量化的協同設計方面,理論上可行的方法為材料替換和設計優化。其中,材料替換是指用性能更加優越的材料替換性能較差的材料以提升蜂窩的力學性能。除常用的鋁合金蜂窩結構,相繼出現了不銹鋼[7]、鈦合金[8]、非金屬材料(玻璃纖維[9]、Nomex[10]、聚乙烯[11]、植物纖維[12]等)蜂窩結構。更換蜂窩結構的材料是實現其性能提升的有效手段,但不可避免地會提升蜂窩結構的造價,難以適用于汽車、包裝等民用行業。蜂窩結構的設計優化又可細分為單胞優化設計和梯度分布增強設計。其中,在蜂窩結構的新型單胞設計方面,已涌現出填充型[13-14]、嵌套型[15]、負泊松比型[16-17]等多種新型蜂窩結構,這些結構均通過局部或整體加強的方式有效地提升了蜂窩的力學性能,但同時也增大了其結構的復雜程度,提升了其加工難度。

蜂窩結構的分布增強設計是指在不改變單個蜂窩胞元結構的前提下,對其按照某一規律進行梯度設計,從而實現其結構的整體有序、充分變形。梯度分布增強設計作為提升蜂窩結構沖擊性能的有效方式之一,國內外學者對此開展了大量研究,Hu等[18]采用將規則蜂窩邊用二級蜂窩替代一級蜂窩邊的方法構建了新型自相似梯度蜂窩,實現了其綜合耐撞性能的提升;Zhang等[19]研究不同密度梯度的蜂窩結構的吸能性能,確定了蜂窩結構最優密度梯度排布方式;馬芳武等[20]提出了一種仿生自相似分層蜂窩結構,實現了蜂窩在多種碰撞工況下的穩定變形;袁敏等[21]研究了厚度梯度的負泊松比蜂窩結構的耐撞性能,確定具有正向厚度梯度的內凹六邊形蜂窩具有更好能量吸收和沖擊性能;喬及森等[22]采用改變六邊形蜂窩壁角的方法構建了一種串聯梯度蜂窩結構,實現了通過改變梯度率的方法控制串聯梯度蜂窩變形模式。但上述蜂窩梯度分布增強設計一般都是基于設計人員的工程經驗,進行蜂窩的“階梯”式梯度設計,無法實現連續梯度設計,難以最大限度地發揮梯度排布對蜂窩結構力學性能的提升效果。

拓撲優化是指通過優化給定設計區域內的材料分布形式,以同時提升目標結構的力學和輕量化性能的方法。已有學者將拓撲優化方法應用在蜂窩結構的動力特征拓撲優化,Zhang等[23]將優化的連續參數(密度)映射到點陣結構參數(支柱直徑)上,獲得非均質蜂窩結構;Jia等[24]利用拓撲優化密度信息設計了正方形蜂窩結構;邢昊等[25]利用拓撲優化密度映射法設計了一種非均質六邊形蜂窩,并通過試驗證實了其設計方法能提升結構的靜態剛度;趙芳壘等[26]基于體素化的方法,驗證了設計的非均質蜂窩與拓撲優化的目標蜂窩之間的差異。上述研究為蜂窩結構的拓撲優化研究奠定了基礎,但目前拓撲優化蜂窩的面內沖擊性能仍存在不足,且缺乏拓撲優化參數對蜂窩結構面內沖擊性能影響的系統性研究。

本文基于變密度拓撲優化方法,提出一種拓撲優化密度映射蜂窩(以下簡稱拓撲蜂窩)。通過參數化建模創建拓撲蜂窩的結構模型,并采用有限元分析的方法分別探究在不同的沖擊速度下,映射系數、相對密度對拓撲蜂窩的面內沖擊變形模式、動態響應和能量吸收性能的影響,并與等質量標準蜂窩進行沖擊性能的對比,探究將拓撲優化方法引入蜂窩結構的梯度設計對其沖擊性能的提升效果。

1 拓撲蜂窩的結構參數化設計

1.1 蜂窩結構參數

如圖1所示,對于正六邊形蜂窩胞元,其結構參數可由蜂窩胞元外邊長度a(簡稱胞元邊長)和胞元內邊長度bi表示,定義第i個蜂窩胞元的相對密度為ρi,胞元的相對密度為胞元面積s1和內部六邊形面積s2的差值與胞元面積s1的比值,因此,胞元相對密度可表示為

圖1 蜂窩胞元結構參數Fig.1 Cellular parameters of honeycomb structures

(1)

由式(1)可知,蜂窩胞元的相對密度僅與胞元內外邊長度相關。參考傳統均質蜂窩結構的胞元的結構尺寸,為實現將拓撲蜂窩的實際材料分布按照拓撲優化材料分布結果進行設置的研究目標。將所有的胞元外邊長度均設置為常數a,通過調整內邊長bi完成蜂窩相對密度的調整,從而實現拓撲蜂窩內部材料的分布調整。

1.2 參數化設計流程

蜂窩結構復雜、設計變量較多等,傳統建模方法難以滿足其建模需求。因此,本文采用參數化設計方法,通過SolidWorks的二次開發模塊高效建立拓撲蜂窩的實體模型。拓撲蜂窩結構的參數化設計流程圖,如圖2所示。在設計過程中,首先設定設計域的尺寸、相對密度、蜂窩胞元尺寸及拓撲單元尺寸,并基于這兩種單元分別對設計域進行離散,記錄每個胞元和拓撲單元的中心坐標,獲取胞元與拓撲單元的距離關系,確定胞元的相對密度和內邊長度,生成胞元模型并循環上述過程,直到整個設計域的所有胞元計算完成。

圖2 拓撲蜂窩的參數化設計流程圖Fig.2 Flowchart of density mapping cellular parametric design

1.3 參數化設計實施過程

拓撲優化問題可以描述為:在給定體積約束的條件下,使目標結構柔度最小,尋求此時最優的單元密度分布?；诠腆w各向同性材料懲罰模型(solid isotropic material with penalization,SIMP)變密度法的拓撲優化模型可以描述為[27]

(2)

式中:P為載荷向量;U為位移向量;K為總體剛度矩陣;ke為單元剛度矩陣;x為密度矩陣,由拓撲優化的微單元密度xi組成,單元總數為N;V0為結構體積的約束上限。求解優化模型得到體積約束下的密度矩陣,由密度矩陣可得拓撲微單元密度分布。本文采用拓撲優化密度映射方法,設置較小的懲罰系數以消除其對中間密度單元的影響?；谕負鋬灮膯卧芏刃畔?計算蜂窩胞元的相對密度,實現拓撲優化灰度單元密度信息的充分利用。

首先設置設計域邊界條件,隨后通過拓撲優化算法獲取微單元的相對密度分布,最終確定了蜂窩單元與拓撲單元映射關系,如圖3所示。設第i個六邊形蜂窩胞元的中心坐標為(xi,yi),第j個拓撲微單元的中心坐為(xj,yj),則兩單元之間的距離可表示為

圖3 蜂窩單元與拓撲單元映射關系Fig.3 The mapping relationship between cellular units and topological units

(3)

基于反距離加權平均法,綜合計算每個拓撲微單元對蜂窩胞元的影響,且離蜂窩單元越近的拓撲單元影響權重ω越大,映射函數可以定義為

ω(dij)=e-k×(dij)

(4)

式中,k為映射系數,其反映了映射過程中距離對權重的影響。k值對距離的權重影響如圖4所示。由圖4可以發現,k值越大,距離較小的單元具有的權重也越大。

圖4 不同映射系數下距離對權重的影響Fig.4 Influence of distance on weight under different mapping coefficients

結合拓撲優化的結果,將第j個拓撲微單元的相對密度定義為xj,第i個蜂窩胞元的映射密度定義為ρi,則胞元映射密度為

(5)

式中,N為拓撲微單元的數量。根據本文1.1節對蜂窩胞元的參數分析可知,蜂窩胞元的外邊長度a設為常數,通過調整蜂窩胞元的內邊長度bi即可實現拓撲蜂窩內部材料的分布調整。另外,為保證拓撲蜂窩整體結構的連續性,將蜂窩胞元壁厚的取值范圍設置為0.25～1.10 mm。

2 計算模型

2.1 幾何模型

拓撲蜂窩受面內沖擊時的示意圖如圖5(a)所示,將拓撲蜂窩置于上、下兩剛性板之間,加載時,底部剛性板固定,上端剛性板以恒定速度v向下沖擊試件?；谕負浞涓C面內沖擊的受力特點,拓撲優化模型可以等效為如圖5(b)所示的受力模型。拓撲蜂窩結構的底端固定,上表面受均布壓力P加載。通過拓撲優化程序設置結構邊界條件,并將結構優化目標體積設置為原體積的20%。如圖5(c)所示,經過迭代,獲得下表面固定、上表面均布壓力加載條件下的拓撲優化單元的密度分布矩陣。將密度分布矩陣對應的密度值映射到具體的蜂窩胞元,此時被映射的密度值就是映射密度。隨后,映射密度通過映射系數轉換為對應蜂窩胞元的相對密度,并最終通過式(1)確定胞元的具體壁厚,從而實現拓撲蜂窩的實際材料分布與拓撲優化結果相一致的設計目標。映射密度、相對密度和蜂窩結構的實際材料分布之間的關系可表示為:映射密度將拓撲優化結果轉換為蜂窩結構胞元的相對密度,實現蜂窩結構拓撲優化設計的可行性。蜂窩胞元基于其對應的相對密度確定具體的壁厚,實現蜂窩結構的內部材料拓撲優化合理分布。

圖5 拓撲蜂窩結構設計Fig.5 Design of topology optimization honeycomb structures

為研究相對密度ρ和映射系數k對拓撲蜂窩面內沖擊性能的影響,相對密度ρ分別為0.12,0.16,0.20和0.24,映射系數k分別為0.01,0.05,0.10和0.50。此外,為便于對比分析將拓撲優化方法引入蜂窩設計對其沖擊性能的提升效果,參照Ruan等[28]對標準蜂窩沖擊性能的研究,將拓撲蜂窩的胞元尺寸a設置為5 mm?；谕負浞涓C結構的參數化建模方法,構建的4種拓撲蜂窩結構的幾何模型如圖6所示。由圖6可以發現,拓撲蜂窩的整體質量隨相對密度ρ增大而增大,這是由于相對密度ρ增大、蜂窩內邊長度bi減小造成胞元壁厚增大。此外,也可以發現拓撲蜂窩的壁厚差異隨映射系數的減小而減小,這是由于隨著映射系數的減小,距離對相對密度的影響也在逐漸減弱,最終呈現了拓撲蜂窩胞元之間的壁厚差異逐漸減小。當映射系數k越大,拓撲蜂窩結構的兩側胞元壁厚與中部胞元的差值也越大。拓撲蜂窩整體呈現出中部胞元壁厚小于外部壁厚,位于沖擊端的胞元壁厚小于固定端胞元壁厚。

圖6 拓撲蜂窩幾何模型Fig.6 Geometry of density mapping honeycomb

2.2 有限元模型

考慮到當映射系數較小時,拓撲蜂窩的幾何模型包含較多薄壁實體,難以采用實體單元進行有限元分析。因此,本文采用軟件Hypermesh/ABAQUS聯合仿真的方法,首先將生成的拓撲蜂窩幾何實體導入Hypermesh軟件中抽取中面,并選用SHELL163薄殼單元進行離散,將不同的壁厚單元歸類為不同的屬性,這種建模方法可以較好地保留原始幾何實體的壁厚特征。為保證計算精度和收斂性,沿厚度方向定義5個積分點。此外,經過多次試算和靈敏度分析,模型的網格尺寸確定為0.7 mm。研究表明,蜂窩結構在寬度(x)和高度(y)方向的胞元數目分別超過10時,結構的動態響應更加穩定[29]。因此,為有效捕捉拓撲蜂窩試件的面內動態響應特征,其寬度(x)和高度(y)方向分別設置了11個和10個胞元,對應拓撲蜂窩的寬度和高度分別為85.5 mm和86.5 mm,面外厚度設置為4 mm。最終通過軟件ABAQUS/Explicit對拓撲蜂窩模型進行非線性動態顯式求解。蜂窩單元底部與剛性板綁定。所有的接觸面均設置為通用接觸,定義摩擦因數為0.15。壓縮距離限制為初始距離的80%。拓撲蜂窩的面內沖擊有限元模型如圖7所示。對殼單元進行厚度渲染后,觀察細節放大圖可以發現,拓撲蜂窩胞元的壁厚特征得以較好的體現。

圖7 拓撲蜂窩面內沖擊模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of the topology optimization honeycomb under in-plane impact

拓撲蜂窩基體材料設置為鋁,采用理想彈塑性本構模型,具體材料參數如表1所示。

2.3 模型可靠性

為驗證本文有限元模型的可靠性,構建了與Ruan等研究中一致的標準蜂窩模型,并分別選擇在沖擊速度為3.5 m/s和14.0 m/s時進行可靠性驗證。以分析模型在不同沖擊速度下的準確性與可靠性。仿真得到的蜂窩結構變形模式和力-位移曲線,如圖8所示。結果顯示:當沖擊速度為3.5 m/s時,本文仿真模型和Ruan等的研究模型在峰值應力(PCF)的誤差為 4.4%,平臺應力的誤差為7.9%;當沖擊速度為14.0 m/s時,本文仿真方法與Ruan等的研究模型在峰值應力的誤差為7.0%,平臺應力的誤差為5.2%。此外,本文采用的仿真方法也較為準確地預測了蜂窩結構在3.5 m/s和14.0 m/s沖擊下的變形模式。綜上,結果表明本文采用的仿真方法在預測蜂窩結構的沖擊性能和變形模式上均具有較高的可靠性,可用于后續的研究。

為進一步確定仿真模型的有效性,對模型的沙漏能進行分析。以k=0,ρ=0.24的拓撲蜂窩模型為例,其在仿真過程中的能量變化曲線如圖9所示。由圖9可以看出,沖擊過程中的沙漏能和滑移能均較小,滑移能與偽應變能之和與內能之比小于5%,這進一步印證了本文有限元模型的可靠性。

圖9 拓撲蜂窩面內沖擊時的能量變化曲線Fig.9 Energy change curve of topology optimization honeycomb in-plane impact

3 結果與分析

3.1 變形模式

當k=0.10,ρ=0.20時的拓撲蜂窩,在兩種不同沖擊速度時的典型變形模式如圖10所示。定義剛性板的沖擊端位移與蜂窩初始高度的比值為名義應變ε。從圖10中可以看出,沖擊速度對蜂窩結構的面內變形模式有顯著影響,當沖擊速度較低時(v=10 m/s),壓縮初始,蜂窩結構在沖擊端出現局部彎曲變形,隨后變形呈“X”型,并隨壓縮過程穩定向固定端傳遞,直至整個模型趨于密實。當沖擊速度提高到90 m/s時,蜂窩的變形模式發生較大變化,由整體變形轉變為局部壓縮變形。類似于均質六邊形蜂窩結構,蜂窩變形區域只集中在沖擊端,呈“I”型變形模式,并逐層向下漸進壓潰,直至結構整體趨于密實。

圖10 拓撲蜂窩結構的宏觀變形模式Fig.10 Macroscopic deformation modes of topology optimization honeycomb structure

3.1.1 不同沖擊速度下的變形模式

具有不同映射系數的拓撲蜂窩在不同沖擊速度下的變形模式,如圖11所示,此時拓撲蜂窩的名義應變ε=0.3。如圖11(a)所示,在v=3 m/s、映射系數k=0.50時,蜂窩的變形模型呈現向沖擊端開口的“V”型; 當k=0.10時,變形模式轉變為覆蓋整個蜂窩區域的“X”型變形;而當k=0.01時,蜂窩結構呈方向與k=0.50相反、向固定端開口的“V”型變形,這證明了映射系數對拓撲蜂窩的壓縮變形模式有較大影響。對其在不同沖擊速度下的變形模式差異的原因進行分析。以映射系數分別為0.50和0.01的拓撲蜂窩“V”形變形帶開口完全相反為例,拓撲蜂窩的“V”形變形開口相反的變形模式主要是因為不同映射系數的拓撲蜂窩固定端與沖擊端的胞元存在壁厚差異。當映射系數k=0.50時,拓撲蜂窩固定端壁厚大于沖擊端,因此,此時的開口為沖擊端方向;而當k=0.01時,拓撲蜂窩固定端與沖擊端的壁厚差異較小,此時壁厚較弱的固定端先發生壓潰,變形開口方向為固定端方向。

圖11 拓撲蜂窩結構在不同沖擊速度下的變形模式(ρ=0.20, ε=0.3)Fig.11 Deformation modes of topology optimization honeycomb under different impact velocities (ρ=0.20, ε=0.3)

隨著沖擊速度的提高,當v=10 m/s時,慣性效應的影響開始凸顯,各拓撲蜂窩的變形模式相比于v=3 m/s更加靠近沖擊端,且變形區域也在縮小。映射系數k=0.50的拓撲蜂窩,在v=10 m/s沖擊下的“V”變形帶要小于其在v=3 m/s時的變形帶,且映射系數k=0.10的蜂窩,在v=10 m/s沖擊下的“X”要高于其在v=3 m/s沖擊下的“X”變形帶,這均歸因于沖擊速度的增大帶來的慣性效應。值得注意的是,由于拓撲優化設計為蜂窩結構的固定端胞元設置了較大壁厚,因此,在v=3 m/s和v=10 m/s的沖擊下,拓撲蜂窩位于固定端的胞元均未發生明顯變形。

當v=30 m/s時,拓撲蜂窩變形模式相比低速沖擊時發生了明顯變化。各蜂窩的變形區域相較于低速沖擊時的進一步縮小,且更靠近沖擊端。對比圖11(f)和圖11(g)可以發現,映射系數k=0.10的拓撲蜂窩由低速時的“X”型變形模式轉變成了“V”型變形,且變形區域進一步集中,這主要是由沖擊速度增大帶來慣性效應的影響。但映射系數k=0.50的拓撲蜂窩,在v=10 m/s和v=30 m/s沖擊速度下的變形,模型卻未發生明顯變化,這一現象合理的解釋是隨著映射系數的增大,蜂窩結構的兩側胞元壁厚和強度增大,增大的沖擊速度未造成其被壓潰,而當映射系數k=0.10時,兩側壁厚增大不明顯,在v=30 m/s沖擊速度下被壓潰。當沖擊速度的進一步增大至90 m/s時,慣性效應的影響進一步增強,各拓撲蜂窩結構均呈現沿沖擊方向的“I”字狀變形模式,變形隨剛性板下壓而逐層向固定端遞進,這種高速沖擊下的拓撲蜂窩變形模式同標準均質六邊形蜂窩相似。

通過以上分析可知:映射系數、沖擊速度對拓撲蜂窩的面內變形模式具有較大影響。當映射系數較大時,拓撲蜂窩結構的兩側蜂窩的壁厚大于中部壁厚,固定端壁厚大于沖擊端壁厚;而當映射系數較小時,拓撲蜂窩兩側胞元與中部胞元的壁厚差異、固定端與沖擊端胞元的壁厚差異均減小。因此,在中低速沖擊時,映射系數的變化造成了蜂窩結構的變形模式從“V”型轉為“X”型,并最終轉為反方向的“V”型變形。而隨著沖擊速度增大,慣性效應增強,拓撲蜂窩的變形模式也發生了改變,具體體現為變形區域進一步縮小,且更加靠近沖擊端。此外,經分析可以發現沖擊速度越大,映射系數對拓撲蜂窩的影響則越小。當沖擊速度v=90 m/s時,慣性效應主導了變形模式,所有拓撲蜂窩的變形趨于一致呈“I”形,此時映射系數對變形模式的影響較小。

3.1.2 不同相對密度下的變形模式

當面內沖擊速度為30 m/s、映射系數k=0.10,相對密度ρ分別為0.12,0.16,0.20和0.24時,拓撲蜂窩在名義應變ε=0.4時的變形模式,如圖12所示。由圖12可以發現,相對密度較小的拓撲蜂窩在沖擊端的變形相比相對密度較大的拓撲蜂窩變形范圍更小,并最終在相對密度為0.24時轉變為“X”變形。這主要是由于當相對密度較小時,蜂窩的整體壁厚較小,此時在受到沖擊時其變形更加集中,變形區域較小,呈現出局部的變形模式。而隨著相對密度進一步增大,其變形區域開始緩慢增大,并最終在相對密度為0.24轉變為全局變形。

圖12 不同相對密度的拓撲蜂窩結構變形模式Fig.12 Deformation modes of topology optimization honeycomb structures with different relative densities

3.2 動態響應分析

當蜂窩面內壓縮時,其名義應力σ和名義應變ε分別可定義為

(6)

式中:F為上剛性板的壓縮支反力;b為蜂窩在面外方向的厚度;δ為蜂窩的壓縮位移;L和W分別為蜂窩面內長度和高度。

當相對密度ρ=0.24時,不同映射系數拓撲蜂窩的面內沖擊響應曲線,如圖13所示。由圖13可知,拓撲蜂窩和常規均質蜂窩的動態響應相似,即初始時刻的線彈性變形階段,在峰值沖擊力后,進入應力起伏相對較小的平臺階段和最終逐漸密實的應力陡升階段。

當低速沖擊(v=3 m/s)時,不同映射系數的拓撲蜂窩的應力曲線尤其平緩,從彈性屈服后應力呈穩定上升的趨勢,沒有出現較大的初始峰值應力。其中,值得注意的是映射系數較大(k=0.50)的拓撲蜂窩,其應力曲線明顯高于其他拓撲蜂窩。此外,映射系數k=0.50時拓撲蜂窩應變曲線波動高于其余映射系數拓撲蜂窩的應力曲線,這主要是由于隨著映射系數增大,蜂窩兩側胞元的壁厚大于中部胞元的壁厚、固定端胞元的壁厚大于沖擊端胞元的壁厚,造成拓撲蜂窩在壓縮時呈現不連續的壓潰,從而造成其應力曲線波動較大,而當映射系數較小時,拓撲蜂窩整體壁厚的差異不大,應力曲線的波動則明顯減小。因此,可以合理得出增大拓撲蜂窩的映射系數是提高其應力曲線的有效方法之一。

如圖13(b)和圖13(c)所示,隨著沖擊速度增加(v=10 m/s和v=30 m/s),蜂窩的初始峰值應力明顯增大,且整體應力水平也有一定提高,應力曲線波動起伏程度明顯變大,此時映射系數較大的拓撲蜂窩仍然表現出更高的應力水平。當高速沖擊時(v=90 m/s),蜂窩出現非常高的初始應力峰值,且整個沖擊過程中應力變化非常劇烈,直到設定的壓縮距離都沒出現明顯密實階段,說明受慣性效應影響,蜂窩結構的壓潰材料都緊緊堆積在沖擊端,密實階段相對出現得更晚。

當相對密度ρ=0.12時,4種不同映射系數蜂窩的面內響應曲線,如圖14所示。由圖14可以發現,當相對密度ρ均為0.12時,在不同沖擊速度下,映射系數對應力曲線無明顯影響。但值得注意的是,當映射系數較大的拓撲蜂窩的應力曲線波動隨沖擊速度的增大而增大。合理的解釋是,映射系數較小時,蜂窩結構的材料分布相對均勻,因此在不同的沖擊速度下呈現均勻的局部變形,應力曲線無明顯波動;而當映射系數較大時,材料主要分布于蜂窩兩側,形成了強度較大的兩側區域,此時蜂窩在高速沖擊時出現了較大的應力波動。在沖擊速度達到90 m/s時,應力曲線在某些時刻出現接近0的現象,且主要發生在應變較小的位置,對此合理的解釋是,當蜂窩受到高速沖擊時,部分胞元被迅速壓潰,隨著蜂窩胞壁連接處屈服,沖擊端受力存在短暫的延遲。

圖14 拓撲蜂窩結構名義應力應變曲線(ρ=0.12)Fig.14 Nominal stress-strain curves of topology optimization honeycombs(ρ=0.12)

3.3 平臺應力與能量吸收特性

蜂窩應力應變曲線的平臺階段是決定蜂窩能量吸收性能的關鍵階段,反映了蜂窩結構的平均吸能水平,當壓縮位移相同時,較大的平臺應力意味著優異的能量吸收能力,蜂窩的平臺應力可定義為

(7)

式中:εcr為屈服應變,表示在初始應力峰值時對應的名義應變;εd為鎖定應變,表示蜂窩名義應力再次達到初始應力峰值時的名義應變;σε為隨應變變化的名義應力。

沖擊速度對各映射系數的拓撲蜂窩的平臺應力影響曲線,如圖15所示。由圖15可以看出,隨沖擊速度的提高,各映射系數的拓撲蜂窩結構平臺應力都有所增大。其中,值得注意的是,在相同的沖擊速度下,映射系數為0.01,0.05和0.10的拓撲蜂窩之間的平臺應力無明顯差異,而當映射系數為0.50時,拓撲蜂窩的平臺應力明顯增大,也預示了蜂窩的能量吸收能力獲得一定的提升。因此可以得出增大拓撲蜂窩的映射系數可使其材料分布更為合理,進而提升拓撲蜂窩的平臺應力,而當映射系數較小時,拓撲蜂窩內部胞元的壁厚差異不明顯,平臺應力未產生明顯的增大。

圖15 不同映射系數下蜂窩平臺應力隨沖擊速度的變化Fig.15 Variation of honeycomb platform stress with impact velocity under different mapping coefficients

拓撲蜂窩的平臺應力在各沖擊速度下隨映射系數的變化曲線,如圖16所示。由圖16可以發現,在相同的沖擊速度下,隨著映射系數的增大,拓撲蜂窩結構的材料分布更為合理,其平臺應力獲得了一定的提升。此外,從圖16中也可以發現,映射系數對蜂窩結構平臺的應力的提升效果,隨沖擊速度的增大而增大。

圖16 拓撲蜂窩平臺應力隨映射系數的變化Fig.16 Variation of the platform stress of density mapping honeycomb with the mapping coefficient

具有不同相對密度的拓撲蜂窩的平臺應力在不同沖擊速度下的應力曲線,如圖17所示。由圖17可以發現,在相同的沖擊速度下,拓撲蜂窩的平臺應力隨相對密度的增大而增大,這一現象的合理解釋是,蜂窩結構整體材料增多,強度增大。且從圖17中可以發現,相對密度對拓撲蜂窩結構平臺應力的提升效果,隨沖擊速度的增大而增強。

圖17 不同相對密度下蜂窩平臺應力隨沖擊速度的變化Fig.17 Variation of honeycomb platform stress with impact velocity under different relative densities

比吸能(specific energy absorption,SEA)是結構碰撞能量吸收的主要評價指標之一,代表了吸能結構單位質量吸收的能量,越大的比吸能表示越優異的能量吸收能力,可定義為

(8)

式中:m為結構總質量;δ為壓縮過程中結構的有效位移;x為某時刻的位移;F(x)為沖擊時剛性板支反力。

當撲蜂窩的相對密度為0.12時,具有不同映射系數的拓撲蜂窩的比吸能變化曲線,如圖18所示。由圖18可以發現,在中低速沖擊(v=3 m/s,v=10 m/s)下,沖擊速度對拓撲蜂窩的比吸能無顯著影響,這證明了在低速沖擊條件下,沖擊速度對拓撲蜂窩比吸能影響較小。此外,在相同沖擊速度下,具有不同映射系數的拓撲蜂窩比吸能無明顯差異,其中,映射系數較大的拓撲蜂窩在壓縮中前段比吸能略高于映射系數較小的拓撲蜂窩,但在拓撲蜂窩接近密實時,具有不同映射系數拓撲蜂窩的比吸能曲線基本相同。

圖18 不同拓撲蜂窩的能量吸收特性Fig.18 Energy absorption characteristics of topology optimization honeycombs with different mapping coefficient

當沖擊速度進一步增大時,一方面,與傳統的均質蜂窩相似,所有非均質蜂窩的能量吸收性能均顯著提高,當沖擊速度為90 m/s時,蜂窩的最大比吸能甚至達到3 m/s加載速度時的4倍。這主要是由于慣性效應隨著沖擊速度增加逐漸加強,當位于沖擊端的蜂窩被動態載荷加速時,除了外界作用力產生的剪力與彎矩外,位于沖擊端的蜂窩自身的慣性也將產生剪力與彎矩,有助于蜂窩結構產生多個塑性鉸而充分變形吸能,從而使拓撲蜂窩的比吸能呈現隨沖擊速度增大而增大的變化趨勢。由于慣性效應隨沖擊速度增大而增大,因此可以合理推斷,隨著沖擊速度進一步增大,慣性效應將進一步增強,蜂窩結構變形更加充分,其比吸能將會被進一步提高。另一方面,拓撲優化對蜂窩比吸能的提升作用開始凸顯,如圖18(c)和圖18(d)所示,映射系數為0.50的拓撲蜂窩的比吸能明顯高于其余映射系數較小的拓撲蜂窩。這是由于映射系數直接影響了不同位置的胞元密度權重,此時更大的映射系數可以帶來更好的能量吸收性能。但是,映射系數過大也會導致部分蜂窩單元胞壁過薄,從實際生產角度看,應權衡映射系數與胞元壁厚的關系,確保通過拓撲優化方法構造映射密度非均質蜂窩的可行性。

3.4 性能對比研究

為分析將拓撲優化方法引入蜂窩結構對其沖擊性能的提升效果,本節構建了與拓撲蜂窩整體結構尺寸相同的標準均質蜂窩,其胞元邊長均設置為5 mm。選取k=0.10,ρ=0.12的拓撲蜂窩與標準蜂窩進行對比,沖擊速度設置為10 m/s。為保證標準蜂窩與本文提出的拓撲蜂窩質量一致,標準蜂窩的壁厚設置為0.43 mm。研究所采用的面內沖擊有限元模型的設置與本文2.2節處保持一致。

為全面對比拓撲蜂窩與標準蜂窩的沖擊性能的優劣,且考慮到對比選用的標準蜂窩與拓撲蜂窩的質量相同。因此,選取PCF和SEA作為評價指標。圖19所示為標準蜂窩與拓撲蜂窩的沖擊性能對比結果。標準蜂窩的PCF為389.6 N,拓撲蜂窩的PCF為323.7 N,下降了16.9%,這主要是由于拓撲蜂窩根據沖擊工況將其胞元壁厚進行了連續梯度設置,減小了沖擊端胞元壁厚以降低蜂窩結構的PCF;標準蜂窩的SEA為1.65 J/g,拓撲蜂窩的SEA為2.13 J/g,被提高了29.1%。綜上,可以得出將拓撲優化方法引入標準蜂窩實現其壁厚的連續梯度設置,相比于標準蜂窩沖擊性能上的劣勢,拓撲蜂窩有效的降低了初始峰值沖擊力,同時提高了其能量吸收性能。

圖19 標準蜂窩與拓撲蜂窩沖擊性能對比Fig.19 Comparison of the performance of standard and topology optimized honeycomb

4 結 論

本文將拓撲優化方法引入至蜂窩的變密度設計,實現了蜂窩胞元壁厚的連續梯度設計。通過參數化設計方法構建了具有不同相對密度、映射系數的拓撲蜂窩,探明了在不同的沖擊速度下,映射系數、相對密度對拓撲蜂窩的面內動態沖擊變形模式、動態力學響應和能量吸收特性的影響,得到的結論如下:

(1) 映射系數、相對密度對不同沖擊速度下的拓撲蜂窩的面內變形模式具有顯著影響。在低速沖擊時,映射系數對蜂窩變形模式具有較大影響,隨著沖擊速度增大,慣性效應增強,映射系數對蜂窩變形模式的影響逐漸減弱;相對密度增大促使其由局部變形向整體變形轉變。

(2) 在低速沖擊時,拓撲蜂窩的平臺應力隨映射系數的增大而增大,但隨沖擊速度的增大,映射系數對拓撲蜂窩平臺應力的影響逐漸減弱。

(3) 在低速沖擊時,映射系數對拓撲蜂窩的比吸能無明顯提升效果,但隨著沖擊速度的增大,映射系數對拓撲蜂窩比吸能的提升效果逐漸凸顯。

(4)與相同質量、尺寸的標準蜂窩面內沖擊性能對比結果顯示,拓撲蜂窩的峰值應力下降了16.9%,比吸能提高了29.1%。